Parte 1 : Inferenza. *(richiami), **(parte 2), ***(cenni) ! Test d'ipotesi* ! Intervalli di confidenza* ! Test parametrici* ! Calcoli di potenza**

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1 Parte 1 : Inferenza! Test d'ipotesi*! Intervalli di confidenza*! Test parametrici*! Calcoli di potenza**! Test non parametrici*** *(richiami), **(parte 2), ***(cenni) 27 marzo 2001

2 ... [omissis]... La STATISTICA Variabilità! Variabilità (Calcolo delle probabilità, Statistica descrittiva)! Incertezza (Inferenza statistica)

3 Inferenza statistica! Negli studi sperimentali generalmente operiamo con campioni e non con intere popolazioni. MONDO! La non conoscenza delle caratteristiche della popolazione ci obbliga a dover prendere delle decisioni.! Prendere delle decisioni prevede correre dei rischi. Processo di INDUZIONE Generalizzo le conclusioni. campione Uso la statistica per verificare le mie ipotesi. Intervallo di confidenza per µ Verifica d ipotesi! Problemi di scelta tra due (o più) ipotesi, in statistica, vengono chiamati: problemi di verifica d ipotesi X s 68% : x ± s/!n 95% : x ± 2 s /!n 99% : x ± 3 s /!n! Le ipotesi sono generalmente chiamate: ipotesi nulla ipotesi alternativa [H A ]! Lo strumento utilizzato per affrontare problemi di verifica d ipotesi viene chiamato: TEST statistico

4 Esempio Cosa vogliamo sapere? Supponiamo di avere a disposizione un campione di 10 galline. Per ognuna di queste 10 galline contiamo il numero di uova prodotte in una settimana. Formalizziamo il problema: n = 10 X i = numero di uova per gallina i-ma Troviamo che il numero medio di uova in una settimana è di 5.8. Il valore medio che troviamo è significativamente diverso da 5 o no? Quello scostamento di 0.8 è dovuto al caso (perché per esempio la numerosità campionaria è bassa) oppure aumentando n mantengo uno scostamento di 0.8? Posso generalizzare questa mia conclusione all intera popolazione delle galline? E se sì, con quale margine di errore? Esempio n = 10 X i = numero di uova per gallina i-ma Troviamo che il numero medio di uova in una settimana è di 5.8. Formalizzo la verifica d ipotesi : la vera media del no. di uova = 5 : la vera media del no. di uova " 5 Che cos è la vera media? Domanda: il valore medio di uova per settimana è significativamente maggiore di 5? La vera media è la media dell intera popolazione di galline che ci interessa. La vera media (µ) non è nota ed è il parametro su cui noi facciamo inferenza. : µ = 5 : µ " 5

5 Sistema di ipotesi corretto Dato un problema, definire un sistema di ipotesi corretto non è banale. Analisi grafica Supponiamo di avere un certo sistema di ipotesi sulla media di una certa variabile X che chiamiamo µ. : µ = 5 : µ # 5 Sistema di ipotesi semplice : µ = 5 : µ " 5 Sistema di ipotesi composto : µ! 5 : µ > 5 (Generalmente si sceglie come l ipotesi che si vuole rifiutare.) Allora sotto i miei dati avranno una certa distribuzione: Sembra improbabile che i nostri dati siano stati generati dalla distribuzione disegnata. Test statistico! A che cosa serve un test statistico? Vari tipi di test statistici I test statistici si dividono in: È il mezzo utile per verificare quanto i dati a disposizione siano o meno a favore delle mie ipotesi.! Test parametrici: assumono che i nostri dati si distribuiscano con delle distribuzioni note (eg. Gaussiana).! Test non parametrici: non fanno nessuna assunzione sul tipo di distribuzione dei dati originali. A livello teorico alcuni test sono più adatti di altri in certe condizioni per il loro comportamento asintotico.

