CAPACITÀ DEL PROCESSO

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1 CAPACITÀ DEL PROCESSO Un certo processo è adatto a produrre qualcosa rispettando le specifiche? Prima di affermare che un processo abbia una CAPACITÀ ben DEFINITA è necessario assicurarsi che questo dimostri un RAGIONEVOLE LIVELLO di CONTROLLO STATISTICO Il processo deve essere STABILE possibilità di fare PREVISIONI Un processo STABILE ha una CAPACITÀ BEN DEFINITA quando, praticamente, tutti i pezzi prodotti cadono entro i LIMITI DELLA TOLLERANZA NATURALE 1

2 Fasi per la determinazione della capacità di un processo 1. Costruire l istogramma dei VALORI SINGOLI. Determinare i LIMITI DELLA TOLLERANZA NATURALE 3. Riportare sul grafico i LIMITI DI SPECIFICA (tolleranze) R LTNS = x + 3σ = x + 3 d n R LTNI = x 3σ = x 3 d n LIS LSS μ=x Tnat = 6σ Tpre

3 INDICI DI CAPACITÀ Cp = Tpre Tnat = LIS LSS LSS - LIS 6σ x Tnat = 6σ Tpre x - LIS Tnat LIS Tnat Cpk = minore tra x LSS - x Tnat LSS x 3 Tnat

4 Casi possibili LIS Cp Cpk Processo capace e centrato LSS Tnat Tpre LIS LSS Cp Cpk 1.3 Processo capace ma NON centrato Tnat Tpre LSS Cp = Cpk = 0.5 Processo capace ma NON centrato FUORI TOLLERANZA LIS Tpre Tnat LSS Cp = Cpk < 0 Processo capace ma fortemente NON centrato FUORI TOLLERANZA LIS Tpre Tnat 4

5 INDICI CP e Cpk Toll. prescritta CP = Toll. naturale D crit. Cpk = 3σ LST 6σ Cpk < 1 1 Cpk = Cp Cp = Cpk 1.33 D crit. 3σ LIT CRITICO ACCETTABILE IDEALE 5

6 6

7 Richiami su Funzioni di Distribuzione Probabilità X: variabile casuale distribuita con legge normale avente media µ e varianza σ (x1, x,, xn) campione casuale di numerosità n La distribuzione della media campionaria x è N μ, DISTRIBUZIONE χ (chi quadro) σ n Se le variabili casuali x1, x,, xn sono distribuite normalmente e sono tra loro indipendenti con media = 0 e varianza = 1 allora la variabile casuale: Y = x1 + x + + xn funzione densità di probabilità del χ è distribuita con legge χ con n gradi di libertà 1 n y f (Y ) = n y 1 e n Γ Y >0 La distribuzione è asimmetrica con media µ = n e varianza σ = n n=5 f(y) Γ( n ) : funzione Euleriana di 1a specie n = 10 + Γ( n ) = e x x n 1dx n = 0 0 Funzione Euleriana di a specie 1 0 Y Β( m, n ) = x 0 m 1 n 1 (71 x ) dx

8 DISTRIBUZIONE t-student Se X e Y sono variabili casuali indipendenti rispettivamente con distribuzione normale standardizzata e con distribuzione del χ con k gradi di libertà, allora la variabile casuale x t= y k si distribuisce con la t-student ( k + 1) ( k +1 ) Γ t f (t ) = + 1 k k kπ Γ - < t < + Grafico simmetrico rispetto al valor medio t = 0 e varianza pari a k/(k - ) definita per k > f(t) 0 t 8

9 DISTRIBUZIONE F DI SNEDECOR Se W e Y sono due variabili casuali indipendenti distribuite secondo χ con gradi di libertà u e v allora il rapporto Fu,v = W u Y v si distribuisce con legge F di Snedecor u u + v u u 1 Γ x v f(x) = u v u Γ Γ x + 1 0< x< f(x) (x) 9

10 DECISIONI STATISTICHE CONSENTONO DI PRENDERE DECISIONI SU UNA POPOLAZIONE SULLA BASE DI INFORMAZIONI CAMPIONARIE. SULLA BASE DI DATI CAMPIONARI, UN PROCESSO A È MIGLIORE DI UN PROCESSO B? IPOTESI STATISTICHE PER PRENDERE UNA DECISIONE, È UTILE PORRE DEGLI ASSUNTI SULLE POPOLAZIONI. L IPOTESI STATISTICA CHE SI FORMULA È DETTA IPOTESI NULLA (Ho). OGNI IPOTESI CHE DIFFERISCE DALLA NULLA È DETTA 10 ALTERNATIVA (H1).

