Coppie di variabili aleatorie

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1 Coppie di variabili aleatorie 1 Coppie di variabili aleatorie Definizione: Si definisce vettore aleatorio la coppia (,) dove,, sono definite sullo stesso spazio campione : S R, : S R (, ) : S R Esempio: peso-altezza di una persona (, ) random vector 1

2 Variabili discrete { } (, ) ω / ( ω), ( ω) = x = = S = x = { ω / ( ω) } ω / ( ω) { } = S = x S = ( ) ω = ( ) ω = x 3 Esempio: S = {( T, T ),( C, C ),( C, T ),( T, C )} massa di probabilità congiunta massa di probabilità marginale 4

3 Il grafico nel lucido precedente è stato costruito in R con le seguenti istruzioni: > librar(scatterplot3d) > x<-matrix(0.5,,) > x [,1] [,] [1,] [,] > sd3.dat<-data.frame(columns=c(col(x)),rows=c(row(x)),value=c(x)) > scatterplot3d(sd3.dat,tpe='h',lwd=5,color='red',main='joint pdf', + x.ticklabs=seq(0,1,0.0),.ticklabs=seq(0,1,0.0)) > 5 { ( ) ( ) } ( ) { } { ( ) } ω S : ω x, ω = ω S : ω x ω S : ω (ω) = ω S (ω) = x { ω : ( ω), ( ω) } P S x = F, ( x, ) Funzione di ripartizione doppia 6 3

4 Torniamo all esempio del lancio delle due monete. Massa di probabilità Funzione di ripartizione Proprietà F ( +, + ) = 1 ( ) F, = 0 ( ) ( ) F, = F x, = 0 7 Il grafico nel lucido precedente è stato costruito con le seguenti istruzioni: > x<-c(0,0.5,1,1.01,1.5,) > =x > z<-matrix(1,length(x),length()) > fix(z) > persp(x=x,=,z,zlim=c(0,),ticktpe='detailed',theta=40,phi=0, + main='cdf') 8 4

5 9 { 1 <, 1 < } = (, ) (, ) (, ) (, ) P x x F x F x F x F x x1 x 10 5

6 Funzioni di ripartizione marginali { ω ( ω) } ω ( ω) { } P S : x = F ( x), P S : = F ( ) Definizione : Le v.a. e si dicono indipendenti se e solo se F, ( x, ) = F ( x) F ( ) x, R 11 Esercizio: In un lotto scelto casualmente di 1000 bulloni, sia il numero di bulloni che non soddisfano la specifica per la lunghezza e sia il numero di quelli che non soddisfano la specifica per diametro. Si assuma che la funzione di probabilità di massa congiunta di e di sia quella presente nella tabella. Calcolare ( = 0 = ) P ( > 0 1) P P ( 1) P ( > 0) > Si calcoli la probabilità che tutti i bulloni nel lotto soddisfino la specifica per la lunghezza. > Si calcoli la probabilità che tutti i bulloni nel lotto soddisfino la specifica per il 1 diametro. 6

7 Variabili continue { ω ω ω } f ( x, ) x = P S / ( ) ( x, x + x), ( ) (, + ) { ω / ( ω) (, )} { ω / ( ω) (, )} = P S x x + x S + { ω ( ω) ( ω) } =, P S : x, F ( x, ) Funzione di ripartizione doppia x F x? = f ( x f, ( s, ) t) d s dt ( ),, Qual è la relazione fra la funzione densità congiunta e la funzione di ripartizione? 13 Gaussiana bidimensionale standard 1 x + f ( x, ) = exp π 1 x 1 f ( x, ) = f ( x) f ( ) = exp exp π π x<-seq(-3,3,0.1) <-seq(-3,3,0.1) fun<-function(x,){(1/(*pi))*exp(-(x^+^)/)} z<-outer(x,,fun) output<-persp(x,,z,theta=60,phi=15,ticktpe = "detailed", main='cdf plot',expand=0.8) 14 7