6 Cos è una distribuzione? Distribuzioni più comuni Gaussiana/Normale Chi quadrato Binomiale Sono delle curve di frequenza teoriche. t di Student F di Snedecor Poisson Possiamo ipotizzare che le nostre variabili all aumentare della dimensione del campione (per n che tende all infinito) si avvicini sempre più ad una certa distribuzione teorica. Test parametrici Considero la mia variabile di interesse. Test parametrici Considero la mia variabile di interesse. Ipotizzo una ragionevole distribuzione asintotica per la mia variabile nella intera popolazione. Ipotizzo una ragionevole distribuzione asintotica per la mia variabile nella intera popolazione. Formulo un corretto sistema di ipotesi. Formulo un corretto sistema di ipotesi. Utilizzo un appropriato test statistico che grazie alla distribuzione ipotizzata precedentemente e alla assunzione di indipendenza avrà una certa distribuzione asintotica. Utilizzo un appropriato test statistico che grazie alla distribuzione ipotizzata precedentemente e alla assunzione di indipendenza avrà una certa distribuzione asintotica. Confronto il valore del test con la distribuzione sotto l ipotesi. Confronto il valore del test con la distribuzione sotto l ipotesi.

7 Test statistico! Non è proponibile andare a controllare dove cadono i valori osservati sulla distribuzione sotto.! Il test statistico (T X ) ci deve restituire un valore numerico attraverso il quale siamo in grado di prendere una decisione.! Se il test, in valore assoluto, ha valori piccoli allora i dati sembrano soddisfare, se ha valori grandi allora i dati sembrano non soddisfare. Esempio n = 10 X i = numero di uova per gallina i-ma Troviamo che il numero medio di uova in una settimana è di 5.8. Domanda: il valore medio di uova per settimana è significativamente maggiore di 5? Test statistico Distribuzione di un test statistico Dato il sistema d ipotesi: : µ = 5 : µ # 5 o : µ! 5 : µ > 5 Distribuzione sotto di un test: Il test appropriato è del tipo: T x = $n %x&m 0 ' $varianza l insieme di valori che il test può assumere se è vera nella ipotetica replicazione all infinito dell esperimento svolto. (impostazione frequentista) dove nel nostro caso µ 0 = 5.

8 Distribuzione di un test statistico Test parametrici Mondo Campione 1 Test 1 Campione 2 Test 2 Campione 3 Test 3 Campione 4 Test 4 Campione n Test n Considero la mia variabile di interesse. Ipotizzo una ragionevole distribuzione asintotica per la mia variabile nella intera popolazione. Formulo un corretto sistema di ipotesi. Utilizzo un appropriato test statistico che grazie alla distribuzione ipotizzata precedentemente e alla assunzione di indipendenza avrà una certa distribuzione asintotica. Confronto il valore del test con la distribuzione sotto l ipotesi. Errori del I e del II tipo Errori del I tipo Prendere una decisione prevede correre dei rischi. Il rischio che corriamo è di prendere una decisione sbagliata: scegliere l ipotesi sbagliata. Teoricamente la condizione ideale sarebbe ridurre al minimo le probabilità di errore.! = probabilità di rifiutare quando è vera Errori del II tipo Domanda: quanti tipi di errori posso fare? E come faccio a minimizzarli? " = probabilità di accettare quando è falsa

9 Come minimizzarli? Regione di rifiuto e di accettazione È stato dimostrato che non è possibile minimizzarli entrambi. Abbiamo visto che i valori di T x ci servono per verificare se i nostri dati sono a favore o meno dell ipotesi nulla: Fisso il livello dell errore del primo tipo (!). Valore più comune: 5% Minimizzo il livello dell altro ("). valori nelle code portano ad un rifiuto di. valori centrali portano ad accettare. Motivo per cui le due ipotesi, e, non sono simmetriche. Regione di rifiuto e di accettazione " Fissiamo! : prob. di rifiutare quando è vera. Regione di rifiuto e di accettazione " Se il sistema di ipotesi è del tipo: : µ = 5 : µ # 5 siamo interessati a scostamenti da 5 in entrambe le direzioni. " La probabilità! deve essere divisa in due per scostamenti a destra e per scostamenti a sinistra:!/2. Rifiuto Accettazione 1-! Rifiuto!/2!/2

10 Regione di rifiuto e di accettazione Regione di rifiuto e di accettazione Le regioni di accettazione e di rifiuto dipendono però dal tipo di Se T oss cade nella regione di accettazione, allora accetto. ipotesi scelte. # Nel caso di ipotesi: : µ = 5 Rifiuto Accettazione Rifiuto Se T oss cade nella regione di rifiuto, allora rifiuto. : µ # 5 la regione di rifiuto sarà bilaterale. T oss T oss! Nel caso di ipotesi: : µ = 5 : µ = 5 : µ < 5 : µ > 5 la regione di rifiuto dipenderà dall ipotesi alternativa. Regione di rifiuto e di accettazione Esempio n = 10,! = 0.05 (5%) ( valore critico = 1.83 X i = numero di uova per gallina i-ma ( x = 5.8! = 0.54 : µ =! 5 : µ < 5 Rifiuto Accettazione! 1-! Sistema d ipotesi: : µ! 5 contro : µ > 5 T oss =!n (x - µ 0 )!varianza =!10 (5.8-5) 1.9 = 1.3 Accettazione 1-! Rifiuto! : µ = " 5 : µ > 5 Il test cade nella regione A quindi non rifiutiamo l ipotesi. A R

