ESERCIZIO 1. Di seguito vengono riportati i risultati di un modello fattoriale di analisi della varianza con 3 fattori tra i soggetti.

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1 ESERCIZIO. Di seguito vengono riportati i risultati di un modello fattoriale di analisi della varianza con fattori tra i soggetti. Variabile dipendente: PERF Sorgente Modello corretto Intercept SEX_96 CLAS_96 SES SEX_96 * CLAS_96 SEX_96 * SES CLAS_96 * SES SEX_96 * CLAS_96 * SES Totale Totale corretto Test degli effetti fra soggetti quadrati Eta quadrato Potenza Tipo III df quadrati F Sig. parziale Non centralità osservata a 59,90 b 7,55 7,8,000,7 5,470, ,84 846, ,,000, ,,000,0,0 7,8,000,0 7,8,999,94,47,07,76,00,65,099 9,844 4,9,4,000,068 6,48,000,5,57,57,585,00,074,9 7,580,790 7,94,000,08 5,869,955 6,799 4,700,559,007,06 4,5,87,55 4,4,657,6,00,67,5 4,5 86, , ,8 878 b. R quadrato =,7 (R quadrato corretto =,0).a. Quali effetti sono statisticamente significativi (per alfa almeno <.05)?.b. Quanti sono i livelli delle variabili indipendenti?.c. Quale è la dimensione degli effetti significativi in termini di percentuale di varianza spiegata?.d. Quale è l effetto significativo più importante?.e. Individuare la potenza della verifica degli effetti significativi.f. Valutare l assunzione di omoschedasticità in base alla tabella successiva. Test di Levene di uguaglianza delle varianze dell'errore a Variabile dipendente: PERF F df df Sig., ,56 Verifica l'ipotesi nulla per la quale la varianza dell'errore della variabile dipendente è uguale tra i gruppi. a. Disegno: Intercept+SEX_96+CLAS_96+SES+SEX_96 * CLAS_96+SEX_96 * SES+CLAS_96 * SES+SEX_96 * CLAS_96 * SES

2 .g. In base ai confronti post-hoc, quali sono le differenze tra le medie che risultano statisticamente significative e quali invece no? HSD di Tukey a,b,c SOCIO-ECONOMIC STATUST LOW MEDIUM HIGH Sig. PERF Sottoinsieme N 98,098 0,975 5,607,000,000,000 Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei. Basato sulla somma dei quadrati Tipo III Il termine di errore è quadrati() =,478. a. Utilizza dimensione campionaria media armonica = 46,60 b. Le dimensioni dei gruppi non sono uguali. Verrà utilizzata la media armonica delle dimensioni. Non sono garantiti i livelli di errore di Tipo I. c. Alfa =,05.h. Utilizzando le tabelle delle stime e dei test univariati interpretare i risultati dell analisi degli effetti semplici relativa all interazione SES * SEX_96 Variabile dipendente: PERF SOCIO-ECONOMIC STATUST LOW MEDIUM HIGH Contrasto Contrasto Contrasto Test univariati quadrati df quadrati F Sig.,6,6,68,409 4,5 86,478 7,99 7,99 7,55,000 4,5 86,478,79,79 5,84,06 4,5 86,478 F verifica l'effetto di SEX_96. Questo test è basato sui confronti a coppie indipendenti e lineari tra le medie marginali stimate. Stime Variabile dipendente: PERF SOCIO-ECONOMIC STATUST LOW MEDIUM HIGH SEX_96,00,00,00,00,00,00 95% Media std. inferiore superiore,065,048,97,59,,05,0,,090,05,990,89,56,058,447,674,468,08,08,68,74,078,587,895