8 Teorema : Due variabili aleatorie ass. continue sono indipendenti se e solo se f ( x, ) = f ( x) f ( ) In generale, le densità marginali possono essere calcolate come: f ( ) f ( s, ) ds f ( x) f ( x, t) dt = = Ogni curva ottenuta sulla superficie fissando un valore per x o per è ancora gaussiana. I grafici si riferiscono a f ( x, 1.5) f ( x, 0.5) 16 8

9 F Per la funzione di ripartizione congiunta > install.packages('mnormt'), ( x, ) x = f ( s, t) d s dt > x<-seq(-3,3,0.1) > <-x appp<-matrix(0, length(x), length(x)) > fun<-function(x,){pmnorm(c(x,),mu,sigma)} > for (i in 1:61) { for (j in 1:61) { appp[i,j]<-fun1(x[i],[j])}} >persp(x,,appp,zlab="f(x,)",ticktpe = "detailed", + main='gaussian cdf plot',expand=0.8, col=rainbow(0)) 17 B f ( x, ) d x d Selezionando opportune regioni nel dominio, si ottiene un volume. 18 9

10 [ ] f ( x, ) x P x < x + x, < + f ( x, ) ( x, ) F = x Assegnata la funzione di ripartizione, come si calcola la funzione densità? Abbiamo visto che: { 1 <, 1 < } = (, ) (, ) (, ) (, ) P x x F x F x F x F x [ ] f ( x, ) x P x < x + x, < + (, ) (, ) (, ) (, ) = F x + x + F x + x F x + F x ( +, + ) ( +, ) (, + ) (, ) F x x F x x F x F x =? x x, 0 ( +, + ) ( +, ) (, + ) (, ) F x x F x x F x F x lim =? x ( x, ) F = x 0 10

11 Poichè x x x 1 1 allora x x 1 1 Condizione di normalizzazione ( ) { } = x < = f ( x, ) d x d = 1 F?, (, ) d d x P x f x x ( ) { } F P, f ( x, ) d x d ( x ) x = P{ x < x < } F, d d,, 1 1 = < = { } f ( x, ) d x d = P x < x, < Trasformazioni lineari di var. gaussiane sono ancora gaussiane, ossia µ σ µ σ se N(, ) allora = a + b N( a + b, a ) Pertanto i modelli di regressione lineare vengono molto usati in presenza di popolazioni gaussiane. Quando la relazione non è lineare, allora la funzione densità di probabilità diventa: f per ( x, ) R,(, ) R, con parame ( x µ ) ρ ( x µ )( µ ) ( µ ) 1 1 ( x, ) = exp + πσ σ 1 ρ (1 ρ ) σ σ σ σ µ µ tri σ > 0, σ > 0 e ρ (-1,1). [ ] [ ] [ ] [ ] dove µ = E, µ = E, σ = Var, σ = Var, ρ ( 1,1) Teorema : ρ = 0 e indipendenti 11

12 Gaussiana bidimensionale Un diverso modo di scrivere la densità è quello di usare la matrice di covarianza: ( x µ ) ρ ( x µ )( µ ) ( µ ) 1 + = Σ (1 ρ ) σ σ σ σ dove x µ σ cov(,) x =, µ = Σ = µ cov (, ) σ T 1 ( x µ ) ( x µ ) Notazione : La f for ( x, ) R ( x, ) = funzione densità di probabilità di una ( π ) 1 n / Σ,( µ, µ ) R 1/ 1 exp, con parametriσ T 1 [( x µ ) Σ ( x µ )] > 0, σ normale bivariata è : > 0 e ρ (-1,1). 4 1