11 p-value Livello di significatività osservato Se T oss cade nella regione di accettaz., allora accetto. Rifiuto Accettazione Rifiuto Se T oss cade nella regione di rifiuto, allora rifiuto. T oss T oss p-value p-value: probabilità di ottenere un valore sotto più estremo di quello osservato: P( T > Toss ) T oss p-value Livello di significatività osservato È chiaro che il valore del p-value dipende dal sistema di ipotesi che abbiamo: p-value Livello di significatività osservato Unilaterale destro/sinistro P( T > Toss ) ( unilaterale destro p-value P( T < Toss ) ( unilaterale sinistro Rifiuto Accettazione Rifiuto T oss T oss p-value! " p-value > " T oss Bilaterale 2 x P( T > Toss ) ( bilaterale p-value/2 p-value/2 T oss -T oss T oss

12 Esempio Esempio in R n = 10,! = 0.05 (5%) ( valore critico = 1.83 X i = numero di uova per gallina i-ma ( x = 5.8 Sistema d ipotesi: T oss =!n (x - µ 0 )!varianza : µ! 5 contro : µ > 5 = p-value = 0.11 > 0.05!10 (5.8-5) 1.9 = 1.3 A R One Sample t-test data: chicken$eggs t = 1.3, df = 9, p-value = 0.22 alternative hypothesis: true mean not equal to 5 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x 5.8! Test d'ipotesi Parte 1 : Inferenza! Intervalli di confidenza! Test parametrici! Calcoli di potenza! Test non parametrici Dualità tra verifica d ipotesi e intervalli di confidenza Gli intervalli di confidenza si costruiscono utilizzando lo stesso ragionamento della verifica d ipotesi. Non vengono però definite le ipotesi e. La stima intervallare ci dice di più rispetto alla semplice stima puntuale: ci dà delle informazioni importanti riguardo alla precisione della nostra stima.

13 Che cos è una stima? Intervallo di confidenza per µ Il MONDO : la mia popolazione di riferimento Abbiamo assunto che sia una Normale di media µ e varianza # 2. s 68% : x ± s/!n 95% : x ± 2 s /!n X 99% : x ± 3 s /!n L unico modo che abbiamo per stimare µ è attraverso la media campionaria dei miei dati. Intervallo di confidenza per µ Parte 1 : Inferenza Dato l intervallo 1! per µ : Dato il sistema d ipotesi : : µ = µ 0 µ 0 µ 0! Test d'ipotesi! Intervalli di confidenza! Test parametrici! Calcoli di potenza! Test non parametrici : µ # µ 0 Accetto a livello!. Rifiuto a livello!.

14 Distribuzioni asintotiche dei test A seconda dei casi il nostro test può convergere a diverse distribuzioni teoriche. Tutto dipende dalla varianza. T x = Varianza nota test Z Variabile X su un unico campione di dimensione n e unità statistiche indipendenti e identicamente distribuite (come una Normale) di media µ ignota e varianza # 2 nota. Allora:!n (x - µ 0 ) # ) N(0,1) Nota # 2 NON nota # 2 ( s 2 si determina la regione di rifiuto Gaussiana t di Student si calcola il T oss si accetta o rifiuta T x =!n (x - µ 0 ) s Varianza ignota test t ad un campione Variabile X su un unico campione di dimensione n e unità statistiche indipendenti e identicamente distribuite (come una Normale) di media µ e varianza # 2 entrambe non note. Allora: ) t n-1 Varianza ignota test t a due campioni indipendenti Rilevo la variabile X su due campioni indipendenti di numerosità rispettivamente n 1 e n 2. Le n 1 osservazioni sono i.i.d. (come una Normale) con media µ 1 e varianza # 2 ignote; le n 2 osservazioni sono i.i.d. (come una Normale) con media µ 2 e varianza # 2 ignote. : µ 1 = µ 2 : µ 1 # µ 2 s 2 p = (n 1-1) s (n 2-1) s 2 2 (n 1 + n 2-1) si determina la regione di rifiuto si calcola il T oss si accetta o rifiuta T x = x 1 x 2 H ) 0 t n1 +n s p!1/n 1 +1/n 2-2 2

