ANOVA 2. Monica Marabelli. 15 Gennaio 2016

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1 ANOVA 2 Monica Marabelli 15 Gennaio 2016

2 ANOVA a una via Nella scorsa esercitazione abbiamo visto che nell Analisi della Varianza (ANOVA) si considerano le medie di una variabile dipendente (quantitativa) negli strati indotti dalle modalitá di una seconda variabile (qualitativa), detta variabile esplicativa o fattore. Si vuole verificare l ipotesi nulla che tutte le medie siano uguali contro l ipotesi alternativa che almeno una coppia di medie presenti una differenza statisticamente significativa.

3 Esercizio 1 E stato condotto uno studio per valutare la durata della vita tra i membri di sovranitá, aristocrazia e nobiltá in Inghilterra. I dati sono nel file age.xls setwd("x:/") age <- read.table (file="age.csv", header=t, sep=",", dec=".") str(age) data.frame : 700 obs. of 2 variables: $ class : Factor w/ 3 levels "aris","gent",..: $ age_death: int

4 Visualizziamo graficamente i dati boxplot(age_death~class, data=age)

5 ANOVA modello <- aov (lm(age_death~class, data=age)) summary(modello) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) class * Residuals Signif. codes: 0 `*** `** 0.01 `* 0.05 `. 0.1 ` 1 P value < 0.05: c é almeno una coppia di medie la cui differenza é statisticamente significativa (per α = 0.05).

6 Test post hoc Per individuare quali sono le medie significativamente diverse tra loro, applichiamo il test HSD (honest significant difference) di Tukey TukeyHSD (modello) Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = lm(age_death ~ class, data = age)) $class diff lwr upr p adj gent-aris sovr-aris sovr-gent

7 Verifica degli assunti Prima di procedere all analisi ANOVA, occorre tuttavia verificare i seguenti assunti: normalitá dei residui entro gruppi omoschedasticitá dei residui entro gruppi (uguali varianze) indipendenza dei residui entro gruppi

8 Normalitá dei residui shapiro.test (resid(aov(lm(age_death~class, data=age))) [age$class == "gent"]) Shapiro-Wilk normality test data: resid(aov(lm(age_death ~class, data = age)))[age$class == "gent"] W = 0.961, p-value = 1.597e-06 shapiro.test (resid(aov(lm(age_death~class, data=age))) [age$class == "sovr"]) Shapiro-Wilk normality test data: resid(aov(lm(age_death ~class, data = age)))[age$class == "sovr"] W = , p-value =

9 Normalitá dei residui shapiro.test (resid(aov(lm(age_death~class, data=age))) [age$class == "aris"]) Shapiro-Wilk normality test data: resid(aov(lm(age_death ~class, data = age)))[age$class == "aris"] W = , p-value = P value < 0.05 per tutte e tre le classi. Rifiutiamo l ipotesi nulla che i residui siano distribuiti normalmente.

10 Omoschedasticitá dei residui bartlett.test (age_death~class, data=age) Bartlett test of homogeneity of variances data: age_death by class Bartlett s K-squared = , df = 2, p-value = P value > 0.05: non rifiutiamo l ipotesi nulla che le varianze siano omogenee.

11 Indipendenza dei residui Installiamo in R il pacchetto lmtest Packages Install package(s)

12 Indipendenza dei residui Scegliere uno dei CRAN Mirrors italiani (Milano) Cercare il pacchetto lmtest

13 Indipendenza dei residui library(lmtest) # Rendiamo disponibili le funzioni del pacchetto Applichiamo il test di Durbin Watson dwtest (aov(lm(age_death~class, data=age))) Durbin-Watson test data: aov(lm(age_death ~ class, data = age)) DW = , p-value = alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0 P value > 0.05: non rifiuto l ipotesi nulla di indipendenza dei residui.

14 Analisi non parametrica Siccome l ipotesi di normalitá non é stata confermata, effettuiamo un analisi non parametrica: applichiamo il test di Kruskal-Wallis. kruskal.test (age_death~class, data=age) Kruskal-Wallis rank sum test data: age_death by class Kruskal-Wallis chi-squared = , df = 2, p-value = P value < Rifiuto l ipotesi nulla: l appartenenza alle tre classi sociali ha un effetto significativamente diverso sulla durata della vita.

15 ANOVA a blocchi randomizzati Nell analisi a blocchi randomizzati, gli individui sono suddivisi in gruppi omogenei, detti blocchi; gli individui di ogni blocco saranno poi attribuiti in modo casuale (random) ai trattamenti.

16 Esercizio 2 Alcuni maialini d India sono sottoposti a 4 diete differenti. 5 gruppi di 4 animali ciascuno sono tenuti in identiche condizioni ambientali. Entro blocco le condizioni ambientali sono identiche, tra blocchi le condizioni ambientali possono risultare diverse. Gli animali di ciascun gruppo sono assegnati a caso ad ognuna delle 4 diete. Il nostro scopo é studiare l effetto del tipo di dieta sul peso dei maialini d India, cioé verificare se esiste una differenza di incremento di peso tra le diverse diete somministrate.

17 Leggiamo i dati I dati sono contenuti nel file maialini.csv setwd("y:/statistica") dati <- read.table (file="maialini.csv", header=t, sep=",", dec=".") head(dati) Blocco Dieta Peso

18 Trasformiamo i dati nel formato corretto str(dati) data.frame : 20 obs. of 3 variables: $ Blocco: int $ Dieta : int $ Peso : num Per poter effettuare l analisi, le variabili trattamento e blocco devono essere fattori. Ricordarsi di trasformare i dati prima di effettuare l analisi! dati$blocco <- factor(dati$blocco) dati$dieta <- factor(dati$dieta)

19 ANOVA a blocchi randomizzati Effettuiamo l analisi della varianza modello2 <- aov(lm(peso ~ Dieta + Blocco, data=dati)) summary(modello2) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Dieta e-06 *** Blocco Residuals Signif. codes: 0 `*** `** 0.01 `* 0.05 `. 0.1 ` 1 H 0 che le 4 diete abbiano lo stesso effetto: rifiutata. H 0 che l effetto sia uguale tra i 5 blocchi: non rifiutata.

20 ANOVA a due vie con replica Si parla di ANOVA a due vie quando viene studiato l effetto di due variabili esplicative e si valuta anche l interazione tra di esse.

21 Esercizio 3 Vogliamo studiare l effetto sulla capacitá vitale di: tipo di lavoro, etá e loro interazione. Leggiamo i dati contenuti nel file capacity.csv setwd("y:/statistica") hum_cap <- read.table (file="capacity.csv", header=t, sep=",", dec=".")

22 Esercizio 3 str(hum_cap) data.frame : 60 obs. of 3 variables: $ lavoro : Factor w/ 4 levels "A","B","C","D": $ cl_eta : int $ capacita: num Trasformiamo in fattore la variabile classi d etá hum_cap$cl_eta <- factor(hum_cap$cl_eta)

23 ANOVA a due vie con replica modello3 <- aov(lm(capacita ~ lavoro*cl_eta, data=hum_cap)) summary(modello3) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) lavoro e-11 *** cl_eta e-09 *** lavoro:cl_eta e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 `*** `** 0.01 `* 0.05 `. 0.1 ` 1 I risultati indicano che sia il tipo di lavoro sia l etá sia l interazione dei due fattori hanno un effetto significativo sulla capacitá vitale.