DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA PER L IDROLOGIA

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1 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA PER L IDROLOGIA 8 ottobre 06

2 INDICE i Indice Richiami di statistica applicata all Idrologia. Distribuzioni di probabilità Stimatori Variabili discrete Funzione di distribuzione cumulata Variabili aleatorie continue Schede distribuzione 7. Distribuzione uniforme Distribuzione esponenziale Distribuzione Normale Distribuzione Lognormale a parametri Distribuzione lognormale a 3 parametri Distribuzione di Gumbel Distribuzione GEV

3 7 Capitolo Schede distribuzione. Distribuzione uniforme F (x) = x i s i f(x) = s i x(f )= i +( s i )F L µ = ( i + s ) = ( i + s ) = ( s i ) = 6 ( s i ) c v = p ( s i ) ( i + s ) 3 =0 =0 4 =0 P arametri(m) P arametri(l M ) s =µ i s = i i = s p 3 i = s 6

4 8 Schede distribuzione Proprietà La distribuzione uniforme viene generalmente utilizzata per generare campioni casuali da qualsiasi altra distribuzione, oppure per assegnare una probabilità ad una variabile casuale di cui non si hanno informazioni disponibili e per cui non si possa ipotizzare un altra distribuzione a priori. E utilizzata per rappresentare variabili aleatorie continue di cui è noto a priori che i loro valori possibili appartengono ad un dato intervallo e all interno di questo intervallo tutti i valori sono equiprobabili. Per tale motivo al posto di e (parametri di posizione e scala) vengono introdotti due parametri che definiscono l intervallo di probabilità: i e s detti appunto limite inferiore e superiore della distribuzione (infatti il campo di esistenza è compreso tra questi due estremi).

5 . Distribuzione esponenziale 9. Distribuzione esponenziale F (x) = e (x ) f(x) = e (x ) x(f )= ln( F ) L µ = + = + = = / c v = + 3 =/3 = 4 =/6 k =9 P arametri(m) P arametri(l M ) = µ = = = Proprietà speciali E una funzione di distribuzione continua, strettamente correlata con la funzione di distribuzione di Poisson nel senso che se gli eventi della variabile aleatoria sono distribuiti secondo una distribuzione di Poisson, allora i tempi fra arrivi successivi ( ) sono distribuiti secondo una distribuzione esponenziale. f( ) = e per 0 apple apple, > 0 Il parametro della distribuzione di Poisson, uguale al numero medio di arrivi nell unità di tempo corrisponde allora al reciproco del tempo medio di attesa: E[X] = /

6 0 Schede distribuzione.3 Distribuzione Normale F (x) = R x p e x dx f(x) = p e x x(f )= + (F ) L µ = = = =0, 564 c v = 3 =0 =0 4 =0.6 k =3 P arametri(m) P arametri(l M ) = µ = = = / Forma Canonica Variabile normale standardizzata o ridotta y = (x µ) = (x ) f(y) = p e y F (y) = Z y p e y dy

7 .3 Distribuzione Normale F ( y) = F (y) Valori notevoli di y(f )edif (y) F (y) = (0.05, 0.50, 0.975) y = (-.96, 0.00,.96) y = (-.0, -.0, 0.0,.0,.0) F (y) = (0.08, 0.587, 0.5, 0.843, 0.977) Rappresentazione in carta probabilistica F i = F (x i )= i N + = 3 8 = x = µ + u = + y y = (x ) Figura.

8 Schede distribuzione.4 Distribuzione Lognormale a parametri F (x) = p R x exp apple log(x) dx apple f(x) = p x exp log(x) x>0 x(f )=exp + (F ) > 0 L µ =exp( + /) =exp( + /) =[exp( ) ] exp( + ) = e + / ( / p ) P arametri(m) P arametri(l M ) =lnµ /ln(+ /µ ) =ln / = p ln( + /µ ) = p + Note Il simbolo standard, e ( ) rappresenta la funzione di probabilità cumulata della distribuzione Normale ( ) la relativa funzione quantile. Proprietà speciali Connessione con parametri della Distribuzione Normale della grandezza y =lnx La variabile casuale x ha distribuzione lognormale, con parametri e,selnxhadistribuzione normale con media e deviazione standard. La distribuzione lognormale si utilizza per rappresentare variabili aleatorie continue che si ritengono avere distribuzione asimmetrica.