11 TEST DI IPOTESI (t-test) IPOTESI: TERMINE IMPIEGATO PER FORMULARE UN AFFERMAZIONE SU UNA POPOLAZIONE. es. la durata di certe batterie è di 30 ore H0: µ = 30 CON IL TEST DI IPOTESI CI SI PROPONE DI STABILIRNE LA VALIDITÀ. POSSIBILITÀ DI ERRORE 1. RIFIUTARE L IPOTESI QUANDO ESSA È VERA 1 TIPO (LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ, α) RISCHIO DEL PRODUTTORE.. ACCETTARE L IPOTESI QUANDO ESSA È FALSA 11 TIPO (LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ, β)

12 FORMULATA H0, SE IL RISULTATO OSSERVATO SU UN CAMPIONE CASUALE DIFFERISCE DA QUELLO ATTESO, ALLORA LA DIFFERENZA È SIGNIFICATIVA E BISOGNA RIFIUTARE L IPOTESI. REGIONE DI ACCETTAZIONE DELL IPOTESI µ REGIONI DI RIFIUTO µ µ0 µ0 1.0 PROBABILITÀ DI ACCETTARE L IPOTESI 0 µ µ0 CURVA CARATTERISTICA OPERATIVA OC α = α = 0.01 µ0 µ

13 PROCEDURA TEST IPOTESI 1. FORMULARE L IPOTESI H0: IPOTESI NULLA H1: IPOTESI ALTERNATIVA FISSARE LA PROBABILITÀ DI ERRORE DEL 1 TIPO SCEGLIERE IL PARAMETRO STATISTICO DI PROVA (z, t, F) DETERMINARE GLI ESTREMI DEL CAMPO DI ACCETTIBILITÀ PRELEVARE IL CAMPIONE, DETERMINARE IL PARAMETRO STATISTICO PRESCELTO E VERIFICARNE L APPARTENENZA O MENO AL CAMPO DI ACCETTABILITÀ y regioni di accettazione 6. CONCLUSIONE z regioni di rifiuto Rifiutiamo l ipotesi al livello di significatività dello 0.05 se il valore z della statistica cade di fuori degli estremi 1.96 e così z > Accettiamo l ipotesi in caso contrario

14 TEST SU MEDIE VARIANZA NOTA IPOTESI H0: µ = µ0 H1: µ µ0 H0: µ µ0 H1: µ < µ0 H0: µ µ0 H1: µ > µ0 H0: µ1 = µ H1: µ1 µ H0: µ1 µ H1: µ1 < µ H0: µ1 µ PARAMETRO CRITERIO DI RIFIUTO H0 Z0 > Zα x µ0 Z0 = σ n Z 0 < - Zα Z0 > Zα CONFRONTO TRA MEDIE Z0 = Z0 > Zα x1 x σ 1 σ + n1 n Z 0 < - Zα 14 Z 0 > Zα

15 Distribuzione normale 15

16 Distribuzione normale 16

17 Es.: RESISTENZA ALLO SCOPPIO DI BOTTIGLIE DI VETRO PER BIBITE Problema: SI VUOLE SAPERE SE LA PRESSIONE MEDIA DI SCOPPIO SUPERA 1 bar SI CONOSCE PER ESPERIENZA LA DEV. STD.: 0.7 bar IPOTESI NULLA H0: µ 1 bar ALTERNATIVA H1: µ > 1 bar N.B.: IL LOTTO VERRÀ ACCETTATO SE L IPOTESI NULLA È RIFIUTATA x = 1.5bar DA UN CAMPIONE RANDOM DI 5 BOTTIGLIE SI TROVA: x µ Z = = = 3.57 CALCOLO DEL PARAMETRO : 0 σ 0.7 n 5 PER α = 0.05 (RISCHIO DEL PRODUTTORE) SI TROVA: Z0.05 = 1.65 ESSENDO Z0 (VAL. SPERIMENTALE) > Z0.05, SI RIFIUTA L IPOTESI E SI 17 ACCETTA IL LOTTO