15 Verifica d ipotesi sulle varianze Rilevo la variabile X su due campioni indipendenti di numerosità rispettivamente n 1 e n 2. Le n 1 osservazioni sono i.i.d. (come una Normale) con media µ 1 e varianza # 2 1 ignote; le n 2 osservazioni sono i.i.d. (come una Normale) con media µ 2 e varianza # 2 2 ignote. : # 1 = # 2 : # 1 # # 2 T x = s 2 1 s 2 2 ) F n1-1,n 2-1 Varianza ignota test t per dati appaiati Che cosa sono i dati appaiati? soggetto 1 n X Y X Y x 1 y 1 x n y n x n y n x 1 y 1 Prima del trattamento : µ x = µ y : µ x # µ y Dopo il trattamento : µ x - µ y = 0 : µ x - µ y # 0 test t ad un campione Analisi della varianza Abbiamo visto come poter confrontare le medie di due campioni indipendenti. Analisi della varianza Potrei fare un test t a due campioni per tutte le possibili coppie. e se i campioni sono più di due? : µ 1 = µ 2 = µ 3 : almeno un valore diverso Potrei fare un test t a due campioni per tutte le possibili coppie. Se il numero di campioni è elevato il numero di coppie diventa ingestibile. I risultati possono diventare poco credibili. (I test non sono indipendenti!). Abbiamo bisogno di un test globale con una probabilità complessiva di errore fissato.

16 Confronti Multipli Ross et al. (2000) Nature Gen. 24: ,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0, ! g = 1 - (1 -! i ) c # confronti alpha i 3 0, , , , , , , , , Analisi della varianza ad una via Assumendo: Analisi della varianza ad una via indipendenza dei campioni e delle osservazioni normalità dei dati varianze all interno dei k gruppi uguali (test F/test di Levene) Varianza entro gruppi Varianza tra gruppi # 2 w # 2 B F = # 2 B / #2 w ~ F k-1, n-k

17 Analisi della varianza Cos è l interazione? Perché ad una via? y i = µ +! i + $ i L interazione tra i fattori indica se l effetto di un fattore sulla variabile dipende dagli altri fattori, o meglio, dai livelli degli altri fattori. fattore 1 variabile dipendente e 1 variabile indipendente A due vie! 1 " 1! 2 M 11 M 21! 3 M 31 " 2 M 12 M 22 M 32 " 3 M 13 M 23 M 33 y ij = µ +! i + " j + (! i * " j ) + $ ij fattori interazione 1 variabile dipendente e 2 variabili indipendenti Assenza di interazione Presenza di interazione 4 3,75 3,5 3,25 3 2,75 2,5 2,25 2 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 Column J Column K Column L 5 4,75 4,5 4,25 4 3,75 3,5 3,25 3 2,75 2,5 2,25 2 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0 Column J Column K Column L Row 12 Row 11 Row 13 Row 11 Row 12 Row 13 Esiste un effetto separato di! e di " ma non esiste un effetto incrociato dei due fattori. Le conclusioni in questo caso sono molto più articolate: $ il livello 3 del fattore " sembra sfavorire il livello 2 di! e favorire invece il livello 1 di!; $ il livello 1 del fattore " sembra favorire invece il livello 2 di!.

18 A due vie Analisi della varianza Parte 1 : Inferenza y ij = µ +! i + " j + (! i * " j ) + $ ij $ Per analizzare l effetto dei due fattori potremmo fare 2 ANOVA unifattoriali, una per ciascun fattore $ oppure, potremo fare tante ANOVA con un singolo fattore!, una per ciascun livello di " $ oppure, potremo fare tante ANOVA con il singolo fattore ", una per ogni! Questa scelta di fare molte ANOVA non è conveniente:! Test d'ipotesi! Intervalli di confidenza! Test parametrici! Calcoli di potenza! Test non parametrici $ il numero di analisi aumenta di molto se aumentano i fattori; $ facendo molte analisi aumenta l errore complessivo di primo tipo; $ sarebbe molto difficile capire se esiste interazione tra i fattori. Errori del I e del II tipo Errori del I tipo Prendere una decisione prevede correre dei rischi. Il rischio che corriamo è di prendere una decisione sbagliata: scegliere l ipotesi sbagliata. Teoricamente la condizione ideale sarebbe ridurre al minimo le probabilità di errore.! = probabilità di rifiutare quando è vera Errori del II tipo Domanda: quanti tipi di errori posso fare? E come faccio a minimizzarli? " = probabilità di accettare quando è falsa

