Tecniche statistiche di analisi del cambiamento

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1 Tecniche statistiche di analisi del cambiamento 07a-Ripasso: Anova ad un fattore (v. 1.9a, 29 dicembre 2018) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

2 Confronti fra più gruppi Ho una variabile indipendente (categoriale) con più di 2 valori e ipotizzo che un altra variabile (dipendente quantitativa) possa essere influenzata Posso usare il t-test per campioni indipendenti, ma selezionando solo 2 gruppi alla volta Se devo confrontare 3 medie? Con il t-test, dovrei fare 3 confronti: M 1 con M 2, poi M 1 con M 3 e quindi M 2 con M 3 Con 4 medie? Faccio 6 confronti! (1 con 2, 1 con 3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4) Con 5 medie? Faccio 10 confronti (12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45) Ma... G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

3 Più confronti di medie Per ogni confronto, ho una possibilità di sbagliare pari al livello α che scelgo per 10 confronti avrò una possibilità pari a 10 volte α Ovvero, se α =.05, = 0.50 Ciò significherebbe che su 10 confronti almeno la metà potrebbero essere inaffidabili È chiaro che non posso correre un rischio così elevato. Ho due possibili soluzioni Analisi della varianza (preferibile): produce un unica statistica (F) Criterio di Bonferroni: propone un metodo per controllare l errore di I tipo. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

4 Criterio di Bonferroni Bonferroni propone un criterio per controllare (ridurre) l errore di I tipo, quando si eseguono più confronti il criterio consiste nel dividere l alfa per il numero di confronti e usare il risultato come nuovo alfa (es. α =.05 con 10 confronti, α/10.05/10 =.005 È da usare solo quando non esiste una tecnica di analisi più evoluta che permetta di: non fare confronti multipli (ad es. l Anova) in cui i confronti multipli sono già pensati per controllare l errore di I tipo (ad es. i test post-hoc). G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

5 Analisi della varianza Il test dell Analisi della varianza (anche conosciuto con i nomi Anova o AOV, da Analysis of variance), risolve questo problema dei confronti multipli tramite t-test Serve per confrontare fra loro tre o più gruppi e decidere se vengono dalla stessa popolazione di riferimento Utilizza un rapporto di varianze Per ora affronteremo l anova a livello semplicistico, la cosiddetta anova a 1 via o fattore G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

6 Rapporto fra varianze Ci sono diverse circostanze in cui c è bisogno di lavorare con le varianze al posto delle medie Il t-test standard necessita che le varianze dei due gruppi da confrontare sia uguale (ma non sempre è così) Se i due gruppi hanno varianza diversa, si usa una formula robusta di t che tiene in considerazione la diversità delle varianze Se si hanno più di due gruppi il t-test non può essere usato (salvo rischiare di sforare l errore di I tipo) Per questo motivo esistono dei test per verificare l omogeneità di due varianze e una tecnica per studiare più gruppi in contemporanea G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

7 Rapporto fra varianze Il rapporto fra due varianze e la relativa statistica è indicata con F La formula più semplice è F = varianza maggiore varianza minore Il rapporto di due varianze si distribuisce secondo la curva di F (di Snedecor, che l ha studiata) F è anche la sigla della statistica che indica il rapporto di varianze F è sempre a una coda ed è (dovrebbe essere) 1 In SPSS, nel T-Test, l omogeneità delle varianze dei due gruppi è stimata con il test di Levene G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

8 Rapporto fra varianze Essendo un rapporto di 2 varianze, esistono 2 gradi di libertà e le tavole di F sono sempre complicate e lunghe Qui c è l inizio di una tavola (α =.05); sono riportati i valori critici che si trovano all incrocio di 2 diversi gl I software (ovviamente) mostrano direttamente la probabilità associata G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

9 Anova: Concetto intuitivo 1 F = Con sintesi semplicistica, possiamo dire che l AOV confronta la varianza calcolata in due modi diversi: Logica la varianza tra i singoli gruppi (ogni gruppo è considerato separatamente) la varianza entro tutti i gruppi (un solo gruppo totale ottenuto ignorando i singoli gruppi) la statistica che risulta è il rapporto fra due varianze: 1 la media delle varianze dei singoli gruppi 2 la varianza totale (o degli errori) Se la media delle varianze dei gruppi è vicina alla varianza totale, le varianze dei gruppi sono probabilmente uguali; se sono lontane, almeno una varianza non è vicina a quella totale G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

10 Concetto intuitivo 2 Se le due stime di varianza sono uguali, F si avvicinerà ad 1 Se le due stime di varianza sono diverse, F sarà tanto più grande quanto maggiore è la diversità I gradi di libertà sono 2 (uno per ogni varianza utilizzata) e dipendono dai gruppi confrontati (k 1) e dalle loro numerosità (in genere N x 1, in base ai confronti) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

11 Per capire meglio se F è un rapporto di varianze, dobbiamo considerare meglio la varianza: (X X) 2 somma dei quadrati var stimata = = = SQ N 1 gradi di libertà gl L anova quindi fa diverse stime di somme di quadrati (numeratore) le divide per i gradi di libertà (denominatore) quindi divide fra loro due diverse stime di varianza G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