18 TEST SU MEDIE VARIANZA NON NOTA IPOTESI PARAMETRO H0: µ = µ0 H1: µ µ0 x µ0 t0 = s n H0: µ µ0 H1: µ < µ0 H0: µ µ0 H1: µ > µ0 CONFRONTO TRA MEDIE IPOTESI σ1 = σ H0: µ1 = µ H1: µ1 µ t0 = H0: µ1 µ H1: µ1 < µ H0: µ1 µ H1: µ1 > µ S POOL x1 x 1 +1 sp n1 n (n1 1)S1 + (n 1)S = n1 + n media ponderata CRITERIO DI RIFIUTO H0 t0 > tα, n-1 t0 <- tα, n-1 t0 > tα, n-1 t0 > tα, n-1 t0 < -tα, n-1 t0 > tα, n-1 18

19 CASO IN CUI NON SI CONOSCE LA VARIANZA σ PUÒ ESSERE STIMATA DAI DATI DI PROVA: s x µ Z0 t0 = s n NUMERO dei G.d.L. No. di valori indipendenti (No. Misure) - No. Valori desunti ν=n-1 SI RIFIUTA L IPOTESI SE t0 (VAL. SPERIMENTALE) > tα, ν Problema: resistenza allo scoppio di bottiglie - Hp: dati esempio precedente, ma con σ incognota SUPPONIAMO DI AVER TROVATO: s = 0.7 t0 = t0.05, 4 = =

20 Distribuzione t 0

21 Esempio: CONFRONTO TRA MEDIE (VARIANZA NON NOTA) N DI OTTANO DELLA BENZINA 1 È UGUALE AL N DI OTTANO DELLA BENZINA? H0: µ1 = µ H1: µ1 µ x = 90.1 s = BENZINA 1: BENZINA : x = 90.8 s = 1.03 SUPPONIAMO: σ1 = σ n1 = 8 n = 10 (n1 1)S1 + (n 1)S S = = n1 + n 16 SP = P per α = 0.01 t 0.005, 16 =.91 1

22 x1 x t0 = = = sp n1 n 8 10 per α = 0.05 t 0.05, 16 =.1 Essendo t0 = 1.35 <.1 si può affermare che: NON ESISTE EVIDENZA STATISTICA CHE INDICHI CHE LE DUE BENZINE ABBIANO N DI OTTANO DIVERSO.

23 TEST SULLA VARIANZA (distribuzione normale) CASO DEL CONFRONTO TRA DUE VARIANZE H 0: σ1 = σ CRITERIO DI RIFIUTO H0 F(1 α/),(n 1),(n 1) H 1: σ1 σ 1 > F0 > F( α/),(n 1),(n 1 S1 F0 = S PARAMETRO (SNEDECOR) F(1 α/),(n 1),(n 1) 1 F( α/),(n1 1),(n 1) Per stabilire se vi è differenza di variabilità fra due popolazioni da ciascuna delle quali si è estratto un campione. 3 1)

24 Es.: TEST SULLA VARIANZA DEL N DI OTTANO DEI DUE TIPI DI BENZINA H 0: σ1 = σ H 1: σ1 σ S F0 = = = 1.7 (VAL. SPERIMENTA LE) S 1.03 n1 = 8 n = 10 F0.05,7,9 = 4.0 F0.975,7,9 = 1 F0.05,9,7 = 1 = NON SI PUÒ RIFIUTARE L IPOTESI DI UGUAGLIANZA DELLE 4 VARIANZE.

