Applicazione del t-test a dati accoppiati

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1 Applicazione del t-test a dati accoppiati La t-distribution è utile per confrontare dati accoppiati, ovvero osservazioni organizzate a coppie in cui si vuol valutare la differenza tra le coppie L esempio tipico è valutare se una certa operazione effettuata su un numero di elementi ha portato cambiamenti a una specifica caratteristica degli elementi stessi confrontanto una misura della caratteristica prima e dopo l operazione. Per esempio, in campo medico, dato un gruppo di pazienti si può confrontare una loro analisi (p.e. Colestorolo) prima e dopo la somministrazione di un certo farmaco per valutarne l effetto.

2 Applicazione del t-test a dati accoppiati Il T-test viene usato per verificare se ci sono differenze significative tra le due serie di osservazioni. L ipotesi nulla è che non ci siano variazioni di rilievo, ovvero che la media delle variazioni sia 0 L ipotesi alternativa è che ci siano variazioni di rilievo Calcolando media e deviazione standard del campione di differenze possiamo quindi calcolare l intervallo di rifiuto in accordo ad una confidenza scelta e verificare se 0 cade o meno nell intervallo

3 Esempio: dati Dati relativi alla percentuale di occupazione femminile (WLABOR) City Year_68 Year_72 N.Y. 0,42 0,45 L.A. 0,50 0,50 Chicago 0,52 0,52 Philadelphia 0,45 0,45 Detroit 0,43 0,46 San Francisco 0,55 0,55 Boston 0,45 0,60 Pitt. 0,34 0,49 St. Louis 0,45 0,35 Connecticut 0,54 0,55 Wash., D.C. 0,42 0,52 Cinn. 0,51 0,53 Baltimore 0,49 0,57 Newark 0,54 0,53 Minn/St. Paul 0,50 0,59 Buffalo 0,58 0,64 Houston 0,49 0,50 Patterson 0,56 0,57 Dallas 0,63 0,64

4 Esempio: calcoliamo le differenze, la media e la deviazione standard City Year_68 Year_72 Diff N.Y. 0,42 0,45 0,03 L.A. 0,50 0,50 0,00 Chicago 0,52 0,52 0,00 Philadelphia 0,45 0,45 0,00 Detroit 0,43 0,46 0,03 San Francisco 0,55 0,55 0,00 Boston 0,45 0,60 0,15 Pitt. 0,34 0,49 0,15 St. Louis 0,45 0,35-0,10 Connecticut 0,54 0,55 0,01 Wash., D.C. 0,42 0,52 0,10 Cinn. 0,51 0,53 0,02 Baltimore 0,49 0,57 0,08 Newark 0,54 0,53-0,01 Minn/St. Paul 0,50 0,59 0,09 Buffalo 0,58 0,64 0,06 Houston 0,49 0,50 0,01 Patterson 0,56 0,57 0,01 Dallas 0,63 0,64 0,01 media 0, stdev 0,059741

5 Esempio calcoliamo la regione di rifiuto per confidenza del 95% x t s x + t 1 / 2, n 1, 1 / 2, n 1 n s n L estremo sinistro è calcolabile con l espressione Excel: 0, TINV(0,05;18)*0,059741/sqrt(19) L estremo destro con l espressione: 0, TINV(0,05;18)*0,059741/sqrt(19) l intervallo è: [0,0049, 0,0625] Quindi l ipotesi nulla, cioè 0, cade al difuori della regione di rifiuto e accettiamo l ipotesi alternativa.

6 T-test in Excel Caricare il data Analysis ToolPack Selezionare Data Analysis dal Tools menu Nel menu Analysis Tools selezionare: t-test: Paired Two Sample for Means Dare come input le due colonne di dati da confrontare e il livello di confidenza (es. 0,95) La media ipotizzata

7 Esempio di T-test in Excel Dati relativi alla percentuale di occupazione femminile (Wlabor) City Year_68 Year_72 N.Y. 0,42 0,45 L.A. 0,50 0,50 Chicago 0,52 0,52 Philadelphia 0,45 0,45 Detroit 0,43 0,46 San Francisco 0,55 0,55 Boston 0,45 0,60 Pitt. 0,34 0,49 St. Louis 0,45 0,35 Connecticut 0,54 0,55 Wash., D.C. 0,42 0,52 Cinn. 0,51 0,53 Baltimore 0,49 0,57 Newark 0,54 0,53 Minn/St. Paul 0,50 0,59 Buffalo 0,58 0,64 Houston 0,49 0,50 Patterson 0,56 0,57 Dallas 0,63 0,64

