AFFIDABILITA DEI SISTEMI E CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA

Transcript

1 PROVA SCRITTA DI AFFIDABILITA DEI SISTEMI E CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA 7 Marzo Si ha il seguente sistema di imballaggio di lattine di alluminio: C F A B D E G H A: Cupping (lamiera svolta e stampata); B: Lavaggio; C-D-E: Stampa; F: Riempimento; G:trasporto; H: Riempimento. Si vuole stimare la probabilità che il processo funzioni per un giorno senza rompersi. Si assuma che le componenti del sistema abbiano le seguenti probabilità di funzionare senza rompersi: P(A)=0.995; P(B)=0.99; P(C)=P(D)=P(E)=0.95; P(F)=P(H)=0.90; P(G)=0.98. Si assuma che le componenti funzionino in maniera indipendente l una dall altra. Si calcoli la probabilità che il processo funzioni senza interruzione per un giorno. 2. Un campione di 100 componenti è sottoposto alla prova di durata per 500 ore e i tempi di insuccesso dei 12 componenti che si sono guastati durante il test sono i seguenti: 6, 21, 50, 84, 95, 130, 205, 260, 270, 370, 440 e 480 ore. Costruire un modello teorico che descriva il tempo di vita del componente. Sottoporlo a verifica statistica. Calcolare il tempo di vita medio teorico in base al modello scelto e confrontarlo con il tempo di vita campionario. Determinare la mediana teorica e confrontarla con quella empirica valutata sui dati. 3. Un componente di un motore per aerei viene prodotto con un procedimento di microfusione. Il vano di apertura del pezzo prodotto è un parametro della produzione. La tabella mostra le misurazioni per questo vano effettuate su 18 sottogruppi in cinque momenti diversi del ciclo di produzione (le misure sono in 10^(-3) inch). Il processo è in controllo statistico? a) Con una carta CUMSUM è possibile visualizzare eventuali anomalie? (a.a. 13/14)

2 b) Determinare e commentare gli indici di capacità del processo sapendo che i limiti di controllo imposti dall azienda sono 30 e 36 (a.a. precedenti). Gruppi I II III IV V La tavola riporta gli effetti di due fattori (tipo di vetro e tipo di fosforo) sulla luminosità di un tubo televisivo. La grandezza misurata è la corrente in microampere necessaria per raggiungere un cento livello di luminosità. Effettuare un ANOVA per stabilire se i livelli dei fattori inducono risposte diverse nella luminosità. Condurre anche una analisi statistica delle interazioni. Fosforo Vetro Livello 1 Livello 2 Livello Livello

3 Soluzione 1. Abbiamo 4 sistemi in parallelo:,,,. Il sottosistema è formato dai sottosistemi, in parallelo. Il sottosistema è formato dai sottosistemi e in parallelo, dove è formato dai sottosistemi in parallelo. La probabilità che il sistema funzioni senza rompersi è. Bisogna allora calcolare. Il sottosistema è formato da 3 sottosistemi in parallelo: non funziona se non funzionano tutti e tre. Quindi avendo indicato con l evento complementare di (analogamente per gli altri) si ha: = =0.05^3. Pertanto =1-0.05^3. Allo stesso modo = e =1- =1-0.98*0.90. Pertanto P(sistema funzioni senza rompersi)=0.995*0.99*(1-0.05^3)*[1-0.10*(1-0.98*0.90)] In R: > affa< > affb<-0.99 > affc<-0.95 > affd<-0.95 > affe<-0.95 > afff<-0.90 > affh<-0.90 > affg<-0.98 > afftot<-affa*affb*(1-(1-affc)^3)*(1-(1-affg*affh)*(1-afff)) > afftot [1] I tempi di vita vengono assegnati ad un vettore tempi: > tempi<-c(6,21,50,84,95,130,205,260,270,370,440,480) Verifichiamo se i dati provengono da un modello gaussiano: > qqnorm(tempi) > qqline(tempi)

4 Dal grafico l andamento non appare lineare. Lo Shapiro-test non rigetta l ipotesi di gaussianità. > shapiro.test(tempi) Shapiro-Wilk normality test data: tempi W = , p-value = Tuttavia per confrontare la bontà di adattamento con gli altri modelli teorici, conviene misurare la distanza tra modello empirico e modello teorico mediante il KS test e poi, in caso di non rigetto, scegliere il modello teorico con distanza inferiore dal modello empirico. > ks.test(tempi, "pnorm", mean(tempi), sd(tempi)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: tempi D = , p-value = alternative hypothesis: two-sided Verifichiamo se i dati provengono da un modello esponenziale. Effettuiamo un PPP dei dati: > x<-sort(tempi) > index<-seq(1,12,1) > cdf<-(index-0.3)/12.4 > z<-log(1/(1-cdf)) > plot(x,z,type='p',xlab='dati',ylab='trasf.log.cdf',main='prob.plotting esponenziale') >