25 α = 0.05 Distribuzione F 5

28 STIMA PER INTERVALLI UNO STIMATORE PER L INTERVALLO DI UN PARAMETRO È UN INTERVALLO RANDOM (CASUALE) IN CUI IL VALORE VERO DEL PARAMETRO CADE CON UN CERTA PROBABILITÀ Es.: STIMA DI INTERVALLO DELLA MEDIA : L µ U L, U RAPPRESENTANO I LIMITI DI UN INTERVALLO TALE CHE P{ L µ U }= 1 - α L U INTERVALLO AL (1 - α)% DI CONFIDENZA es.: α = % dove α = LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ 8

29 Es.: RESISTENZA DI UN ACCIAIO DA COSTRUZIONE N σr (N / mm) x = N mm s= (x i x) n 1 per α = 5% g. d. l. = 15 = 16.6 N mm t 0.975, 15= ±.131 = ± µ In questo caso siamo interessati a non avere valori troppo bassi: occorre quindi stabilire il valore di resistenza che viene superato nel 95% dei casi per α = 5% g. d. l. = 15 t 0.95, 15= = nel 95% dei casi

30 INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA VARIANZA α = 0.05 ( n 1) s ( n 1 ) s σ χ α /, n 1 χ 1 α /, n 1 χ 0.05, 15 = 7.49 χ 0.975, 15 = (16 1)16.6 (16 1)16.6 σ σ σ χ α, ν

31 Percentili della distribuzione χ 31

32 Verifica della normalità di una distribuzione Esempio: controllo sulla precisione di una macchina che trancia barre di acciaio L = 100 cm. m = s = Test del χ 3

33 Valori limiti normalizzati della classe: F(-1.37) = F(-0.69) = Numero di unità che teoricamente cadono nella classe, NT: NT = [F(-0.69) - F(-1.37)] * N = ( ) * 50 = 8 H0: gli scarti tra frequenze reali (rilevate) (FR) e teoriche (FT) sono casuali Parametro statistico: χ 0 Criterio di rifiuto: χ 0 > χ α,ν 33

34 CIFRA di MERITO per ciascuna classe: Valori desunti: -taglia del campione -media -dev. stand. Gradi di libertà = No. di valori indipendenti (No. Classi) - No. Valori desunti G.d.L. = 6-3 = < χ (α=0.1, G.d.L. =3) = 6.5 Si accetta H0 34

35 ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) 1. CONSENTE DI ANALIZZARE LE DIFFERENZE TRA MEDIE DI O PIÙ GRUPPI.. CONSENTE DI ANALIZZARE ESPERIMENTI PIÙ COMPLESSI: - ISOLARE DIVERSE CAUSE DI VARIABILITÀ, - STIMARE L ERRORE SPERIMENTALE. Es.: RESISTENZA DI BARRE DI ACCIAIO DA CEMENTO ARMATO PROVENIENTI DA 3 DIVERSI FORNITORI (oppure che abbiano subito diversi TRATTAMENTI) GRUPPI o TRATTAMENTI H0 : NON ESISTE UNA DIFFERENZA x.j media SIGNIFICATIVA FRA I 3 GRUPPI Parametro statistico: F0 Criterio di rifiuto: F0 > Fα,ν1,ν 35

36 IDENTITA': xij x = (xij x.j ) + (x.j x ) (*) xij = singole misure x = media generale x.j = media valori di una colonna = xij n il punto indica la somma rispetto a i Elevando al quadrato entrambi i membri della (*) e sommando rispetto a i e j si ottiene: ij ( xij x ) = ij ( xij x. j ) + n j ( x. j x ) = SS T SS W + SSB (o SSE ) SS T = variazione totale SS W = variazione all' interno dei gruppi (SSE, errore random) SSB = variazione tra i gruppi 36

37 T SST = ij x ij N 1 T SSB = jtj n N dove: T = somma di tutte le N misure Tj = x.j = somma delle misure j-esima colonna Tj T = 8196 T 8196 c= = = N 15 37

