Ad esempio, consideriamo la distribuzione normale standardizzata. Esistono 4 funzioni ad essa relative:

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1 Laboratorio 5 Distribuzioni R consente di gestire automaticamente molte distribuzioni (per calcolare probabilità, quantili,... ). Questo permette di effettuare verifiche di ipotesi, calcolare intervalli di confidenza, ecc. Ad esempio, consideriamo la distribuzione normale standardizzata. Esistono 4 funzioni ad essa relative: dnorm(x) calcola il valore della densità in <x>; pnorm(q) calcola il valore della ripartizione in <q>; qnorm(p) calcola il quantile di livello <p>; rnorm(n) genera un campione da una normale standard di dimensione <n>. Per vedere per esempio l andamento della funzione di ripartizione di una normale standard: > x <- seq(-5, 5, length=100) > rip <- pnorm(x) > plot(x, rip, type="l") Ovviamente, possono essere gestite normali non standardizzate: è sufficiente aggiungere nell ordine la media e la deviazione standard nelle chiamate sopra viste. > args(pnorm) function (q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) > rip1 <- pnorm(x, 2, 0.7) > lines(x, rip1, col=2) Alcune delle distribuzioni disponibili sono: 22

2 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI R Distribuzione Parametri Defaults chisq chi-quadrato df - exp exponenziale rate 1 f F df1, df2 -, - gamma Gamma shape, scale -, 1 lnorm log-normale meanlog, sdlog 0, 1 norm normale mean, sd 0, 1 t t di Student df - unif uniforme min, max 0, Adattamento ad una distribuzione Variabili continue Consideriamo un campione generato da una distribuzione normale standard di ampiezza 10: > x <- rnorm(10) Supponiamo di non sapere che il campione proviene da una popolazione normale. Proviamo a studiare graficamente la distribuzione dei dati per capire da che popolazione deriva. > hist(x) > hist(x, nclass=8) > hist(x, nclass=15) > boxplot(x) Aumentiamo la numerosità: > xx <- rnorm(100) > hist(xx) > boxplot(xx) Che strumenti grafici abbiamo a disposizione per vedere se proviene o meno da una distribuzione normale? > par(pty="s")

3 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI 24 Esercizio: provare a verificare la normalità di x. Cosa si puo dire? Per rendersi conto dell aspetto del qqnorm quando i dati non sono normali, generiamo dei dati da una distribuzione simile alla normale e da una completamente diversa e poi confrontiamoli: > y <- rt(100,2) > hist(y) > qqnorm(y) > qqline(y) > z <- rexp(100) > hist(z) > qqnorm(z) > par(mfrow=c(1,2)) > qqnorm(y) > qqline(y) > qqnorm(z) > par(mfrow=c(1,1)) Per verificare l adattamento dei dati ad una distribuzione diversa dalla normale, il comando qqnorm non può essere usato. Un grafico analogo ma compatibile con la distribuzione in esame può essere ottenuto con il comando (es. nel caso della distribuzione esponenziale): > qqplot(qexp(ppoints(z)), sort(z)) Variabili discrete Generiamo 100 dati da una Poisson di parametro 5: > x <- rpois(100,5)

4 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI 25 La distribuzione di frequenze può essere ottenuta con il comando table: > tab <- table(x) > tab > names(tab) [1] "0" "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7" "8" "9" "10" Un semplice grafico della distribuzione di frequenze assolute (detto diagramma a bastoncini) può essere ottenuto con i comandi: > plot(tab, type="h") > points(tab,pch=5) Dal momento che alcuni valori potrebbero avere frequenza nulla, può essere conveniente costruire il grafico in questo modo: > plot(as.numeric(names(tab)), tab, type="h") > points(as.numeric(names(tab)), tab, pch=5) Per vedere l accostamento di variabili discrete a modelli di riferimento, possiamo confrontare la nostra distribuzione empirica di frequenze con quella teorica che ci si aspetta dato il modello di riferimento. Per esempio, confrontiamo la nostra distribuzione di frequenze empirica con quella teorica che ci si aspetta per una Poisson(5) (che in questo caso sappiamo essere la distribuzione di provenienza dei dati, ovvero ci aspettiamo una forte similitudine). Costruiamo prima la probabilità di ottere 1,2,3,4,...,13 per una Poisson(5): > prob <- dpois(1:13,5) Per ottenere le frequenze attese per 100 individui: <- 100*prob [1] [7] [13] <- round(attese) [1] > names(attese) <- 1: > names(attese) [1] "1" "2" "3" "4" "5" "6" "7" "8" "9" "10" "11" "12" "13"

5 LABORATORIO 5. DISTRIBUZIONI 26 Quindi confrontiamo. > tab Per effettuare il confronto grafico: > lines((1:13)+0.2, attese, lty=3, type="h", col=2) Alcune classi potrebbero avere una frequenza che supera il limite superiore dell asse y nel grafico. È quindi necessario ricostruire l intero grafico tenendo conto di questo: > plot(as.numeric(names(tab)), tab, type="h", ylim=range(tab,attese)) > points(as.numeric(names(tab)), tab, pch=5) > lines((1:13)+0.2, attese,lty=3, type="h", col=2) > points((1:13)+0.2, attese, pch=3)