Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (1)

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1 Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (1) Ipotesi statistica: È una assunzione formulata su un particolare aspetto della popolazione considerazioni teoriche Informazioni relative a popolazioni analoghe Informazioni relative a popolazioni collegate a quella indagata Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 1

2 Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (2) Ipotesi statistica non parametrica: L ipotesi riguarda la forma della distribuzione di un carattere della distribuzione Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 2

3 Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (3) Ipotesi statistica parametrica: È una ipotesi legata ai valori dei parametri di una distribuzione di probabilità (es.: media, varianza, frequenza). Tipo di ipotesi: Semplice { H 0 : θ = θ 0 (Ipotesi nulla) { H : 1 θ θ (Ipotesi alternativa bilaterale) 0 Composta H 1 : θ θ 0 } H 1 : θ θ 0 (Ipotesi alternativa unidirezionale) Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 3

4 Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (4) Verifica d Ipotesi statistica: Osservazione di un campione casuale della popolazione Calcolo della statistica (Funzione Test) Definizione della regola di decisione: l insieme dei valori della funzione test che porta al rifiuto dell ipotesi nulla è detta regione critica o regione di rifiuto Regione di accettazione Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 4

5 Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (5) Individuazione della regione critica: La distribuzione del carattere nella popolazione il parametro Il sistema di ipotesi a confronto La funzione Test La probabilità di commettere gli errori di prima e seconda specie Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 5

6 Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (6) Tipi di errori: Errore di I specie: Ipotesi nulla rifiutata quando è vera Errore di II specie: Ipotesi nulla non rifiutata quando non è vera α= P{errore di I specie}= P{rifiutare H 0 H 0 èvera} β= P{errore di II specie}= P{accettare H 0 H 0 èfalsa} Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 6

7 Fondamenti statistici : Test d Ipotesi (7) Le procedure di verifica d ipotesi richiedono di specificare il valore della probabilità assegnata all errore di I specie α (rischio) α = livello di significatività del test; consente di individuare il punto di confine tra la regione critica e quella di accettazione La probabilità di commettere un errore di I specie è legata alla dimensione della regione critica e quindi alla soglia di significatività individuata da α Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 7

8 Verifica d ipotesi sul valore medio Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 8

9 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (1) La possibilità di accettare l ipotesi nulla quando è falsa determina l errore di II specie. E possibile determinarne il valore calcolando la probabilità: P H H ( H / H ) Indica la possibilità di accettare l ipotesi H 0 quando invece risulta vera l ipotesi H 1 1 : θ = θ : θ = θ 1 0 = β Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 9

10 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (2) Nel caso di test unilaterale destro P ( H / H ) P( θ θ H ) = β 0 1 = c / 1 Nel caso di test unilaterale sinistro P ( H / H ) P( θ θ H ) = β 0 1 = c / 1 Nel caso di test bilaterale P ( ) ( ' '' H / H P θ θ θ H ) = β 0 1 = c c / 1 Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 10

11 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (3) Nel caso di test unilaterale destro sulla media con varianza nota: β ( ) ( ) ( ) c i θ P H / H = P X x / H = P Z H i µ = 0 1 c 1 / 1 x σ / n La probabilità β, assegnati α ed n, è funzione del parametro θ. E possibile, assegnato α, tracciare una famiglia di curve al variare di n. Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 11

12 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (4) Probabilità di errore di I specie: Concludere che il processo è fuori controllo quando non lo è Probabilità di errore di II specie: Concludere che il processo è sotto controllo quando non lo è Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 12

13 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (5) Esempio: Fasce elastiche per pistoni di automobili: µ = 74 mm σ = 0,01 mm n = 5 Scelto α si ha che 100(1-α)% dei campioni cadono tra: 74+Z α /2 (σ ) e 74- Z α /2 (σ ) con σ ' = Per Z α /2 = 3 Limiti di controllo a 3 σ σ n Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 13

14 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (6) H 0 : µ=74 H 1 : µ 74 Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 14