38 VARIAZIONE TOTALE : SS T = ij x ij c = = = VARIAZIONE TRA GRUPPI: somma dei quadrati delle deviazioni delle medie di gruppo (trattamento) rispetto alla media generale: SSB = + + c = SS W = SS T SSB =

39 TABELLA PER L ANALISI DELLA VARIANZA FONTE DI VARIAZIONE SOMMA QUADRATI G. D. L. VARIANZA TRATTAMENTO SSB = (*) 3 1 = MSB = ERRORE SSE = (**) 15 3 = 1 MSE = TOTALE SST = (***) 15 1 = 14 F0 p (*) N DEI GRUPPI - 1 MSB = SSB / G.D.L. (**) N MISURE TOTALI N DEI GRUPPI (***) N MISURE TOTALI - 1 MSE = SSE / G.D.L F0 = MSB / MSE 39

40 ESSENDO F0 (VAL. SPERIMENTALE) < F0.05,, 1 SI PUÒ AFFERMARE CHE NON ESISTE SIGNIFICATIVA FRA I LOTTI DI BARRE: UNA DIFFERENZA SI ACCETTA L IPOTESI : NON C È DIFFERENZA A LIVELLO DI SIGNIFICATIVITÀ α = 0.05 F0: rapporto tra la maggiore e la minore delle due varianze. Se F0 è significativo, ma la varianza entro i gruppi è maggiore di quella tra i gruppi, si devono sospettare irregolarità di campionamento, che possono invalidare l esperimento. 40

41 Elaborazione software MINITAB Probabilità di accettare H0 41

42 CONTROLLO DI ACCETTAZIONE SPC PROCESSO FORNITORE C. A. SCAMBIO PROCESSO CLIENTE SCOPO: - SAGGIARE LOTTI PER DECIDERNE LA DESTINAZIONE - NON STIMARE LA QUALITÀ DI UN LOTTO NON FORNISCE ALCUNA FORMA DIRETTA DI C.Q. ACCETTARE / RIFIUTARE LOTTI USO PRINCIPALE: STRUMENTO DI CERTIFICAZIONE PER ASSICURARE CHE IL RISULTATO DI UN PROCESSO SIA CONFORME AI REQUISITI RICHIESTI. 4

43 ESISTONO 3 MODI PER INTRAPRENDERE L ACCERTAMENTO DI UN LOTTO: - ACCETTAZIONE SENZA ISPEZIONE - ISPEZIONE 100% - Controllo di Accettazione IL C.A. CONVIENE QUANDO: LA VERIFICA È DISTRUTTIVA COSTO ISPEZIONE 100% ELEVATO ISPEZIONE 100% IMPOSSIBILE O TROPPO LUNGA TASSO DI ERRORE ISPETTIVO ELEVATO ECCELLENTE IMMAGINE QUALITÀ DEL FORNITORE 43

44 VANTAGGI: MENO COSTOSO MENO ISPEZIONI. MINOR MANEGGIAMENTO DEL PRODOTTO MENO DANNI. MINOR NUMERO DI PERSONE COINVOLTE. MENO ERRORI DI ISPEZIONE. RIFIUTO INTERO LOTTO MOTIVAZIONE NEL FORNITORE. SVANTAGGI: ACCETTARE LOTTI CATTIVI E RIFIUTARE LOTTI BUONI. MINORE INFORMAZIONE SUL PRODOTTO / PROCESSO. RICHIEDE UNA PIANIFICAZIONE E UNA DOCUMENTAZIONE DELLA PROCEDURA DI CAMPIONAMENTO. 44

45 ATTIVAZIONE DI UNA PROCEDURA DI C.A. - ESISTE UN LOTTO; - ESISTE UNA FASE DI SCAMBIO; - NECESSITÀ DI CONTROLLARE LA QUALITÀ DEL LOTTO. PIANI CAMPIONARI PER L ACCETTAZIONE: VARIABILI / ATTRIBUTI FORMAZIONE DEL LOTTO: - LOTTI OMOGENEI; - PREFERIBILMENTE GRANDI. CAMPIONAMENTO CASUALE 45