3 ESERCIZIO. Di seguito vengono riportati i risultati di un modello fattoriale di analisi della varianza con fattori entro i soggetti..a. Valutare l assunzione di sfericità in base alla tabella successiva. Misura: MEASURE_ Test di sfericità di Mauchly b Effetto entro soggetti TRATTO TRATTO * Approssimaz Epsilon a ione Greenhous Limite W di Mauchly chi-quadrato df Sig. e-geisser inferiore,000,000 0,,000,000,000,99,45,80,99,997,500,796 98,8,000,8,8,500 Verifica l'ipotesi nulla per la quale la matrice di covarianza dell'errore della variabile dipendente trasformata ortonormalizzata è proporzionale a una matrice identità. a. È possibile utilizzarlo per regolare i gradi di libertà per i test di significatività mediati. I test corretti vengono visualizzati nella tabella dei test sugli effetti entro soggetti. b. Disegno: Intercept Disegno entro soggetti: TRATTO++TRATTO* Test degli effetti entro soggetti Misura: MEASURE_ Sorgente TRATTO (TRATTO) () TRATTO * (TRATTO*ME TODO) quadrati Eta quadrato Potenza Tipo III df quadrati F Sig. parziale Non centralità osservata a 4,748 4,748 98,90,000,86 98,90,000 4,748,000 4,748 98,90,000,86 98,90,000 4,748,000 4,748 98,90,000,86 98,90,000 4,748,000 4,748 98,90,000,86 98,90,000 8,54 4,4 8,54 4,000,4 8,54 4,000,4 8,54 4,000,4 5,467 5,7 59,47,000, 8,945,000 5,467,984 5,97 59,47,000, 8,0,000 5,467,99 5,89 59,47,000, 8,554,000 5,467,000 5,467 59,47,000, 59,47,000 7, ,4 7, ,5,46 7,848 86,55,44 7,848 4,000,865 9,000 69,500 69,85,000,84 59,669,000 9,000,66 8,677 69,85,000,84 448,5,000 9,000,667 8,95 69,85,000,84 449,75,000 9,000,000 9,000 69,85,000,84 69,85,000,57 864,58,57 77,66,0,57 70,046,09,57 4,000,55

4 Misura: MEASURE_ Variabile trasformata: Media Sorgente Intercept Test degli effetti fra soggetti quadrati Eta quadrato Potenza Tipo III df quadrati F Sig. parziale Non centralità osservata a 65,6 65,6 9474,50,000, ,50,000 55,09 4,9.b. Quali effetti sono statisticamente significativi (per alfa almeno <.05)?.c. Quale è la dimensione degli effetti significativi in termini di percentuale di varianza spiegata?.d. Individuare la potenza della verifica degli effetti significativi.e. Utilizzando le tabelle dei confronti a coppie e delle stime, interpretare i risultati dell analisi dei confronti post-hoc relativi alla variabile Misura: MEASURE_ Stime 95% Media std. inferiore superiore,78,07,79,8,904,09,847,96,564,00,505,6 Misura: MEASURE_ (I) (J) Confronti a coppie Basato sulle medie marginali stimate *. La differenza fra medie è significativa al livello,05 a. Correzione per confronti multipli: Sidak. per la differenza al 95% a Differenza fra medie (I-J) std. Sig. a inferiore superiore -,*,0,000 -,98-4,85E-0,7*,0,000,8,96,*,0,000 4,85E-0,98,40*,0,000,67,44 -,7*,0,000 -,96 -,8 -,40*,0,000 -,44 -,67

5 .f. Utilizzando le tabelle dei confronti a coppie e delle stime, interpretare i risultati dell analisi degli effetti semplici relativa all interazione TRATTO*. Stime Misura: MEASURE_ TRATTO 95% Media std. inferiore superiore 4,,00 4,06 4,8,440,0,79,500 4,7,0 4,07 4,0,67,04,604,77,69,08,94,444,758,09,68,84 Misura: MEASURE_ (I) TRATTO (J) TRATTO Confronti a coppie Basato sulle medie marginali stimate *. La differenza fra medie è significativa al livello,05 a. Correzione per confronti multipli: Sidak. per la differenza al 95% a Differenza fra medie (I-J) std. Sig. a inferiore superiore,68*,00,000,64,74 -,68*,00,000 -,74 -,64,467*,0,000,40,5 -,467*,0,000 -,5 -,40 -,89*,048,000 -,484 -,94,89*,048,000,94,484

