ln x a 2 f x exp x 0

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ln x a 2 f x exp x 0"

Flavia Cappelletti
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Il Modello Lognormale La funzione di densità di probabilità lognormale è data: ln x a 1 f x exp x 0 X b xb in cui a e b sono due costanti, con b 0. Se X è una v.a. lognormale allora Y lnx è distribuita secondo una legge normale: a, b. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 1

2 0.70 Il Modello Lognormale (segue) 0.60 Densita' di Probabilita' X 1 a 0, b 1, moda e Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan

3 Il Modello Lognormale (segue) Il momento r-esimo di una variabile lognormale è: E X r exp ar rb E X exp a b a b b Var X e e 1 Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 3

4 Il Modello di Weibull f X x 1 x exp x x 0 0 x 0 0, 0 1, si ha una v.a. di Rayleigh con valore atteso unitario. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 4

5 La densità di Weibull Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 5

6 La distribuzione di Weibull F X x 1 exp x x 0 0 x 0 infatti: df X dx x x 1 X e x f x Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 6

7 La Funzione Gamma La funzione Gamma che è definita mediante l'integrale: b 1 y che converge se b 0. b y e dy 0 Valori particolari della funzione gamma sono: Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 7

8 La Funzione Gamma Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 8

9 La Funzione Gamma La funzione Gamma è calcolabile per ogni b 0 se si conosce il suo andamento nell'intervallo 1 b. b1 b b Se b n (intero), vale la relazione: n 1 n n n n n! Quindi la funzione Gamma generalizza il fattoriale. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 9

10 Il modello Chi Quadro La densità di probabilità di una v.a. X di tipo chi-quadro, n, con n gradi di libertà, ha la forma: n x 1 1 x e x 0 n f x n X 0 x 0 L intero positivo n costituisce l'unico parametro di questa distribuzione. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 10

11 Il modello Chi Quadro Per n si ottiene l'esponenziale negativa con parametro 1 c. La somma dei quadrati di n v.a. indipendenti con distribuzione N0,1 è una variabile aleatoria di tipo n con n gradi di libertà. Se n la distribuzione Chi-quadro tende a quella Normale. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 11

12 Il modello Chi Quadro (segue) Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 1

13 Il modello Chi Quadro (segue) Il momento di ordine k di una v.a. Chi Quadro con n gradi di libertà è: n k k k E X n E X n Var X n Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 13

14 Il modello di Student Una v.a. continua X di tipo Student ha una funzione di densità: n 1 x f x 1 n n X n n1 x in cui n viene detto numero di gradi di libertà. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 14

15 Il modello di Student Poiché si ha f x f x X, la funzione di densità di Student è simmetrica rispetto all'origine. X All'aumentare del parametro n (n 30) il modello di Student approssima quello gaussiano standard. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 15

16 Il modello di Student (segue) f t (; tn) n = n. di gradi di libertà n nn t t Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 16

17 Il modello di Student (segue) Una v.a. di Student si può ottenere mediante la trasformazione: X U V/n in cui: 1. U è una v.a. gaussiana standard. V è una v.a. di tipo Chi Quadro con n gradi di libertà 3. U e V sono indipendenti Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 17

18 Valore atteso e Varianza: Il modello di Student (segue) Il valore atteso è nullo (simmetria della densità) La varianza esiste solo per n e vale Var X n n Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 18

19 Il modello di Erlang Una v.a. X è distribuita secondo la legge di Erlang (erlangiana) se: X n f x n 1! n1 x x e x 0 0 x 0 Quando n 1 la distribuzione Erlang si riduce ad una esponenziale. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 19

20 Il modello di Erlang La funzione di distribuzione è: 1 e x 0 0 x<0 n1 i x x F x i! X i0 Una v.a. di tipo Erlang con parametri e n si può ottenere come somma di n v.a. esponenziali indipendenti con uguale parametro. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 0

21 Il modello di Erlang (segue) X n = 3, =5 n = 3, =3 n = 3, = x Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 1

22 Il modello Gamma Una v.a. è distribuita secondo il modello Gamma se: b x b1 e x f x b X x 0 0 x 0 in cui b 0, 0, b è la funzione Gamma (b parametro di forma, parametro di scala). Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan

23 Il modello Gamma La funzione di distribuzione esiste in forma chiusa solamente se il parametro b è un intero positivo, altrimenti è esprimibile tramite la cosiddetta funzione Gamma incompleta che è tabulata. b E X b Var X Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 3

24 Il modello Gamma Valore atteso, varianza e momenti si ricavano dalla identità: k b1 x k b 0 x x e dx k b che si ottiene integrando per parti, ricordando che b1 b b. k b E X k k b Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 4

25 Il modello Gamma (segue) La somma di n v.a. indipendenti X i (i 1,,...,n) distribuite secondo il modello gamma con parametri e b i (i 1,,...,n), cioè con densità: i b 1 f x x i e x, x 0 X i b è una v.a. Y di tipo gamma con parametri e b i b = n i1 b i Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 5

26 Il modello Gamma (segue) I modelli esponenziali, Chi Quadro ed Erlang possono essere considerati come casi particolari del modello Gamma. Per b 1 x x f X x e e x 0 1 Esponenziale Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 6

27 Per b n e Il modello Gamma (segue) 1 n x 1 1 x e x 0 n f x n X 0 x 0 Chi Quadro Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 7

28 Per b intero positivo: X Il modello Gamma (segue) n f x n 1! n1 x x e x 0 0 x 0 Erlang Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 8

29 Il modello di Laplace Una v.a. continua segue il modello di Laplace se: c cx f x e X, c 0 La densità è simmetrica rispetto all origine e quindi X ha valore atteso nullo. Tutti i momenti di ordine dispari sono nulli. Se invece r è pari, il momento di ordine r vale: r r c cx r cx r! E X x e dx x ce dx 0 0 r c Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 9

30 Il modello di Cauchy Una v.a. continua è distribuita secondo il modello di Cauchy se: f x 1 a x a, a 0 X La funzione di distribuzione di probabilità è: 1 1 x F x arctg X a Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 30

31 Il modello di Cauchy La variabile aleatoria di Cauchy non ha valore atteso, infatti: +t lim t t x a ax dx non esiste (non corverge). Una v.a. di Cauchy può essere generata a partire da una variabile Uniforme in ; X atg mediante: Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 31

32 Il modello Geometrico Una v.a. geometrica ha una funzione di massa: P X k p q k 1 k 1,,3,... con p q 1 X m m, X k1 F x f k 1 q m x m 1 Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 3

33 Il modello Geometrico Tre masse della legge geometrica (k =, 3, 4) al variare di p. Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 33

34 Il modello Geometrico Il valore atteso di una variabile geometrica: E X 1 p La varianza vale: q VarX p Docenti: Gaspare Galati Gabriele Pavan 34

Documenti analoghi

La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria

La Funzione Caratteristica di una Variabile Aleatoria La funzione caratteristica Φ densità di probabilità è f + Φ ω = ω di una v.a., la cui x, è definita come: jωx f x e dx E e j ω Φ ω = 1 La Funzione