13 Sezioni della gaussiana bidimensionale sono (contour()) 5 Esercizio : Consideriamo le v.a. e con densità congiunta 1 1+ x f(, )( x, ) = exp x 0, 0 3 1/ t x ( / t 1 x ) / x e e 1/ e F(, )( x, ) = f(, )( s, t)d s dt dt e 1 0 = 0 = 0 t 1 + x x 1/ F ( x) = lim F(, )( x, ) = F 1 + ( ) = lim F(, )( x, ) = e x x Istruzioni in R per il grafico della distribuzione congiunta: > x<-seq(0,15,0.5) > <-seq(0,4,0.5) > fun<-function(x,){exp(-1/)*(1-(exp(-x/)/(1+x)))} > z<-outer(x,,fun) > output<-persp(x,,z,theta=60,phi=15,ticktpe = "detailed", + main='cdf plot',expand=0.3,zlim=range(0,1)) > lines (trans3d(x, =0, z=x/(1+x), pmat = output), col = 'red',lwd=4) > lines (trans3d(x=15,, z=exp(-1/), pmat = output), col = 'green',lwd=4) 6 13

14 7 Mediante derivazione si ha: 1 1 f ( x) = f ( ) = e (1 + x) 1/ 8 14

15 Istruzioni in R per il grafico precedente: > x<-seq(0,,0.1) > <-seq(0,1,0.05) > fun<-function(x,){(1/^3)*exp(-(1+x)/)} > z<-outer(x,,fun) > output<-persp(x,,z,theta=40,phi=0,ticktpe = "detailed", + main='pdf plot') > lines (trans3d(x, =0, z=1/(1+x^), pmat = output), col = 'red',lwd=4) > lines (trans3d(x=,, z=exp(-1/)/^, pmat = output), + col = 'green',lwd=4) 9 Domini non rettangolari La probabilità che la coppia (,) appartenga al dominio D si può esprimere come somma (al limite, come integrale) delle probabilità che la coppia (,) appartenga a rettangolini di area infinitesima che ricoprono il dominio D

16 Sia (,) una coppia di variabili aleatorie con pdf congiunta f (x, ): calcoliamo P( ). Il dominio D da considerare in questo caso è quello definito da {(, ) : } D = x R x Tale dominio si può riguardare come normale sia rispetto all asse x che all asse, 31 Esercizio : Siano T e T tempi di vita di due sistemi indipendenti con tassi 1 costanti λ e λ. Calcolare P( T T ). 1 1 t 1 = ( 1 ) 1 1 P( T T ) f t, t dt dt t1 t1 = f ( t ) f ( t )dt d t f ( t ) f ( t )dt = dt t1 = λ exp( λ t ) λ exp( λ t )dt dt [ ] = λ exp( λ t ) 1 exp( λ t ) dt λ = λ + λ

17 Esercizio : Calcolare P( ) quando e sono variabili aleatorie con densità congiunta e e x > > f ( x, ) = 0 altrove x x 0, 0 ( ) P( ) = f x, d x d = Una classe molto importante di trasformazioni: Somme di variabili aleatorie P( Z z) = P( + z) = f ( x, ) d x d z x {( x, ) : x+ z} = f ( x, ) d dx Se le v.a. sono indipendenti allora f ( x, ) = f ( x) f ( ) z x = f ( x) f ( ) d dx = f ( ) ( ) x F z x dx z x poni GZ ( z) = f ( x) f ( ) d dx = t = + x z z f ( x) f ( t x) dt d x = f ( t x) f ( x)d x dt 34 17

18 (font wikimedia) Spesso usate in operazioni di smoothing Convoluzione di una legge gaussiana con una esponenziale Convoluzione di una legge di tipo Heaviside con la bisettrice I e III quadrante. 35 Trasformazioni di variabili aleatorie = g( ) discreta a) g monotona = P(=x) 1/3 1/3 1/3 b) g non monotona P(=x) 1/3 1/3 1/3 = -1 5 P(=) 1/3 1/3 1/3 0 1 P(=) 1/3 /