6 ESERCIZIO. Di seguito vengono riportati i risultati di un modello fattoriale di analisi della varianza con fattore entro i soggetti e tra i soggetti..a. Valutare l assunzione di sfericità in base alla tabella successiva. Misura: MEASURE_ Test di sfericità di Mauchly b Effetto entro soggetti Approssimaz Epsilon a ione Greenhous Limite W di Mauchly chi-quadrato df Sig. e-geisser inferiore,980 8,895,0,980,987,500 Verifica l'ipotesi nulla per la quale la matrice di covarianza dell'errore della variabile dipendente trasformata ortonormalizzata è proporzionale a una matrice identità. a. È possibile utilizzarlo per regolare i gradi di libertà per i test di significatività mediati. I test corretti vengono visualizzati nella tabella dei test sugli effetti entro soggetti. b. Disegno: Intercept+SEX Disegno entro soggetti:.b. Valutare l assunzione di omogeneità della varianza in base alla tabella successiva. AMIC_S AMIC_P AMIC_T Test di Levene di uguaglianza delle varianze dell'errore F df df Sig., 4,570,5 4,470,4 4,5 Verifica l'ipotesi nulla per la quale la varianza dell'errore della variabile dipendente è uguale tra i gruppi. a. Disegno: Intercept+SEX Disegno entro soggetti: a Test degli effetti entro soggetti Misura: MEASURE_ Sorgente * SEX () quadrati Eta quadrato Potenza Tipo III df quadrati F Sig. parziale Non centralità osservata a 0,799 5,400 48,787,000,0 97,574,000 0,799,960 5,75 48,787,000,0 95,66,000 0,799,97 5,608 48,787,000,0 96,7,000 0,799,000 0,799 48,787,000,0 48,787,000,89,95,785,0,009 7,570,690,89,960,9,785,04,009 7,48,684,89,97,,785,04,009 7,469,686,89,000,89,785,05,009,785,49 7,09 86,6 7,09 844,707, 7,09 850,494,0 7,09 4,000,6

7 Misura: MEASURE_ Variabile trasformata: Media Sorgente Intercept SEX Test degli effetti fra soggetti quadrati Eta quadrato Potenza Tipo III df quadrati F Sig. parziale Non centralità osservata a 567,97 567,97 45,54,000,98 45,54,000 0,508 0,508,676,000,068,676,000 79,047 4,647.b. Quali effetti sono statisticamente significativi (per alfa almeno <.05)?.c. Quale è la dimensione degli effetti significativi in termini di percentuale di varianza spiegata?.d. Quale è l effetto significativo più importante?.e. Individuare la potenza della verifica degli effetti significativi.f. Utilizzando le tabelle dei confronti a coppie e delle stime, interpretare i risultati dell analisi dei confronti post-hoc relativi alla variabile Misura: MEASURE_ Stime 95% Media std. inferiore superiore,450,00,9,509,676,04,609,74,00,0,40,6 Misura: MEASURE_ (I) (J) Confronti a coppie Basato sulle medie marginali stimate *. La differenza fra medie è significativa al livello,05 a. Correzione per confronti multipli: Sidak. per la differenza al 95% a Differenza fra medie (I-J) std. Sig. a inferiore superiore -,5*,07,000 -, -,7,50*,07,000 6,09E-0,9,5*,07,000,7,,75*,04,000,77,47 -,50*,07,000 -,9-6,09E-0 -,75*,04,000 -,47 -,77

8 .g. Utilizzando le tabelle dei test univariati e delle stime, interpretare i risultati dell analisi degli effetti semplici relativa all interazione *SEX. Stime Misura: MEASURE_ sex : male; sex :female,00,00,00,00,00,00 95% Media std. inferiore superiore,64,04,84,44,66,04,55,7,587,046,496,678,765,049,668,86,98,04,5,8,40,045,5,49 Misura: MEASURE_ Contrasto Contrasto Contrasto Test univariati Eta quadrato Potenza quadrati df quadrati F Sig. parziale Non centralità osservata a 4,950 4,950 9,40,000,084 9,40,000 6,497 4,79,4,4 6,960,009,06 6,960,749,905 4,49 4,56 4,56,00,00,05,00,94 75,76 4,408 F verifica l'effetto di sex : male; sex :female. Questo test è basato sui confronti a coppie indipendenti e lineari tra le medie marginali stimate.