8 Risultato Variable 1 Variable 2 Commento Mean 0, , medie Variance 0, , varianze Observations dimensione del campione (n) Pearson Correlation 0, indice di correlazione Hypothesized Mean Difference 0 differenza delle medie ipotizzata df 18 gradi di libertà (n-1) t Stat -2, t-value P(T<=t) one-tail 0, nota 1 t Critical one-tail 1, nota 2 P(T<=t) two-tail 0, nota 3 t Critical two-tail 2, nota 4 Nota1: se t < 0, P(T<=t) one-tail è la probabilità che un t-value sia minore di t se t > 0, P(T<=t) one-tail è la probabilità che un t-value sia maggiore di t Nota 2: un t-value è maggiore di t Critical con probabilità (nell esempio 0.05) Nota 3: P(T<=t) two-tail è la probabilità che un t-value sia più grande in valore assoluto di t Nota 4: un t-value è maggiore in valore assoluto di t Critical con probabilità (nell esempio 0.05) Poiché il t Stat, ovvero, è maggiore in valore assoluto di t critical ( x 0)/( s / n) ( > ), accettiamo l ipotesi alternativa.

9 Vedi HOTEL-anova Anova per campioni separati multipli

10 Esercitazione Il file RACEPAIR contiene informazioni su tempi di reazione e tempi di gara per batterie, semifinali e finali di centometristi delle olimpiadi 96. Si vuole verificare se c è evidenza che il tempo di rezione cambia passando alle gare successive. Si usi il paired t-test per analizzare le differenze tra le seguenti variabili: React 1 vs. React 2, React 1 vs React 3 e React 2 vs React 3. Si calcoli l intervallo di confidenza al 95%.

11 T-Test per confrontare due campioni separati Importante per capire se ci sono differenze significative tra due campioni separati omogenei Esempi: Confrontare gli stipendi tra i dipendenti maschi e i dipendenti femmine di una azienda Confrontare una specifica analisi per un campione di pazienti sottoposti ad una cura e un campione di controllo (con la stessa malattia) a cui è stato somministrato un placebo.

12 Due possibili statistiche: deviazioni standard diverse Sotto l ipotesi che i campioni siano estratti da popolazioni con diverse deviazioni standard: t = ( x 1 x2) ( 1 2) s n s n 2 2 2

13 Stessa deviazione standard Sotto l ipotesi che i campioni siano estratti da popolazioni con la stessa deviazione standard stimata come: s = ( n 1 2 1) s1 + ( n2 1) s n + n 2 1 e con i gradi di libertà da usare per calcolare il t_critical definiti in modo da approssimare al meglio la distribuzione t 2 2 2

14 Applicazione del Two-sample data in Excel: analisi delle case di cura Abbiamo i dati relativi a 51 case di cura (NURSEHOME), ciascuno con i seguenti attributi: Medical_Days Location numero di giorni di ricovero annuali rural/non rural Vogliamo analizzare se il numero totale medio di giorni di ricovero è diverso tra le cliniche di campagna (rural) e le altre

15 Rural Non Rural

16 Testing dell ipotesi Ipotesi nulla: il numero medio totale di ricoveri è indipendente dalla posizione della clinica Ipotesi alternativa: il numero medio totale di ricoveri non è indipendente dalla posizione Assumiamo, almeno inizialmente, che la deviazione standard delle due popolazioni sia la stessa

17 Usando Data Analysis in Excel Selezionare t-test assuming equal variances Fornire i seguenti input Range dei valori per le rurali Range dei valori per le non rurali Alpha = 0,05

18 Risultato t-test: Two-Sample Assuming Equal Variances Variable 1 Variable 2 Mean 257, , Variance 16449, , Observations Pooled Variance 13927,73497 Hypothesized Mean Difference 0 df 50 t Stat -1, P(T<=t) one-tail 0, t Critical one-tail 1, P(T<=t) two-tail 0, t Critical two-tail 2, Poiché t Stat in valore assoluto è minore di t Critical two-tail (1,86 < 2,00) rifiutiamo l ipotesi alternativa, ovvero non ci sono differenze tra rurali enon rurali

19 Ma... Se assumiamo invece che le deviazioni standard delle due popolazioni siano diverse, abbiamo t-test: Two-Sample Assuming Unequal Variances Variable 1 Variable 2 Mean 257, , Variance 16449, , Observations Hypothesized Mean Difference 0 df 44 t Stat -2, P(T<=t) one-tail 0, t Critical one-tail 1, P(T<=t) two-tail 0, t Critical two-tail 2, In questo caso t_stat cade al di fuori dell intervallo di accettazione, seppur di pochissimo e quindi dobbiamo accettare l ipotesi alternativa che i tempi di degenza sono di più nelle cliniche rurali. Perché questa differenza?

20 E allora? Dobbiamo cercare di scoprire perché le deviazioni standard dei campioni, rispettivamente 128,25 per le rural e 95,03 per le nonrural sono così diverse Analizziamo la distribuzione di rural Che mostra un clamoroso outlier che giustifica la correttezza della prima risposta