19 assolutamente continua a) g monotona 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) ( = = = ( )) = ( ( )) F P P g P g F g d f F d ( ) = ( ) µ σ = + Esempio: Provare che se N(, ) allora a b N(?,?) 37 Distribuzione Lognormale Se N( µ, σ ), allora = exp( ) ha distribuzion e lognormale. La distribuzione ha due parametri: µ, σ Usata per modellare il tempo di vita di unità i cui guasti avvengono per usura o per stress. (sistemi meccanici) La funzione di ripartizione è: 1 1 ln x µ + Erf σ erf function 38 19

20 La Erf function è anche detta funzione errore, poichè contribuisce alla funzione di ripartizione della distribuzione gaussiana. x 1 1 x Erf ( x) = exp ( t ) d t Φ ( x) = + Erf π 0 Si può costruire il probabilit plotting paper usando la seguente trasformazione: 1 µ Erfinv Φ ( x) 1 = ln x σ σ 39 Distribuzione di Gumbel Altra legge molto usata in teoria dell affidabilità è ( ) T = µ β log λ con Exp( λ) La v.a. così costruita prende il nome di v.a. di Gumbel (o dei valori estremi) = max o min di campioni casuali. Esercizio: Determinare la funzione densità della v.a. di Gumbel. In R la distribuzione di Gumbel è inserita tra le functions del pacchetto evd. µ location β scale > dgumbel(x,loc,scale) 40 0

21 Per il probabilit plotting paper si osservi che la funzione di ripartizione risulta: µ x F( x) = exp exp β Di conseguenza la trasformazione cercata è 1 µ 1 log log x F ( x ) = β β Il grafico è costruito su datiprimoesercizio.r 41 Distribuzione chi-quadrato b) Se la gnon è monotona Esercizio: Sia N(0,1). Si calcoli la pdf di = 0 < 0 F ( ) = P ( ) = P( ) = P( ) 0 1 x x = exp dx = exp dx π π 0 Pertanto la funzione densità risulta essere: f 1 ( ) = exp π > <-dchisq(x,1) 1

22 I gradi di libertà di una v.a. chi-quadrato possono assumere valori interi maggiori di 1. Trattandosi di una v.a. che assume valori solo positivi, i quantili non sono simmetrici rispetto all asse delle. Problema: etichettare gli estremi dell intervallo I tale che P( I) = 1 α 43 1 α?? α P χn χ α = 1 n,1 > qchisq(0.05,3) [1] α / α P χn χ α = n, > qchisq(0.975,3) [1]

23 Oltre alla convoluzione di due v.a., è possibile calcolare il rapporto di due variabili aleatorie. Ne segnaliamo due che useremo nel seguito: Distribuzione T-Student Siano Z N(0,1) e χn Chi( n) indip. La variabile aleatoria T n = Z χ / n n è detta variabile aleatoria T-student [ ] E T n [ ] Var T = 0, n n n =, n 3 n William Seal Gosset 45 Per n = 1, T Cauch T N(0,1) = N(0,1) Per n T N(0,1) Esercizio: Determinare il valore del quantile ( n n ) P t < T < t = t α, α /, α / 1 α n, / tale che 46 3

24 Bisogna determinare quel valore del range di T tale che n = 5 e α = 0.05 =.57 t10, α / t5, α / n = 10 e α = 0.15 > qt(0.975,5) [1] = t α / > qt(0.95,30) [1] > qt(0.95,50) [1] α > qt(0.95,10) [1] > qnorm(0.95,0,1) [1] Distribuzione F-fisher Se T è Tn -student, allora F = T ha legge di Fisher (1, n). Infatti T χ /1 / / n = Z 1 χn n χn Siano χm e χn due var. al. con legge chi-quadrato con gradi ( m n) ( χm ) ( χn ) di libertà rispettivamente m e n. La var. al. / m / / n ha legge di Fisher di gradi di libertà,. >df(x, m, n) Sintassi in R 48 4

25 Al variare di m Al variare di n 49 5