19 Come minimizzarli? quindi È stato dimostrato che non è possibile minimizzarli entrambi. Generalmente si sceglie come l ipotesi che si vuole rifiutare. Fisso il livello dell errore del primo tipo (!). Valore più comune: 5% Minimizzo il livello dell altro ("). % Se rifiuto, conosco l errore che sto commettendo, o meglio, la sua probabilità:!. Motivo per cui le due ipotesi, e, non sono simmetriche. % Se non la rifiuto, è più difficile determinare la probabilità dell errore che commetto: ". Potenza di un test vera falsa Accetto 1 -! " Rifiuto! 1 - "! : errore del I tipo " : errore del II tipo 1 - " : potenza Potenza di un test : probabilità di rifiutare quando effettivamente è falsa Ovvero: la potenza di un test è una misura della confidenza di aver identificato un effetto se questo esiste. Il calcolo della potenza però prevede la conoscenza della distribuzione della statistica test sotto

20 caso classico con un! meno conservativo P(T ) Distribuzione sotto del test! = 0.05 Distribuzione sotto del test P(T ) Distribuzione sotto del test! = 0.1 Distribuzione sotto del test POWER = 1 - " POWER = 1 - " "! T "! T effect size = effetto (differenza tra medie) effect size = effetto (differenza tra medie) con un! più conservativo aumentando l effetto P(T ) Distribuzione sotto del test! = 0.01 Distribuzione sotto del test P(T ) Distribuzione sotto del test! = 0.05 Distribuzione sotto del test POWER = 1 - " POWER = 1 - " "! T "! T effect size = effetto (differenza tra medie) effect size = effetto (differenza tra medie)

21 aumentando la dimensione del campione Ricapitolando P(T ) Distribuzione sotto del test! = 0.05 Distribuzione sotto del test Da cosa dipende la potenza del test: numerosità campionaria variabilità dei dati effetto atteso soglia usata (!) POWER = 1 - " Aumentano i falsi positivi "! T Falsi positivi : casi in cui si rifiuta con vera Falsi negativi : casi in cui si accetta con vera e il cerchio si chiude Calcolare la numerosità del campione a priori Per quale motivo per il confronto di medie tra gruppi viene usato Di solito si cerca di determinare la dimensione campionaria necessaria per avere un test con una certa potenza. il test t ad uno o due campioni oppure una ANOVA? Ci potrebbero essere molti altri test, basati su formule diverse, per verificare l uguaglianza di medie Cosa dobbiamo conoscere per calcolare N? Il metodo di analisi Il livello dell errore del I tipo! (i.e. 5%) La potenza richiesta (di solito 80%) Si può dimostrare che il test t ad uno e due campioni indipendenti, il test per dati appaiati e l ANOVA sono i test parametrici PIÙ POTENTI tra tutti quelli possibili. La variabilità delle misure rilevate Se necessario condurre uno studio pilota! Il più piccolo effetto (i.e. differenza di medie) che abbia un senso biologico

22 Calcolare N Calcolare N Per semplicità assumiamo: test t per due campioni indipendenti con disegno bilanciato (N 1 =N 2 ), 1-" = 0.8,! = " = 0.8,! = 0.05 % = effetto che si vuole identificare Varianze uguali Disegno non bilanciato Varianze differenti Più complesso è il test più complesso è il calcolo di N.! 1! 2 % z 1& " +z 1& # ' 2 2 = N 1 N 2 $ 2 N 1 + N 2 Sample size and effect size Sample size and effect size Sample size for T-test sample size per treatment arm " = 5% 1-! = 80% ,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 effect size (difference in standard deviation units)

23 Power and effect size Power and effect size % power power & difference by # subjects per treatment arm ,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 effect size " = 5% n = 80! Test d'ipotesi Parte 1 : Inferenza! Intervalli di confidenza! Test parametrici! Calcoli di potenza! Test non parametrici Parametrico o non parametrico? I test parametrici si applicano a dati con modalità quantitative, utilizzando indici statistici quali: % la media; % la varianza; % la deviazione standard. Per utilizzarli, è necessario che alcune condizioni siano soddisfatte: % indipendenza delle osservazioni; % normalità delle distribuzioni campionarie; % omogeneità delle varianze campionarie. In particolare sono tanto più sensibili a deviazioni da tali assunzioni quanto maggiori sono le differenze di numerosità tra i campioni!