5 Il parametro del modello esponenziale viene determinate mediante MLE: > library('mass') > lambda<-fitdistr(tempi,"exponential") > lambda$estimate rate Con il KS test, la distanza tra modello teorico e modello empirico risulta: > ks.test(tempi, "pexp", lambda$estimate) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: tempi D = , p-value = alternative hypothesis: two-sided Verifichiamo se i dati provengono da un modello di Weibull. Effettuiamo un PPP dei dati: > x<-log(sort(tempi)) > z<-log(log(1/(1-cdf))) > plot(x,z,type='p',xlab='log Dati',ylab='Log log cdf',main='probability plotting paper Weibull')

6 Il metodo MLE non converge in questo caso: > fitdistr(tempi,"weibull") Errore in fitdistr(tempi, "weibull") : optimization failed E possibile stimare i parametri dalla retta di regressione per le coppie log,log log 1 x 1 F ( x ) poiché i coefficienti sono β, β logα con β parametro di forma e α parametro di scala. > result<-lm(z ~ x) > summary(result) Call: lm(formula = z ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-09 *** x e-09 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

7 Residual standard error: on 10 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 10 DF, p-value: 2.499e-09 Quindi β = , β logα = β = , α = Con questi parametri, effettuando il KS test, la distanza tra modello teorico e modello empirico risulta: > ks.test(tempi, "pweibull", , ) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: tempi D = 0.147, p-value = alternative hypothesis: two-sided > Tra i tre modelli conviene scegliere il modello esponenziale perché la distanza tra il modello empirico e quello teorico è inferiore. A conferma di questa scelta, effettuiamo l istogramma e sovrapponiamo ad esso la curva densità stimata: > hist(tempi, freq=f) > hist(tempi, col="blue", freq=f) > lines(density(tempi), col="red", lwd=3)

8 Avendo stimato i parametri del modello dai dati, la media teorica e quella campionaria coincidono e sono pari all inverso del parametro lambda del modello esponenziale: La mediana dei dati è calcolata come: > summary(tempi) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max mentre quella teorica si ottiene imponendo che R( M ) = 0.50 dove R indica la funzione di affidabilità, ossia > -log(0.50)/ [1] Per stabilire se il processo è in controllo statistico è necessario costruire la carta X-bar. Useremo poi la carta R per l escursione poiché le taglie dei sottogruppi sono costanti e inferiori a 10. Verifichiamo se il campione è gaussiano: > setwd(" ") > carta<-matrix(scan('tabella.txt'),ncol=1,byrow=true) Read 90 items > qqnorm(carta) > shapiro.test(carta) Shapiro-Wilk normality test data: carta W = , p-value =

9 Ci sono molti dati che si ripetono: questo spiega l andamento a gradini del grafico. Tuttavia lo Shapiro-test non rigetta l ipotesi di legge gaussiana. I dati sono stati inseriti nel file tabella.txt > carta<-matrix(scan('tabella.txt',n=18*5),18,5,byrow=true) Read 90 items Per costruire la carta X-bar, viene richiamato il package qcc. > library(qcc) Package 'qcc', version 2.2 Type 'citation("qcc")' for citing this R package in publications. > obj<-qcc(carta,type='xbar')

10 Il processo non è in controllo statistico: oltre i limiti vanno i sottogruppi 6, 8, 17, come è possibile ricavare stampando il contenuto di obj. > str(obj) List of 11 $ call : language qcc(data = carta, type = "xbar") $ type : chr "xbar" $ data.name : chr "carta" $ data : num [1:18, 1:5] attr(*, "dimnames")=list of 2....$ Group : chr [1:18] "1" "2" "3" "4" $ Samples: NULL $ statistics: Named num [1:18] attr(*, "names")= chr [1:18] "1" "2" "3" "4"... $ sizes : int [1:18] $ center : num 33.1 $ std.dev : num 2.51 $ nsigmas : num 3 $ limits : num [1, 1:2] attr(*, "dimnames")=list of 2....$ : chr ""....$ : chr [1:2] "LCL" "UCL" $ violations:list of 2..$ beyond.limits : int [1:3]

11 ..$ violating.runs: num(0) - attr(*, "class")= chr "qcc" - Per costruire la carta dell escursione, i parametri di input sono: > obj1<-qcc(carta,type='r') Nella carta R, c è un fuori controllo statistico in corrispondenza del sottogruppo 9. > str(obj1) List of 11 $ call : language qcc(data = carta, type = "R") $ type : chr "R" $ data.name : chr "carta" $ data : num [1:18, 1:5] attr(*, "dimnames")=list of 2....$ Group : chr [1:18] "1" "2" "3" "4" $ Samples: NULL $ statistics: Named num [1:18] attr(*, "names")= chr [1:18] "1" "2" "3" "4"... $ sizes : int [1:18] $ center : num 5.83 $ std.dev : num 2.51 $ nsigmas : num 3 $ limits : num [1, 1:2] attr(*, "dimnames")=list of 2

