prevedere y in funzione di x, per variabili linearmente associate
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- Angelina Negro
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1 prevedere y in funzione di x, per variabili linearmente associate
2 concetto di regressione
3
4 idea di base se x e y sono associate, posso usare x per prevedere y (con una certa approssimazione) per farlo devo conoscere: Mx, DSx My, DSy r
5 esempio Media y altezza figlia (cm) r altezza madre (cm) Media x 180.0
6 problema è evidente che y tende a crescere al crescere di x ma di quanto? la risposta NON è la retta delle DS!
7 il motivo altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
8 y --> My per gli x sopra Mx, gli y tendono a spostarsi verso il basso per gli x sotto Mx, gli y tendono a spostarsi verso l'alto "Sir" Francis Galton chiamava questo fenomeno regression toward mediocrity
9 soluzione: altezza figlia (cm) altezza madre (cm) la retta di regressione
10 y = a + bx y a b (0,0) x x+1 x
11 figlia = a + b x madre altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
12 Grafico delle medie altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
13 grafico delle medie altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
14 grafico delle medie altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
15 grafico delle medie altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
16 grafico delle medie altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
17 grafico delle medie altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
18 due rette diverse altezza figlia (cm) altezza madre (cm) altezza madre (cm) altezza figlia (cm) quella di prima l'altra
19 le rette di regressione sono due r (x.y) = r (y.x) la retta delle DS è una sola! ma b (x.y) b (y.x) e anche a (x.y) a (y.x) salvo un caso particolare quale?
20 r, b e le DS r misura di quanto cresce y, in unità standard, quando x cresce di 1 DSx DSx r x DSy
21 r, b e le DS r misura di quanto cresce y, in unità standard, quando x cresce di 1 DSx b = r DSy DSx quindi se DSy=DSx cosa succede?
22 r, b e le DS se DSy = DSx, SDy/SDx = 1 e b = r pertanto b(y.x) = b(x.y) dunque sono parallele; dato che hanno un punto in comune (My, Mx) anche a(y.x) = a(x.y) retta di regressione = retta delle DS
23 i parametri della retta
24 b = r DSy DSx My = a + bmx a = My - bmx
25 > df <- read.table("sigar.txt", header = TRUE) > names(df) [1] "MARCA" "CATRAME.mg" "NICOTINA.mg" "PESO.g" "AC.mg" > y <- df$nicotina.mg > x <- df$catrame.mg > byx <- cor(x, y) * sd(y)/sd(x) > ayx <- mean(y) - byx * mean(x) > c(ayx, byx) [1]
26 > c(ayx, byx) [1] > lm(y ~ x) Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) x
27 > c(ayx, byx) [1] > bxy <- cor(x, y) * sd(x)/sd(y) > axy <- mean(x) - bxy * mean(y) > c(axy, bxy) [1] > lm(x ~ y) Call: lm(formula = x ~ y) Coefficients: (Intercept) y
28 > plot(x, y) > abline(lm(y ~ x)) y x
29 > o <- lm(y ~ x) > summary(o) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) *** x e-12 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 23 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 23 DF, p-value: 1.442e-12
30 > o <- lm(y ~ x) > coef(o) (Intercept) x > c <- coef(o) > c[[1]] [1] > c[[2]] [1]
31 l errore di previsione
32 i limiti della regressione il metodo della regressione non è perfetto salvo casi particolari, le osservazioni y tipicamente non sono esattamente sulla retta di regressione
33 I residui altezza figlia (cm) altezza madre (cm) 180.0
34 Definizione i residui (o errori) della regressione sono gli scarti: valore osservato - valore sulla retta i valori sulla retta sono i valori previsti dal lm, indicati anche con il simbolo ^y (che si legge y-hat)
35 errore RMS l errore RMS è il RMS dei residui (detto anche RMSE - root mean square error) l errore RMS misura l'errore globale di previsione
36 errore RMS RMSE = somma(residui^2) n - 2
37 altra definizione del RMSE RMSE = 1 r 2 DSy quanto vale RMSE se r = 1? se r = 0?