15 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (7) µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ 68.26% 95.46% 99.73% Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 15

16 Fondamenti statistici : Implicazioni del Test d Ipotesi (8) 100(1-α)% = 99,73% Errore di I specie: 0,0027 µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ 68.26% 95.46% 99.73% 27 volte ogni campioni La probabilità che un punto superi uno dei limiti a 3-sigma è 0,00135 Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 16

17 Fondamenti statistici : Lunghezza media delle sequenze Lunghezza media delle sequenze (ARL, Average Run Lenght): ARL = 1 p Tempo medio al segnale (ATS, Average Time to Signal): ATS = ARL h Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 17

18 Fondamenti statistici : Lunghezza media delle sequenze : esempio La probabilità che un punto cada fuori dai limiti di controllo a 3σ è: 0,0027 µ 3σ µ 2σ µ σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ 68.26% 95.46% 1 ARL = p = 1 0,0027 = % Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 18

19 Fondamenti statistici : Dimensione minima del campione n z 1 α 2 ε σ 2 Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 19

20 Fondamenti statistici : Definizioni Inferenza statistica: insieme di metodi statistici, basati sul calcolo della probabilità, tendenti a valutare i risultati di una indagine campionaria Il collettivo statistico oggetto di inferenza prende il nome di popolazione (N) La parte di collettivo sottoposta all osservazione prende il nome di campione (n) Rappresentatività Correttezza Campione casuale Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 20

21 CONTROLLO PER ACCETTAZIONE (1) Tutte quelle attività che hanno lo scopo di verificare la rispondenza dei materiali grezzi, semilavorati o finiti che provengono dall esterno o dall interno dell azienda Accettazione di componenti / parti di fornitura esterna Controllo di lotti di fornitura (da parte del fornitore o da parte del cliente) Controllo di processi Controllo di prodotti Controllo di dati Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 21

22 CONTROLLO PER ACCETTAZIONE (2) In uno scambio commerciale vengono stabilite le regole per verificare: L aderenza alle specifiche La frazione massima di elementi difettosi ammessi dal fornitore La frazione massima di elementi difettosi ammessi dal produttore Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 22

23 CONTROLLO PER ACCETTAZIONE (3) Effettuati dal fornitore Evitare il rifiuto del prodotto da parte del committente Effettuati dal produttore Evitare di accettare materiale non conforme Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 23

24 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (1) Il piano di campionamento è l insieme delle regole che definiscono: La partita o il lotto di elementi (grezzi, semi finiti, finiti) da considerare Dimensione del campione da estrarre Condizioni di accettazione o di rifiuto Caratteristica di qualità richiesta dalla specifica tecnica: LQA: livello di qualità accettabile LQT: livello di qualità tollerabile Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 24

25 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (2) Distribuzione gaussiana f ( x) = σ 1 2 x µ 1 2 σ * e 2π Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 25

26 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (3) La conformità del lotto è valutata in base al numero di unità conformi che costituiscono il campione Rifiutare il lotto che dovrebbe essere accettato Accettare il lotto che dovrebbe essere rifiutato Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 26

27 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (4) Rischio del fornitore: R f Rifiuto del lotto che dovrebbe essere accettato essendo di qualità uguale o migliore di quella specificata dal LQA Rischio del committente: R c Accoglimento del lotto che dovrebbe essere rifiutato essendo di qualità peggiore di quella specificata negli accordi dal LQT Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 27

28 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO: I PIANI DI CAMPIONAMENTO (5) Dimensione del lotto: N Dimensione del campione: n numero di accettazione : n a Numero massimo di elementi difettosi ammessi nel campione numero di rifiuto : n r Numero massimo di elementi difettosi nel campione che determinano il rifiuto LQA= n a /n LQT= n r /n Percentuale di pezzi difettosi: p Probabilità d accettare il lotto: P(A) Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 28