24 Parametrico o non parametrico? Tabelle di contingenza e test del chi-quadro I test non parametrici: % prescindono dalle assunzioni sulle distribuzioni campionarie; % possono essere applicati anche a dati con caratteri qualitativi. Noi vedremo: % test X 2 di Pearson (o del chi-quadro) % test U di Mann-Whitney % test di Kruskall-Wallis % test di Kolmogorov-Smirnov B NB tot A NA tot f B,A f B,NA f NB,A f NB,NA f.a f.na f B. f NB. f B,A = numero osservato di soggetti che hanno congiuntamente i caratteri A e B I soggetti devono assolutamente essere indipendenti. Domanda: I caratteri A e B sono indipendenti? Dobbiamo capire qual è la situazione di indipendenza. n Tabelle di contingenza e test del chi-quadro Tabelle di contingenza e test del chi-quadro B NB tot A f* B,A f* NB,A f.a NA f* B,NA f* NB,NA f* B,A = numero atteso di soggetti che hanno congiuntamente i caratteri A e B, in condizione di indipendenza f.na tot f B. f NB. n Domanda: I caratteri A e B sono indipendenti? Il test adatto in questo caso è : X (a o) 2 = & 2 a ) ' 2 (r-1)(c-1) o = freq. oss. a = freq. attesa r = no. righe, c = no. colonne f* B,A = f B. * f.a / n La regione di rifiuto R è sempre unilaterale destra. A R prodotto delle frequenze marginali diviso il no. totale dei soggetti

25 Tabelle di contingenza e test del chi-quadro osservazione chi-quadro indici di associazione nominali ordinali Il test del chi-quadro consente di misurare la dipendenza di due variabili, ma i risultati sono molto influenzati dai gradi di libertà. Coefficiente ( * di Kendall D di Somers Inoltre, differenti valori del test del chi-quadro sono confrontabili solo se derivano da esperimenti o inchieste compiute sullo stesso numero di soggetti. Indici: Un valore pari allo zero indica mancanza di associazione, mentre un valore tendente all'unità (+/-) indica la presenza di associazione. Coefficiente di contingenza Coefficiente ) Coefficiente V di Cramér Test U di Mann-Whitney È il corrispondente non parametrico del test t per il confronto delle medie di 2 campioni normali e indipendenti. Molti test non parametrici non si avvalgono dei dati originali ma dei ranghi. Test U di Mann-Whitney % Riunisco i dati come se fossero provenienti da un unico campione. % Ordino tutti i dati dal più piccolo al più grande. % Assegno dei ranghi ad ogni dato. % Sommo i ranghi del campione 1 e del campione 2. dati ranghi 0,7 6-1,6 1-0,2 3-1,2 2-0,1 4 3,4 9 3,7 10 0, Trasformazione dei dati: una volta ordinati i dati, ad ognuno di essi viene assegnato un numero relativo alla sua posizione nella scala ordinata. Se i due campioni provengono dalla stessa distribuzione, ci si aspetta che la somma dei ranghi dei due campioni siano più o meno simili. I valori del test sono stati tabulati e il valore risultante va confrontato con apposite tavole.

26 Test di Kruskall-Wallis Test di Kolmogorov-Smirnov È il corrispondente non parametrico del test F per l analisi della varianza (ANOVA). % Assegna i ranghi alle osservazioni indipendentemente dalla classe di appartenenza. % Calcola i ranghi totali e medi di ogni classe. % Si valuta attraverso un indice apposito la variabilità dei ranghi tra e intra classi. Permette di verificare se: % due insiemi di dati (data set ) provengono dalla stessa distribuzione, oppure se: % la distribuzione di un certo campione è significativamente diversa da una certa distribuzione nota. I valori del test sono stati tabulati e il valore risultante va confrontato con apposite tavole. Test di Kolmogorov-Smirnov Test di Kolmogorov-Smirnov? =? =

27 Test di Kolmogorov-Smirnov