38 Il RMSE e la DSy y a + bx y RMSE My DSy x x
39 Minimi quadrati il metodo della regressione viene chiamato "dei minimi quadrati" (least squares o anche OLS) perché la retta di regressione è la retta per cui il RMSE è il più piccolo possibile
40 > df <- read.table("sigar.txt", header = TRUE) > y <- df$nicotina.mg > x <- df$catrame.mg > o <- lm(y ~ x) > c <- coef(o) > yhat <- c[[1]] + c[[2]] * x > res <- y - yhat > res [1] [6] [11] [16] [21]
41 > df <- read.table("sigar.txt", header = TRUE) > y <- df$nicotina.mg > x <- df$catrame.mg > o <- lm(y ~ x) > resid(o) # estrae i residui direttamente da o
42 > df <- read.table("sigar.txt", header = TRUE) > y <- df$nicotina.mg > x <- df$catrame.mg > o <- lm(y ~ x) > fitted(o) # estrae gli yhat direttamente da o
43 > o <- lm(y ~ x) > r <- resid(o) > n <- length(x) > rmse <- sqrt(sum(r^2)/(n - 2)) > rmse [1] > s <- sqrt(sum((y - mean(y))^2)/(n - 2)) > sqrt(1 - cor(x, y)^2) * s [1]
44 > summary(lm(y ~ x)) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) *** x e-12 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 23 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 23 DF, p-value: 1.442e-12
45 diagnosticare i problemi
46 limiti del metodo il metodo della regressione lineare funziona se vale una condizione detta normalità bivariata ossia: se il diagramma di dispersione ha la caratteristica forma a uovo (sigaro, pallone da rugby)
47 normalità bivariata il diagramma di dispersione ha la caratteristica forma a uovo (sigaro, pallone da rugby). se le distribuzioni marginali di x e y hanno la caratteristica forma a campana (normale, gaussiana)
48 RMSE come errore di previsione il RMSE nella regressione misura quanto della dispersione di y NON è attribuibile all effetto di x ("spiegabile" da x) in questo senso dovrebbe essere l'errore di previsione tipico, ma se la normalità bivariata non tiene non lo è più
49 eteroschedasticità y x
50 non linearità y x
51 metodi di diagnosi guardare il diagramma di dispersione! esaminare le distribuzioni univariate di x e y usare qqnorm() esaminare la distribuzione dei residui altri
52 > plot(x, y) > abline(lm(y ~ x)) y x
53 > op <- par(mfrow = c(2,2)) > hist(x) > hist(y) > qqnorm(x) > qqline(x) > qqnorm(y) > qqline(y) > par(op)
54 Histogram of x Histogram of y Frequency Frequency x y Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot Sample Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles
55
56 relazione non lineare > x <- seq(0, 1, length = 100) > y <- dexp(x, rate = 4) > e <- rnorm(100) > y <- y + e/6 > plot(y ~ x) > abline(lm(y ~ x))
57 y x
58 > o <- lm(y ~ x) > summary(o) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 *** x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 98 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16
59 Histogram of o$resid Frequency o$resid
60 > o <- lm(y ~ x) > plot(o) Residuals vs Fitted Normal Q-Q Residuals Standardized residuals Fitted values Theoretical Quantiles Standardized residuals Scale-Location Standardized residuals Residuals vs Leverage Cook's distance Fitted values Leverage
61 Residuals vs Fitted Normal Q-Q Residuals Standardized residuals residui normali? linearità? Fitted values Theoretical Quantiles Scale-Location Residuals vs Leverage Standardized residuals Standardized residuals Cook's distance outlier? omoschedasticità?? Fitted values Leverage
62 regressione senza intercetta
63 y b? a? x
64 > ex <- rnorm(100) > ey <- rnorm(100) > b <- 1.5 > x <- runif(100, 0, 4) > x <- x + ex > y <- x * b + ey b? > plot(x, y) a?
