I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson

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1 I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson Massimo Borelli May 13, 2014 Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

2 Contenuti 1 Motivazioni 2 I modelli lineari generalizzati La regressione di Poisson 3 Il problema della sovradispersione Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

3 il dataset oocytes eta pesokg altezzacm espressione novociti Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

4 il dataset oocytes NOV Eta Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

5 il dataset oocytes: il modello lineare fallisce Residuals vs Fitted Normal Q-Q Residuals Standardized residuals Fitted values Theoretical Quantiles Standardized residuals Scale-Location Standardized residuals Residuals vs Leverage Cook's distance Fitted values Leverage Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

6 Caratteristiche dei modelli lineari generalizzati una formula lineare per i predittori una famiglia di variabili aleatorie per modellare i residui family = "poisson" una funzione di collegamento che trasformi la risposta gaussiana in un altra variabile aleatoria il link è l esponenziale scelta per default Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

7 il dataset oocytes: il modello minimale adeguato? > modello = glm(novociti eta + pesokg + altezzacm + espressione, family = poisson ) Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) eta pesokg altezzacm espressione Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

8 il dataset oocytes: il modello minimale adeguato? > modello = glm(novociti eta + pesokg + altezzacm, family = poisson ) Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) eta pesokg altezzacm Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

9 il dataset oocytes: il modello minimale adeguato? tentativo: se introduciamo il bmi? > modello2 = glm(novociti eta + I( (10000 * pesokg) / (altezzacm * altezzacm) ), family = poisson ) Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) eta I((10000*pesokg)/(altezzacm * altezzacm)) Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

10 il dataset oocytes: attenzione alla sovradispersione > modello2 = glm(novociti eta + bmi, family = poisson) Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) eta bmi (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: on 189 degrees of freedom Residual deviance: on 187 degrees of freedom AIC: Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

11 Vi ricordate? pro futuro.. Nella v.a. binomiale, assegnata la probabilità p di successo e stabilito il numero n di esperimenti, rimangono fissati il valore atteso e la varianza, e questi sono legati tra loro... non è possibile scegliere la media e la deviazione standard in maniera indipendente. pro futuro.. Anche nella v.a. di Poisson non è possibile scegliere la media e la deviazione standard in maniera indipendente. Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

12 il dataset oocytes: attenzione alla sovradispersione > modello2 = glm(novociti eta + bmi, family = quasipoisson) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) eta bmi (Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be ) Null deviance: on 189 degrees of freedom Residual deviance: on 187 degrees of freedom AIC: NA Number of Fisher Scoring iterations: 5 Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

13 il dataset oocytes: il modello minimale adeguato tentativo: se introduciamo il bmi? > modello3 = glm(novociti eta, family = quasipoisson ) Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) eta controprova, family = quasipoisson Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) eta pesokg altezzacm Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

14 interpretazione del modello minimale adeguato funzione lineare ossia: y = eta Numero ovuli = exp( eta) Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15

15 interpretazione del modello minimale adeguato > x = (240:430)/10 > y = exp( * x) > plot(jitter(eta), jitter(novociti)) > lines(x,y, col = blue, lwd = 3) jitter(novociti) jitter(eta) Massimo Borelli () I modelli lineari generalizzati: il modello di Poisson May 13, / 15