CAPITOLO 4 Blocchi casualizzati, quadrati latini e piani collegati

Transcript

1 Douglas C. Montgomery Progettazione e analisi degli esperimenti 2006 McGraw-Hill CAPITOLO 4 Blocchi casualizzati, quadrati latini e piani collegati Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain Progettazione degli esperimenti nell ingegneria: Il principio dei blocchi Blocchi e fattori di disturbo Il piano casualizzato a blocchi completi o RCB (Randomized Complete Block) Design Estensione dell ANOVA al RCB Design Altri scenari con i blocchi: il piano a quadrati latini

2 Il principio dei blocchi La tecnica dei blocchi serve per controllare i fattori di disturbo Un fattore di disturbo è un fattore che quasi certamente produce sulla risposta un effetto, che non interessa però allo sperimentatore. Tuttavia la variabilità che trasmette alla risposta deve essere minimizzata Tipici fattori di disturbo sono: lotti di materiale grezzo, operatori, provini, attrezzature, il fattore temporale (turni, giorni ecc.) Molti esperimenti industriali coinvolgono i blocchi (o dovrebbero) Il principio dei blocchi Se la variabilità del disturbo è nota e controllabile, si può usare la tecnica dei blocchi Se il fattore di disturbo è noto e incontrollabile, a volte si può usare l analisi di covarianza (vedi Capitolo 14) per rimuovere l effetto del fattore di disturbo dall analisi Se il fattore di disturbo non è né noto né controllabile (a variabile nascosta ), si spera che la casualizzazione (randomizzazione) equilibri la sua influenza nei confronti dell esperimento A volte diverse fonti di variabilità vengono combinate in un blocco, così il blocco diventa una variabile aggregata

3 L esempio del test di durezza Vogliamo determinare se 4 differenti penetratori producono diverse durezze (in media) leggendole in un durometro Rockwell La misura e l affidabilità dei sistemi di misura sono frequenti aree di applicazione del DoE Assegnazione delle punte a un unità sperimentale che è un test sul provino Struttura di un esperimento completamente randomizzato I test sui provini sono una fonte di fattore di disturbo Alternativamente, lo sperimentatore può voler testare le punte su provini di vari livelli di durezza L esempio del test di durezza Per condurre questo esperimento come un RCBD, assegniamo tutte 4 le punte a ciascun provino Ogni provino è chiamato blocco, cioè la più omogenea unità sperimentale su cui testare le punte La variabilità tra i blocchi può essere grande, ma la variabilità dentro a un blocco dovrebbe essere relativamente piccola In generale, un blocco è un livello specifico del fattore di disturbo Una replica completa dell esperimento di base viene condotta in ciascun blocco Un blocco rappresenta una restrizione alla randomizzazione Tutte la prove dentro un blocco sono randomizzate

4 L esempio del test di durezza Supponiamo di usare b = 4 blocchi: Da notare la struttura a due vie dell esperimento Ancora una volta, siamo interessati a testare l uguaglianza delle medie dei trattamenti (punte dei penetratori), ma bisogna rimuovere la variabilità associata ai fattori di disturbo (blocchi) Estensione dell ANOVA al RCBD Supponiamo ci siano a trattamenti (livelli del fattore) and b blocchi Un modello statistico per l RCBD è i = 1,2,..., a yij = µ + τi + β j + εij j = 1,2,..., b Le ipotesi rilevanti (effetti fissi) sono: H : µ = µ = L = µ vs H : almeno un µ µ a 1 i j b µ i = b µ + τ j 1 i + β j = µ + τ = i dove (1/ ) ( ) o equivalentemente H : τ = τ = L = τ = 0 vs H : τ 0 per almeno un i a 1 i

5 Estensione dell ANOVA al RCBD ANOVA: scomposizione della variabilità totale : a b a b 2 yij y.. = yi. y.. + y. j y.. i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 ( ) [( ) ( ) + ( y y y + y )] ij i.. j.. a b 2 2 ( i...) (. j..) i= 1 j= 1 = b y y + a y y a b + ( y y y + y ) i= 1 j= 1 ij i.. j.. SS = SS + SS + SS T Treatments Blocks E 2 2 Estensione dell ANOVA al RCBD I gradi di libertà per le somme dei quadrati SST = SSTreatments + SSBlocks + SSE sono come segue: ab 1= a 1+ b 1 + ( a 1)( b 1) I rapporti tra le somme dei quadrati e i rispettivi g.d.l. definiscono i quadrati medi, e il rapporto tra il quadrato medio dei trattamenti e il quadrato medio dell errore è una statistica F che può essere usata per testare l ipotesi di uguaglianza delle medie

6 Caratteri dell ANOVA per RCBD Per i calcoli manuali vedere le equazioni (4-9) (4-12), pagina 149 Risultati del test di durezza Output MINITAB Factor Type Levels Values Penetrat fixed Provino fixed Analysis of Variance for Durezza, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Penetrat Provino Error Total Valore critico: F 0.05;3,9 = 3.86

7 Test di durezza: analisi errata (senza considerare il blocco) Factor Type Levels Values Penetrat fixed Analysis of Variance for Durezza, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Penetrat Error Total Analisi dei residui per l esperimento del test di durezza Normal % probability Residual

8 Analisi dei residui per l esperimento del test di durezza es dua s s ed c ed Residuals Residuals Predicted Run Number Analisi dei residui per l esperimento del test di durezza I grafici sui residui indicano che le assunzioni sulla normalità e varianza costante sono plausibili Nessun problema evidente con la randomizzazione Si può anche plottare i residui vs. il tipo di punte (residui per livello del fattore) e verso i blocchi Tali grafici forniscono maggiori informazioni sull assunzione di varianza costante e sulla presenza di eventuali outlier

9 Confronti multipli per il test di durezza Quali punte sono differenti? Treatment Means (Adjusted, If Necessary) Estimated Standard Mean Error 1-T T T T Mean Standard t for H 0 Treatment Difference DF Error Coeff=0 Prob > t 1 vs vs vs vs vs vs Vedi anche Figura 4-3, Pg. 153 Altri aspetti dell RCBD L RCBD utilizza un modello additivo nessuna interazione tra trattamenti e blocchi Trattamenti e/o blocchi come effetti casuali Valori mancanti Quali sono le conseguenze del non uso dei blocchi, se ce ne sono? Dimensione del campione nell RCBD? L approccio delle curve operative caratteristiche può essere usato per determinare il numero di blocchi da considerare (pag. 157)

10 Il piano a quadrati Latini Questi piani sono utilizzati per controllare (o eliminare) simultaneamente due fonti di variabilità di disturbo Una assunzione importante è che i tre fattori (trattamenti, fattori di disturbo) non interagiscono Se tale assunzione è violata, il piano a quadrati latini non produce risultati affidabili I quadrati latini non sono usati quanto l RCBD nelle sperimentazioni industriali Il problema del propellente per razzi: un esempio di quadrato latino Questo è un esempio di quadrato Latino 5 5 Pag. 164 mostra qualche altro quadrato Latino Tabella 4-13 (page 148) contiene le proprietà dei quadrati Latini Analisi statistica?

11 Analisi statistica del piano a quadrati latini Il modello statistico è i = 1,2,..., p yijk = µ + αi + τ j + βk + εijk j = 1, 2,..., p k = 1, 2,..., p L analisi statistica (ANOVA) consiste in più di un analisi per l RCBD Vedi la tabella ANOVA, pagina 165 (Tabella 4-10) L esempio dell analisi del propellente per razzi è presentato alle pag. 166 e 167