9 .5 Distribuzione lognormale a 3 parametri 3.5 Distribuzione lognormale a 3 parametri f(x) = p 3 (x ) exp log(x ) 3 F (x) = log(x ) 3 x(f )= +exp + 3 (F ) L µ = +exp( + 3 /) = +exp( + 3 /) =[exp( 3 ) ] exp( + 3 ) =exp( + 3 /)[ ( 3/ p ) ] =[exp( 3 ) + ]p exp( 3 ) 3 3 A 0 +A 3 +A 4 3 +A B 3 +B 4 3 +B apple = e 4 3 +e e C 0 +C 3 +C 3 4+C D 3 +D 3 4+D P arametri(m) P arametri(l M ) = µ t = k 3 = r log + (µ 3 ) = log k = log (µ ) 3 3 = k t = 3p + + 3p k 3 E 0 +E 3 +E 4 3 +E F 3 +F 4 3 +F = µ 3 = ke 3 3 / ( 3 / p ) = µ = 3 ( e 3 / ) Note Il simbolo standard, e ( ) rappresenta la funzione di probabilità cumulata della distribuzione Normale ( ) la relativa funzione quantile.

10 4 Schede distribuzione Icoe cienti di approssimazione riportati nell equazioni relative agli L-momenti sono descritti da Hosking & Wallis (997) e validi per 3 apple = A 0 = C 0 = E 0 = A = C = E = A = C = E = A 3 = C 3 = E 3 = B = D = F =.0873 B = D = F =.4040 B 3 = D 3 = F 3 =

11 .6 Distribuzione di Gumbel 5.6 Distribuzione di Gumbel F (x) =e e x f(x) = e x x e e x(f )= ln[ ln(f )] L µ = +0, 577 = +0, 577 = ( /6) = ln =, =0, 699 apple =5+/5 4 =0, 504 P arametri(m) P arametri(l M ) = µ 0, 577 ( p 6/ ) = 0, 577 = ( p 6/ ) = / log Forma Canonica Variabile normale standardizzata o ridotta y = (x ) F (y) =exp[ exp y ]

12 6 Schede distribuzione Figura.: Esempio di carta probabilistica di Gumbel.

13 .7 Distribuzione GEV.7 7 Distribuzione GEV F (x) = e f (x) = y= x(f ) = 3 8 g > < =+ 3 > : = = )/ }, 3 = = 0 L µ = + [ = y + [ ( ln F ) 3 ]/ 3, 3 = 6 0 ln( ln F ), 3 = 0 y ( 3 )y e e 3 ln{ 3 (x (x )/, e (g ( + 3 )]/ 3 = + [ g ) = ( 3g g +g3 3 (g g ) g3 3g g +g3 (g 3 g ) if 3 > 0 g4 4g g3 +6g g 3g4 (g g ) 3 3 = ( 4 = ( + 3 )]/ 3 3 )/( 3 5( 4 3 ) if 3 < 0 ( + 3 )]/ 3 3 ) 3 ) 3 0( 3 3 )+6( ( 3 ) 3 ) gk = ( + k 3 ) P arametri(m ) = µ [ (+ 3 )] 3 P arametri(lm ) 3 ' c c = 3 (µ ) [ (+ 3 )] = 3 = ( ) (µ + ) = c= ( (+ ) 3 ( 3) ( + 3 )) log log 3 Note Per 3 = 0 la distribuzione GEV corrisponde ad una distribuzione di Gumbel. L approssimazione utilizzata per il calcolo di 3 con il metodo degli L-momenti ha un accuratezza migliore di 9 04 per