46 ELEMENTI DI PIANO CAMPIONARIO - DIMENSIONE DEL LOTTO: N - NUMEROSITÀ DEL CAMPIONE: n - NUMERO DI ACCETTAZIONE: c d c A d>c R CAPACITÀ DI SELEZIONE DEL PIANO Pa Probab. di accettazione Pa 1.0 p1 CURVA OC IDEALE pi 1 Frazione di elementi difettosi nel lotto Operativa Caratteristica CURVA OC REALE pi 46

47 Esempio DIMENSIONE LOTTO: N = 100 DIMENSIONE CAMPIONE: n = 10 NUMERO DI ACCETTAZIONE: c = 1 Pa = P(0) + P(1) N DI GRUPPI CHE SI POSSONO FORMARE CON n CAMPIONI ESTRATTI DA UN LOTTO DI N ELEMENTI: N! n! ( N n )! N in categorie D elementi difettosi B elementi buoni nel campione di n PROBABILITÀ di AVERE d ELEMENTI DIFETTOSI: D! B! d! ( D d )! b! ( B b)! P(d ) = N! n! ( N n )! 47 d b

48 Se D = 4 B = 96 FRAZIONE ELEMENTI DIFETTOSI NEL LOTTO si ha: P(0) P(1) Pa P(0) = 0.65 P(1) = 0.30 P a = 0.95: Pa pi

49 Pa Pa c3 > c n > n1 c > c1 n1 pi pi c1 CLIENTE FORNITORE: PRECISARE I RISCHI α : RISCHIO DEL FORNITORE β: RISCHIO DEL CLIENTE LQA : LIVELLO QUALITÀ ACCETTABILE LQT: LIVELLO QUALITÀ TOLLERABILE Pa 1 - α = Pa)MAX = 95% 1 α = 0.05 RISCHIO FORNITORE β = 0.1 LQA Es.: 1% LQT 6% RISCHIO CLIENTE 49

50 QUALITÀ MEDIA IN UNA FORNITURA DI PIÙ LOTTI QMR : QUALITÀ MEDIA RISULTANTE È DATA DALLA FRAZIONE DI ELEMENTI DIFETTOSI ESISTENTI NEI LOTTI ACCETTATI. QMR = Pa pi + (1 Pa ) = Pa pi PI PA QMR VALORI CALCOLATI per: N = 100 n = 10 c= 1 QMR MAX (QMR) LQMR pi

51 PIANI DOPPI n 1, n ampiezza campioni c1, c soglie di accettazione 1 campione n1 : a se d1 c1 r se d 1 > c campione n : c 1 < d1 c se a se d + d1 c r se d + d 1 > c 51

52 PIANI MULTIPLI n1, n,, nk ampiezza campioni c1, c,, ck soglie di accettazione τ1, τ,, τk soglie di rifiuto 1 campione n1 : a se d1 c1 r se d1 τ1 campione n : c1 < d1 < τ1 se a se d1 + d c r se d 1 + d τ 3 campione n3 : se c < d1 + d < τ. 5

53 PIANI SEQUENZIALI RAPPRESENTANO L ESTREMIZZAZIONE DEI PIANI MULTIPLI IN QUANTO IL SINGOLO ELEMENTO ESTRATTO COSTITUISCE LO SPUNTO PER UN MOMENTO DECISIONALE. SI SCEGLIE UN ELEMENTO DEL LOTTO E SI PRENDE UNA DECISIONE DOPO CIASCUNA PROVA DI CONTROLLO DEL SINGOLO ELEMENTO. SE IL N CUMULATIVO DEI DIFETTOSI (x) NEL CAMPIONE CONTROLLATO INCLUDENDO IN QUESTO L ULTIMO SCELTO È: IL LOTTO È RESPINTO ) x > x ) x x1 IL LOTTO È ACCETTATO ) x1 < x x SI SCEGLIE UN ALTRO ELEMENTO DA CONTROLLARE RINVIANDO LA DECISIONE AL PROSSIMO RISULTATO x > x1 53