12 ....$ : chr ""....$ : chr [1:2] "LCL" "UCL" $ violations:list of 2..$ beyond.limits : int 9..$ violating.runs: num(0) - attr(*, "class")= chr "qcc" a) Per effettuare il grafico della carta CUMSUM, il comando in R è: > cusum(carta) da cui si evince che il processo è fuori controllo statistico per i sottogruppi 8,9,10 e 17 e 18. b) Per gli indici di capacità del processo, > process.capability(obj,spec.limits=c(30,36)) Process Capability Analysis Call: process.capability(object = obj, spec.limits = c(30, 36)) Number of obs = 90 Target = 33 Center = LSL = 30 StdDev = USL = 36

13 Capability indices: Value 2.5% 97.5% Cp Cp_l Cp_u Cp_k Cpm Exp<LSL 11% Obs<LSL 12% Exp>USL 12% Obs>USL 16% Poichè sia Cp che Cpk sono entrambi inferiori a 1, il processo non è in grado di produrre entro I limiti di specifica. Come si evince anche dal grafico. E centrato, difatti Cp_u e CP_l sono quasi uguali. Inoltre sia la percentuale attesa di prodotti non conformi che quella stimata dai dati è consistente. 4. Si tratta di un ANOVA a due fattori, di cui ciascuno a due livelli, con repliche. Gli effetti sono fissi. I dati sono stati inseriti nel file anova.txt > datianova<-read.table('anova.txt',header=true)

14 > attach(datianova) Nel file I livelli del vetro sono stati etichettati con a e b, mentre quelli del fosforo con I e II. > boxplot(dati~fosforo*vetro, col=c("red","blue","yellow","green"),main=('boxplot Fosforo vs Vetro')) Dal Box-plot si evince che per il fattore vetro, le medie dei livelli dovrebbero essere statisticamente diverse. > qqnorm(dati) > qqline(dati) Dal qqnorm i dati non sembrano seguire un andamento gaussiano. Infatti lo Shapiro test non rigetta l ipotesi di gaussianità con un p-value (0.068) che è al limite della regione di rigetto. C è da aspettarsi che i residui possano fallire l ipotesi di provenienza da popolazione gaussiana.

15 Prima di procedere con l ANOVA bisogna effettuare il test sulla uguaglianza delle varianze. > bartlett.test(dati~fosforo*vetro) Bartlett test of homogeneity of variances data: dati by fosforo by vetro Bartlett's K-squared = , df = 1, p-value = Esaminiamo le interazioni per via grafica: > interaction.plot(fosforo, vetro, dati,col=c('red', 'blue'),lwd=4,ylab='media dei dati') per via numerica:

16 vetro fosforo Dati Convenzione Medie , b 301, a ab 245 Effvetro: ( )/2-(286,67+301,67)/2=-54,17 Efffosforo: (301,66+245)/2-(286,66+235)/2= 12,5 Effvetro/fosforo: (286,66+245)/2-(301,66+235)/2=-2.5 da cui si evince che sicuramente il vetro ed il fosforo hanno effetto sulle medie. E infine con l anova: > results<-aov(dati~fosforo*vetro) > summary(results) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) fosforo * vetro e-06 *** fosforo:vetro Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Dall ANOVA si evince che c è assenza di interazione. Le medie dei livelli per vetro e fosforo sono diverse. Non c è bisogno di eseguire il Tukey test perché si tratta di soli due livelli. Quindi l esito dell ANOVA è sufficiente. Siccome i livelli sono fissi, l analisi dei residui si effettua sottraendo ad ogni dato la media del livello corrispondente. La tavola delle medie è riportata nel seguito:

17 vetro fosforo Medie livello 1 livello 2 livello , livello Medie 260, ,3333 da cui residui vetro residui fosforo livello 1-14,17 19,17 0,83 34,17-9,17 24,17 5,83-30,83 15,83-25,83 0,83-20,83 livello 2-10,00 26,67-5,00 36,67 0,00 21,67 20,00-13,33 0,00-33,33-5,00-38,33 Effettuiamo il qqnorm ed il test Shapiro per entrambe le colonne: > qqnorm(resvetro)

18 > shapiro.test(resvetro) Shapiro-Wilk normality test data: resvetro W = , p-value = > qqnorm(resfosforo)

19 > shapiro.test(resfosforo) Shapiro-Wilk normality test data: resfosforo W = , p-value = L analisi dei residui rigetta l ipotesi di gaussianità per i residui sul fosforo. Quindi il modello ANOVA non può essere validato.