29 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO: I PIANI DI CAMPIONAMENTO (6) Semplice: l accettazione dipende dal controllo di un solo campione Doppi: l accettazione dipende dal controllo di due campioni Multipli: l accettazione dipende dal controllo di più campioni Sequenziali: l accettazione del lotto dipende dal risultato ottenuto dopo ogni elemento collaudato Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 29

30 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (7) La probabilità d accettare o rifiutare un lotto, per uno stesso piano di campionamento, viene descritta mediante la curva caratteristica operativa Distribuzione binomiale Distribuzione di Poisson n elevato e p piccolo Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 30

31 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (8) Distribuzione Binomiale: P( A) na k = p 1 k = 0 n k ( ) n p k Possiamo pensare di costruire la Curva Caratteristica Operativa a partire dalla tabella: p 1 p 2 p 3 p m P(A) P(A 1 ) P(A 2 ) P(A m ) Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 31

32 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (8) Distribuzione di Poisson: P( A) n = A ( np) k k = 0! k e np Da utilizzare per valori elevati di n e p piccolo Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 32

33 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (9) Accettazione o rifiuto dei lotti La curva operativa illustra i comportamento di un qualsiasi piano di campionamento Fissato R f (α) e R c (β) si possono determinare LQA e LQT Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 33

34 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (10) P 0 = limite superiore per la frazione difettosa del lotto ritenuta accettabile P1 = limite inferiore per la frazione difettosa del lotto ritenuta da rifiutare CURVA CARATTERISTICA OPERATIVA È un diagramma che indica la probabilità di accettazione di lotti in funzione della difettosa presente negli stessi α = rischio del produttore o fornitore β = rischio del cliente Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 34

35 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO: Esempio IL CONTROLLO PER CAMPIONAMENTO Considerazioni e risultati relativi a campioni con diversa numerosità: La scelta della dimensione del campione deve essere un giusto compromesso tra sicurezza del risultato e tempi / costi di esecuzione. Si consideri il seguente esempio. Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 35

36 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO: Esempio (2) Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 36

37 Affidabilità e Controllo Qualità IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (11) TABELLA PER IL CONTROLLO ORDINARIO PER CAMPIONAMENTO SEMPLICE PER ATTRIBUTI Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 37

38 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (12) LIVELLO DI COLLAUDO Il livello di collaudo scelto determina il potere discriminante della prova. Il livello S1 è quello con minor potere discriminante, il livello III è quello con maggior potere discriminante. Salvo diversa indicazione e per normali necessità si usa Il livello II. I livelli speciali S1, S2, S3, S4 sono usati quando sono necessarie numerosità di campione piccole, e possono o devono essere tollerati i rischi determinati dal minor potere discriminante (ad es. controlli su materiali ricavati da un processo continuo). La scelta di collaudo ordinario, rinforzato o ridotto (vedi oltre) è completamente indipendente dal livello di collaudo scelto. Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 38

39 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (13) Piano di Campionamento Ordinario Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 39

40 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (14) Piano di Campionamento Ridotto Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 40

41 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (15) Piano di Campionamento Rinforzato Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 41

42 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO (16) Regole di commutazione tra i piani di campionamento Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 42

43 IL CAMPIONAMENTO STATISTICO: SINTESI QUANDO È NECESSARIO Prove distruttive Grandi quantitativi Controlli molto onerosi QUANDO È OPPORTUNO Per ridurre i costi di controllo Per stimolare il fornitore all autocontrollo e al miglioramento Quando il livello di qualità ha raggiunto valori elevati che non giustificano un controllo al 100% FASI PRINCIPALI DEL CONTROLLO PER CAMPIONAMENTO Stabilire in anticipo la frazione difettosa accettabile Definire la numerosità del campione, sulla base della confidenza statistica richiesta e della complessità / costo della prova Effettuare materialmente il controllo Nota: è sbagliato considerare aprioristicamente che un controllo al 100% dia più garanzie di un controllo statistico! Politecnico di Milano Dipartimento di Elettrotecnica 43