Il modello lineare e l analisi della varianza con

Transcript

1 Il modello lineare e l analisi della varianza con Rocco Micciolo Università di Trento

2 ANOVA a 1 via La scomposizione della devianza ANOVA a 1 via e modello lineare Le variabili dummy L analisi della covarianza (ANCOVA) ANOVA in un disegno fattoriale bilanciato ANOVA in un disegno fattoriale sbilanciato Le somme dei quadrati di tipo I, II (e III???) ANOVA in un disegno within (a blocchi, con misure ripetute) Effetti fissi ed effetti random La sfericità ANOVA in un disegno misto Effetti crossed ed effetti nested Fattori between e fattori within La scomposizione della devianza e i denominatori dei test F

3 Un esperimento è uno studio in cui le variabili in grado di determinare una data risposta sono manipolate dal ricercatore ed i dati sono generati applicando differenti livelli di tali variabili alle unità sperimentali secondo appropriati disegni sperimentali.

4 L idea che sta alla base di un esperimento è che esistano unitàche possono essere soggette a differenti trattamenti. Un trattamento è un insieme di operazioni ripetibili che può essere applicato alle unità sperimentali. L esperimento consiste quindi di una definizione di un insieme di unità e di trattamenti e della assegnazione di un dato trattamento a ciascuna delle unità che sarà usata nell esperimento.

5 Condizioni che un esperimento deve soddisfare 1. Le replicazioni dell esperimento sono eseguite in condizioni simili così che esso fornisca una misura interna di variabilità. 2. Le replicazioni sono mutuamente indipendenti. 3. La variabilità incontrollata nelle replicazioni è soggetta alla attribuzione casuale (randomizzazione).

6 Il disegno dell esperimento consiste fondamentalmente nel realizzare la raccolta dei dati in modo tale che il rumore di fondo sia ridotto al minimo e che l informazione pertinente sia ottenuta con precisione sufficiente per saggiare, in modo appropriato, l ipotesi di interesse sperimentale. Per perseguire un determinato obiettivo si possono realizzare più disegni sperimentali che si differenziano per ammontare di informazione raccolta e per costi di attivazione.

7 In una situazione paradigmatica il ricercatore deve far leva sulla sua profonda conoscenza dell argomento per determinare 1. la variabile dipendente (risposta) da misurare e la procedura di misura più appropriata; 2. le variabili indipendenti (trattamenti) ed il loro intervallo di variazione di cui si vuole misurare l effetto; 3. le variabili di disturbo controllabili.

8 ASSUNTO DI BASE (ESSENZIALE) La risposta evocata quando un trattamento è applicato ad una data unità sperimentale può scriversi come somma di due quantità (modello additivo): 1. quantità che dipende soltanto dalla unità sperimentale; 2. quantità che dipende dal trattamento applicato. Punti essenziali di questo assunto sono: a. gli effetti dei trattamenti sono costanti (quindi la differenza tra due trattamenti può essere stimata dalla differenza tra le medie); b. la risposta di una unità sperimentale non è influenzata dal trattamento applicato ad altre unità sperimentali.

9 ANOVA ANalysisOfVAriance

10 L analisi della varianza è essenzialmente una procedura aritmetica che consente la partizione di una devianza totale in componenti associate a note sorgenti di variabilità. Pertanto la tabella della ANOVA è sempre valida come descrizione dei dati e come sommario delle loro proprietà.

11 Quando l ANOVA viene usata come metodo inferenziale, per trarre determinate conclusioni riguardo agli universi da cui i dati provengono, è necessario che siano soddisfatti determinati assunti relativi sia la metodo di campionamento adottato, sia ai modelli matematici espressi in funzione dei parametri ignoti dei quali si vogliono eseguire valide stime. Per poter adeguatamente formulare questi modelli è innanzitutto necessario definire le classi di problemi che l ANOVA è in grado di affrontare e di risolvere.

12 PRIMA CLASSE Include tutti i problemi usuali che implicano stima ed inferenza relative all esistenza di differenze tra medie campionarie di trattamenti, di varietà, ecc. È questa la classe di problemi che si incontra, ad esempio, in biologia. L attenzione dl biologo è spesso rivolta, infatti, agli effetti sistematici dei trattamenti.

13 SECONDA CLASSE Include tutti i problemi usuali che comportano stima ed inferenza relative all esistenza di componenti di varianza ascrivibili a deviazioni casuali delle caratteristiche di una unità sperimentale appartenente ad un determinato gruppo dal valor medio di dette caratteristiche nel corrispondente universo. È a questa classe che appartengono i problemi che vengono affrontati nel controllo della qualità. Al responsabile del controllo, ad esempio, non interessa porre in evidenza se tra il tecnico A ed il tecnico B esista una differenza, ma stimare una varianza tra tecnici che gli consenta di controllare l affidabilità delle risposte.

14 TERZA CLASSE Include tutti i problemi in cui per alcune sorgenti di variazione si è interessati solo all insieme posto sotto studio (e ci si riporta alla prima classe), mentre per altre si desidera poter fare una inferenza che interessi il vasto insieme da cui si è eseguito il campionamento (e ci si riporta alla seconda classe). Questa classe appare pertanto accessoria, mentre le prime due sono fondamentali.

15 Nei problemi della prima classe i parametri in gioco sono medie e l interesse è concentrato su particolari confronti o relazioni di tali medie in funzione della varianza entro, mentre nei problemi della seconda classe i parametri in gioco sono varianze e assumono primaria importanza le loro grandezze assolute o relative.

16 I modelli dell ANOVA atti a risolvere i problemi delle tre classi sono, rispettivamente: 1. Modello fisso (fixed model) 2. Modello casuale (random model) 3. Modello misto (mixed model) La procedura di calcolo della tavola dell ANOVA, il test statistico usato (F ) ed i livelli di significatività sono eguali per tutti i tre modelli. Le diversità risiedono nella scelta del termine di errore nella esecuzione del test F e nella stima dei parametri.