12 Esempio SPSS: anova 1 via Politica (VI) e Ortodossia (VD) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

13 Esempio SPSS: anova 1 via Politica (VI) e Ortodossia (VD) var = SQ gl = MQ 4005,577 / 3 = 1335,192 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

14 Esempio SPSS: anova 1 via Politica (VI) e Ortodossia (VD) var = SQ gl = MQ 4005,577 / 3 = 1335,192 MQ 1 MQ 2 = F 1335,192 / 76,915 = 17,359 G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

15 Esempio SPSS: anova e post-hoc Dal momento che l anova è statisticamente significativa (ho rifiutato H 0 ) almeno un gruppo è statisticamente diverso dagli altri per sapere qual è, si usa l analisi a post-hoc che confronta ciascun gruppo con tutti gli altri alcuni metodi a post-hoc creano gruppi statisticamente omogenei In questo caso ci sono 2 sottogruppi omogenei Il primo è composto da una sola media (Sinistra); omogeneità perfetta Il secondo è composto dalle altre 3 medie e l omogeneità è di.932 cioè 93.2% G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

16 Esempio SPSS: anova 1 via Riportare i risultati Esempio I risultati mostrano che la variabile indipendente Orientamento politico influisce significativamente sulla variabile dipendente Ortodossia religiosa, F(3, 333) = 17,35, p <.001. Dall osservazione delle medie dei gruppi emerge che il gruppo di sinistra presenta punteggi di ortodossia più bassi (M=25,66) rispetto a quelli relativi agli altri gruppi di destra (M=32,23; DS=10,14 ), senza orientamento politico (M=32,64; DS=8,11) e centro (M=33,15; DS=8.13). L analisi a post-hoc (con Tukey) dimostra che, in effetti, i gruppi centro, destra e senza orientamento sono omogenei fra loro. G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

17 Anova e t-test Se si fa un anova a 1 via con una variabile indipendente che ha solo 2 gruppi si vede che F è il quadrato di t e t è la radice quadrata di F t gl Sign. compiacenza -,243 58,809 t =, 243 = 0, 059 F = 0, 059 =, Somma Media quadrati gl quadratica F Sign. Tra gruppi 8, ,929 0,059,809 Entro i gruppi 8787, ,514 Totale 8796, G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

18 Esempio empirico: Stenner In un campione di persone abbiamo misurato l autoritarismo (variabile DIP) usando la scala di Karen Stenner (5 item sulle cose importanti da insegnare ad un bambino, maggiore il punteggio, maggiore l autoritarismo) e l orientamento politico (su una scala da 1 a 10, da sinistra a destra) Raccogliamo i 10 punteggi dell orientamento politico in 3 categorie (INDIP): 1-3 => SX, 4-7 => Centro, 8-10 => DX L autoritarismo è uguale nei tre gruppi? Oppure ogni sottocampione (in base all orientamento politico) ha parametri della popolazione diversi? G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

19 Esempio empirico: Stenner Stenner N Media Dev. std. Err. std. Minimo Massimo Sx ,16 4,159 0, Centro ,63 4,391 0, Dx 80 15,94 5,321 0, Totale ,34 4,607 0, ANOVA univariata Somma Media quadrati df quadrati F Sig. Fra gruppi 433, ,622 10,68 0,000 Entro gruppi 8373, ,276 Totale 8807, C è almeno un gruppo che ha una varianza statisticamente diversa da quelle degli altri (cioè è stato estratto da una popolazione con parametri diversi) G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

20 Esempio empirico: Stenner Quale gruppo? Usiamo i confronti a posteriori (Post-hoc) Test post hoc - Sottoinsiemi omogenei Stenner Student-Newman-Keuls N Sottoinsieme per alfa = SX ,1623 Centro ,6319 Dx 80 15,9375 Sig. 1,000 1,000 1,000 Nella tabella dei gruppi omogenei, sono riportate le numerosità, le medie dei gruppi e la probabilità fra le medie riportate in colonna H 0 (per ogni gruppo) è che le medie siano omogenee fra loro Le tre medie sono tutte diverse fra di loro, ovvero i campioni su cui sono state calcolate sono stati estratti da popolazioni con parametri statistici diversi G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19

21 Esempio empirico: Stenner Riportare i risultati Esempio I risultati dell anova a un fattore mostrano che la variabile indipendente Orientamento politico suddiviso in Sinistra, Centro e Destra influisce significativamente sulla variabile dipendente Autoritarismo, F(2, 413) = 10,68, p <.001. Dall analisi a post-hoc (con SNK) delle medie emerge che ciascuno dei gruppi è statisticamente diverso dagli altri: l orientamento politico di Sinistra presenta il valore più basso di Autoritarismo (M=13,16; DS=4,16), segue l orientamento di Centro (M=14,63; DS=4,39) ed infine quello di Destra (M=15,94; DS=5,32). G. Rossi (Dip. Psicologia) Tsac / 19