9 SOLUZIONI ESERCIZIO.a. Quali effetti sono statisticamente significativi (per alfa almeno <.05)? Si tratta di individuare nella tabella le sorgenti di variabilità che presentano un livello di significatività nella colonna Sig. inferiore a.05. Come riportato nel testo alle pagine 4-6, il programma SPSS fornisce un output piuttosto complesso che prende come riferimento il modello lineare (vedi pagg. - 4). Si tratta di un output che presenta alcune differenze dall usuale tabella dei risultati di un ANOVA, ma che ad essa può essere facilmente ricondotto. Nel nostro esercizio, se noi escludiamo le righe modello corretto, intercept, e totale abbiamo la classica tabella dei risultati di un modello di analisi della varianza, nel quale è possibile evidenziare i risultati per i seguenti effetti principali: SEX_96, CLAS_96, SES; e per le seguenti interazioni: SEX_96*CLAS_96, SEX_96*SES, CLAS_96*SES, SEX_96*CLAS_96*SES. Infine la riga presenta la devianza, i gradi di libertà e la varianza della componente di errore, e la riga Totale corretto presenta la devianza totale (=effetti tra i soggetti + errore) e i relativi gradi di libertà. Considerando la colonna Sig., i valori che risultano inferiori a.05 sono quelli relativi ai seguenti effetti principali: SEX_96, SES; e alle seguenti interazioni: SEX_96*SES, CLAS_96*SES..b. Quanti sono i livelli delle variabili indipendenti? Bisogna considerare la colonna df (= degrees of freedom, gradi di libertà) e aggiungere ad ognuno dei valori presenti associati agli effetti principali, quindi i livelli delle variabili indipendenti saranno: SEX_96 = +=, CLAS_96=+=, SES= +=..c. Quale è la dimensione degli effetti significativi in termini di percentuale di varianza spiegata? La dimensione dell effetto è nella colonna Eta quadrato parziale, che contiene appunto i coefficienti eta quadrato, i quali quantificano la proporzione di varianza spiegata dall effetto. Considerando gli effetti evidenziati al punto.a, la dimensione degli effetti significativi è la seguente: SEX_96 =.0 (.%), SES=.068 (6.8%), SEX_96*SES =.08 (.8%), CLAS_96*SES =.06 (.6%)..d. Quale è l effetto significativo più importante? Si tratta di individuare l effetto che presenta la più elevata dimensione, quindi l eta quadrato parziale più elevato. Dal punto.b si evince che l effetto più importante è l effetto principale della variabile SES..e. Individuare la potenza della verifica degli effetti significativi La potenza dell effetto è nella colonna Potenza osservata. Considerando gli effetti evidenziati al punto.a, la potenza degli effetti significativi è la seguente: SEX_96 =.999, SES=.000, SEX_96*SES =.955, CLAS_96*SES =.87. Si tratta di valori molto elevati e superiori al livello di.80 solitamente indicato come livello di potenza adeguato..f. Valutare l assunzione di omoschedasticità Poiché il test di Levene non risulta significativo (la probabilità del test nella colonna Sig. è di.56), l assunzione di omogeneità della varianza non può essere rifiutata..g. In base ai confronti post-hoc, quali sono le differenze tra le medie che risultano statisticamente significative e quali invece no? Si tratta di individuare quali sono le medie che sono incluse in sottoinsiemi diversi. Nell esercizio tutte le medie si trovano in questa condizione, quindi sono tutte significativamente diverse l una rispetto all altra.