65 > mod1 <- lm(y ~ x) > mod1 Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) x > mod2 <- lm(y ~ x - 1) > mod2 Call: lm(formula = y ~ x - 1) Coefficients: x 1.474
66 > plot(x, y) > abline(v = 0, lty = "dashed") > abline(h = 0, lty = "dashed") > abline(mod2, col = "red") > abline(mod1, col = "blue")
67 y x
68 > summary(mod1) Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 98 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16
69 > summary(mod2) Call: lm(formula = y ~ x - 1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) x <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 Residual standard error: on 99 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: 1513 on 1 and 99 DF, p-value: < 2.2e-16
70 > anova(mod2, mod1) Analysis of Variance Table Model 1: y ~ x - 1 Model 2: y ~ x Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
71 smoothers
72 y x <- seq(0, 1, length = 100) y <- dexp(x, rate = 4) e <- rnorm(100) y <- y + e/6 plot(y ~ x) x
73 y > lines(x, runmed(y, k = 3))
74 y > lines(x, runmed(y, k = 49)) x
75 y > lines(ksmooth(x, y, bandwidth = 1))
76 y > lines(lowess(x, y)) x
77 spline
78 y > lines(smooth.spline(x, y)) x
79 bag-plot
80 region with 50% of bivariate observations bag-plot The + univariate boxplot has been widely used since proposed by Tukey around Tukey (1975) also suggested a multivariate generalization of depth of an observation on which the boxplot is based, but no implementation of this idea had been available until quite recently. Peter Rousseeuw, Ida Ruts and John Tukeyy worked out the bivariate extension, called a bagplot, illustrated here. The large + marks the bivariate median. The dark inner region (the ``bag'') contains the 50% of the observations with greatest bivariate depth. The lighter surrounding ``loop'' marks the observations within the bivariate fences. Observations outside the loop are plotted individually and labeled.. bivariate median region with 100% of bivariate observations outlier
81 Engine power Camaro Mustang Chevrolet Ford Victoria Nissan van Vehicle weight from Rousseuw et al (1999) Am Statistician, Fig. 1
82 associazione fra una variabile categoriale e una numerica
83 due categorie
84 stereogramma di punti casuali (Random Dot Stereogram)
85 > df <- read.table("~/desktop/r/dispense/ esempi_corso/rds.txt", header = 1) > str(df) 'data.frame': 78 obs. of 2 variables: $ Ts : num $ group: Factor w/ 2 levels "NV","VV":
86 NV: nessuna informazione Visiva o Verbale
87 V: immagine sopra + formica
88 > boxplot(rds$ts ~ RDS$group, xlab = "gruppo", ylab = "tempo(s)") tempo(s) NV VV gruppo
89 no preview preview Density Density time(s) time(s) Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot Sample Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles
90 > boxplot(log10(rds$ts) ~ RDS$group, xlab = "gruppo", ylab = "log(tempo)") log(tempo) NV VV gruppo
91 no preview preview Density Density log(time)) log(time)) Normal Q-Q Plot Normal Q-Q Plot Sample Quantiles Sample Quantiles Theoretical Quantiles Theoretical Quantiles
92 > RDS$group [1] NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV [22] NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV NV [43] NV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV [64] VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV VV Levels: NV VV > as.numeric(rds$group) [1] [32] [63] > x <- as.numeric(rds$group) - 1
93 > plot(log10(rds$ts) ~ x) log10(rds$ts) x
94 > RDS.lm <- lm(log10(rds$ts) ~ x) > coef(rds.lm) (Intercept) x > mvv <- mean(log10(rds$ts[rds$group == "VV"])) > mnv <- mean(log10(rds$ts[rds$group == "NV"])) > dm <- mvv - mnv > dm [1] > mnv [1]
