Prova scritta di Affidabilità dei sistemi e Controllo statistico di qualità. 11 Giugno 2014

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1 Prova scritta di Affidabilità dei sistemi e Controllo statistico di qualità 11 Giugno Supponiamo che un sistema sia formato da 3 blocchi connessi in parallelo. Il tempo di vita del sistema A è descritto da una legge esponenziale di parametro 2.5 semestri; il tempo di vita del sistema B è descritto da una legge log-normale di parametri 1.7 anni e 1.5 anni e il tempo di vita del sistema C è descritto da una legge gaussiana di parametri 3.5 lustri e varianza 1.2 Supponendo che il sistema abbia operato per 1 anno, qual è la probabilità che operi per altri 4 anni. 2. Assegnato = 0,1 0,1 e la funzione densità +2,, = 0 determinare k affinché sia una densità. Determinare la funzione di affidabilità. 3. Due catalizzatori vengono esaminati per verificare se influenzano la media della produzione chimica. Il primo catalizzatore è comunemente usato. Il secondo catalizzatore andrebbe a sostituire il primo, se viene provato che non modifica le caratteristiche del processo perché è più economico del primo. Viene effettuato un esperimento pilota e i risultati sono riportati in tabella. Stabilire se c è una differenza significativa. A B Un caricatore ha un voltaggio nominale di 350V. Nella fabbrica di produzione, un campione di 4 unità è selezionato ogni giorno e testato per effettuare controlli sul processo. La tavola fornisce le differenze tra i valori testati sulle 4 unità e il voltaggio nominale. Stabilire se il processo è in controllo statistico Cosa si può dire circa la capacità del processo se le specifiche di produzione sono 350V ± 5. E possibile ritenere che la popolazione da cui i dati sono stati estratti è gaussiana?

2 Num.campione X1 X2 X3 X SOLUZIONI 1. Si tratta di calcolare >5 >1 avendo indicato con T il tempo di vita del sistema. Trattandosi di un sistema in parallelo, la funzione di affidabilità risulta essere: 1 = Essendo una affidabilità condizionata è necessario calcolare + / dove s=1 anno e t=4 anni. Quindi bisogna calcolare anche 1 + = La matrice LERM associata al sistema risulta essere: 1 1/2 5 = /5 1/10 1 Poiché 5 anni corrispondono a 10 semestri, 1 anno corrisponde a 2 semestri, 5 anni corrispondo a 1 lustro e 1 anno corrisponde a 0.2 lustri, si ha per il sistema A > pexp(10, rate = 2.5, lower.tail = FALSE) % R(s+t) [1] e-11 > pexp(2, rate = 2.5, lower.tail = FALSE) % R(s) [1] > per il sistema B > plnorm(5, meanlog = 1.7, sdlog = sqrt(1.5), lower.tail = FALSE) % R(s+t)

3 [1] > plnorm(1, meanlog = 1.7, sdlog = sqrt(1.5), lower.tail = FALSE) % R(s) [1] > per il sistema C > pnorm(1, mean = 3.5, sd = sqrt(1.2), lower.tail = FALSE) % R(s+t) [1] > pnorm(1/5, mean = 3.5, sd = sqrt(1.2), lower.tail = FALSE) % R(s) [1] > Pertanto il valore finale R(5)= , R(1)= e pertanto il risultato finale è Dalla condizione di normalizzazione risulta k=2/3 poiché: +2 = 3 2, La funzione di affidabilità è, =1, = dove =, :,,,., +2 = + 3. Effettuando uno Shapiro-Wilk normality test per i dati, sia quelli relativi alla macchina A che quelli relativi alla macchina B hanno un andamento gaussiano: > shapiro.test(datia) Shapiro-Wilk normality test data: datia, W = , p-value = > shapiro.test(datib) Shapiro-Wilk normality test data: datib, W = , p-value = I due campioni provengono dalla stessa popolazione: > ks.test(datia, datib) Two-sample Kolmogorov-Smirnov test data: datia and datib, D = 0.25, p-value = alternative hypothesis: two-sided Per stabilire se sono indipendenti, calcoliamo il coefficiente di correlazione > cor(datia, datib) Pearson's product-moment correlation

4 data: datia and datib, t = , df = 6, p-value = alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: cor Poiché i due campioni casuali sono gaussiani ed indipendenti, si effettua prima un test per stabilire se hanno la stessa varianza e poi un test per stabilire se hanno la stessa media. Per la varianza >var.test(datia,datib,ratio=1) F test to compare two variances data: datia and datib F = , num df = 7, denom df = 7, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: sample estimates: ratio of variances Poichè p.value>0.05, allora i due campioni hanno la stessa varianza Avendo la stessa varianza, si effettua il t.test come riportato di seguito > t.test(datia,datib,mu=0,var.equal=true) Two Sample t-test data: A and B, t = , df = 14, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Poiché p.value>0.05, allora i due campioni hanno anche la stessa media. 4. Un test di Shapiro-Wilk sui dati conferma l andamento gaussiano > shapiro.test(dati) Shapiro-Wilk normality test

5 data: dati, W = , p-value = La carta x-bar non restituisce fuori controlli statistici: > library(qcc) > qcc(dati,type='xbar') Anche la carta R (taglia dei sottogruppi minore di 10) non restituisce fuori controllo: > qcc(dati,type='r')

6 Poiché il campione di dati è relativo alle differenze tra i valori testati sulle unità e il voltaggio nominale, volendo analizzare la capacità del processo rispetto alle specifiche di produzione (350V-5V, 350V+5V) va valutato solo l'intervallo (-5,5). > obj<-qcc(dati,type='xbar') > process.capability(obj, spec.limits=c(-5,5)) Process Capability Analysis Call: process.capability(object = obj, spec.limits = c(-5, 5)) Number of obs = 40 Target = 0 Center = 9.45 LSL = -5 StdDev = USL = 5 Capability indices: Value 2.5% 97.5% Cp Cp_l Cp_u

7 Cp_k Cpm Exp<LSL 0% Obs<LSL 0% Exp>USL 93% Obs>USL 90% Nonostante le carte di controllo non evidenziano un fuori controllo, si osservi che cp<1 e pertanto il processo non è in grado di produrre entro i limiti di specifica; si osservi anche che la percentuale attesa e quella osservata di unità che vanno al di sotto della LSL linea di controllo inferiore è pari allo 0% mentre sia la percentuale di unità attese che osservate che vanno al di sopra di USL è molto alta, superiore al 90%: infatti la maggior parte dei dati si trovano al di fuori dell'intervallo descritto dalle specifiche di produzione.