95 > abline(rds.lm) log10(rds$ts) x
96 misurare l associazione l associazione fra x (categoria 0, 1) e y (tempo) può essere misurata da r > cor(log10(rds$ts), x) [1]
97 misurare l associazione ma r è anche data dalla pendenza, moltiplicata per il rapporto DSx/DSy > lcf <- coef(rds.lm) > (lcf[[2]] * sd(rds$dc))/sd(log10(rds$ts)) [1]
98 d di Cohen associazione (nel senso di effect size) fra una variabile categoriale dicotomica e un variabile numerica differenza fra le medie, standardizzata
99 d di Cohen effect size di una variabile categoriale dicotomica su una variabile numerica > lcf[[2]]/sd(log10(rds$ts)) [1] pendenza DSy
100 stima congiunta della DS d è una differenza fra medie, standardizzata (cioè divisa per una DS) ma è giusto calcolare così la DS? in realtà, una stima migliore si ottiene con una media pesata delle DS prese separatamente
101 pesare in base alla precisione se DS1 è basata su n1 casi, e DS2 è basata su n2 casi la stima ottimale è una media pesata usando w1 = n1/(n1 + n2) w2 = n2/(n1 + n2)
102 ma partendo dalla varianza! n1-1 n2-1 s = var1 + var2 n1 + n2-2 n1 + n2-2
103 d di Cohen >lt1 <- log10(rds$ts)[rds$group == "NV"] >lt2 <- log10(rds$ts)[rds$group == "VV"] >n1 <- length(t1) >n2 <- length(t2) >s<- sqrt(((n1-1)*var(lt1)+(n2-1)*var(lt2))/ (n1+n2-2)) >d <- lcf[[2]]/s > >d [1]
104 tre categorie
105 library(mass) data(anorexia) anorexia <- within(anorexia, difw <- 100 * (Postwt-Prewt)/Prewt) with(anorexia, boxplot(difw ~ Treat, ylim = c(min(difw), max(difw)), ylab = "Weight Gain (lb)", xlab = "Treatment")) with(anorexia, abline(h=0,col="dark grey", lty = "dashed"))
106 Weight Gain (lb) CBT Cont FT Treatment
107 > str(anorexia) 'data.frame': 72 obs. of 4 variables: $ Treat : Factor w/ 3 levels "CBT","Cont","FT": $ Prewt : num $ Postwt: num $ difw : num
108 > str(anorexia) 'data.frame': 72 obs. of 4 variables: $ Treat : Factor w/ 3 levels "CBT","Cont","FT": $ Prewt : num $ Postwt: num $ difw : num > anorexia$treat [1] Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont [13] Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont [25] Cont Cont CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT [37] CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT [49] CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT FT FT FT FT FT [61] FT FT FT FT FT FT FT FT FT FT FT FT Levels: CBT Cont FT
109 > anorexia$treat [1] Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont [13] Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont Cont [25] Cont Cont CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT [37] CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT [49] CBT CBT CBT CBT CBT CBT CBT FT FT FT FT FT [61] FT FT FT FT FT FT FT FT FT FT FT FT Levels: CBT Cont FT > anorexia$dum1 <- c(rep(0, 26), rep(1, 29), rep(0, 17)) > anorexia$dum2 <- c(rep(0, 26), rep(0, 29), rep(1, 17))
110 > head(anorexia) Treat Prewt Postwt difw dum1 dum2 1 Cont Cont Cont Cont Cont Cont > tail(anorexia) Treat Prewt Postwt difw dum1 dum2 67 FT FT FT FT FT FT
111 > anor.lm <- with(anorexia, lm(difw ~ dum1 + dum2)) > anor.lm Call: lm(formula = difw ~ dum1 + dum2) Coefficients: (Intercept) dum1 dum > tapply(anorexia$difw, anorexia$treat, mean) CBT Cont FT
112 > anor.lm <- with(anorexia, lm(difw ~ dum1 + dum2)) > anor.lm Call: lm(formula = difw ~ dum1 + dum2) Coefficients: (Intercept) dum1 dum > tapply(anorexia$difw, anorexia$treat, mean) CBT Cont FT
113 CBT Cont FT Post-treatment weight (lbs) Pre-treatment weight (lbs)
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