10 .h. Utilizzando le tabelle delle stime e dei test univariati interpretare i risultati dell analisi degli effetti semplici relativa all interazione SES * SEX_96 La tabella dei test univariati presenta i confronti tra i livelli della variable SEX_96 (=maschio, = femmina) effettuati all interno di ciascuno dei livelli della variabile SES (=LOW, =MEDIUM, =HIGH). La tabella Stime invece presenta le medie dei livelli della variable SEX_96 calcolati all interno di ciascuno dei livelli della variabile SES. Considerando il primo confronto (SES = LOW) non emerge differenza significativa tra la media dei maschi e quella delle femmine (Sig. =.409). Considerando il secondo confronto (SES = MEDIUM), la media dei maschi è significativamente più bassa di quella delle femmine (Sig. =.000). Lo stesso risultato si ha quando si considera il terzo confronto (SES = HIGH, con una probabilità paria a Sig. =.06). E questa differenza nelle differenze tra le medie di maschi e femmine nei livelli della variabile SES ad aver determinato la significatività dell interazione. ESERCIZIO.a. Valutare l assunzione di sfericità. L assunzione non può essere verificata per la variabile TRATTO perché essa ha solo livelli. L assunzione è rispettata per la variabili (Sig. =.80) mentre non è rispettata per l interazione (Sig. =.000). In base a questi risultati, nella tabella Test degli effetti entro i soggetti, per interpretare gli effetti principali verranno utilizzati i valori relativi nella riga, mentre per l interazione verranno utilizzati i valori relativi nella riga..b. Quali effetti sono statisticamente significativi (per alfa almeno <.05)? Si tratta di individuare nella tabella le sorgenti di variabilità che presentano un livello di significatività nella colonna Sig. inferiore a.05. Poiché si tratta di un disegno fattoriale con fattori entro i soggetti, nella tabella Test degli effetti entro i soggetti sono presenti differenti sorgenti di variabilità ed altrettanti corrispettivi errori (le sorgenti sono relative ai due effetti principali e alla interazione). Poiché non ci sono fattori tra i soggetti, la tabella Test degli effetti fra soggetti non va presa in considerazione poiché contiene solo la stima dell intercetta e dell errore (vedi il testo a pag. 5). Per l interpretazione degli effetti significativi dunque si utilizza solo la tabella Test degli effetti entro i soggetti. Da questa tabella si evince che sia gli effetti principali sia l interazione risultano significativi (nella colonna Sig., infatti, tutti i valori sono pari a.000, ovvero il livello di significatività è inferiore a.00)..c. Quale è la dimensione degli effetti significativi in termini di percentuale di varianza spiegata? La dimensione dell effetto è nella colonna Eta quadrato parziale. La dimensione degli effetti significativi (ricordiamo che dal punto precedente tutti gli effetti risultavano significativi) è la seguente: TRATTO =.86 (8.6 %), =. (. %), TRATTO* =.84 (8.4%)..d. Individuare la potenza della verifica degli effetti significativi La potenza dell effetto è nella colonna Potenza osservata. La potenza è uguale a per tutti gli effetti.e. Utilizzando le tabelle dei confronti a coppie e delle stime, interpretare i risultati dell analisi dei confronti post-hoc relativi alla variabile Si tratta di esaminare se il livello di significatività della colonna Sig., relativo ad uno specifico confronto tra una coppia di media, risulti inferiore a.05. Nella tabella, tutti i confronti risultano statisticamente significativi. In particolare, esaminando la tabella delle stime è possibile concludere che il metodo è quello che presenta la media più elevata, seguito dal metodo ed infine dal metodo..f. Utilizzando le tabelle dei confronti a coppie e delle stime, interpretare i risultati dell analisi degli effetti semplici relativa all interazione TRATTO*.

11 La tabella dei confronti a coppie nel quesito.f presenta i confronti tra i livelli della variable TRATTO effettuati all interno di ciascuno dei livelli della variabile. La tabella stime invece presenta le medie dei livelli della variable TRATTO calcolati all interno di ciascuno dei livelli della variabile. In tutti i livelli della variabile i confronti tra i livelli della variabile TRATTO risultano significativi. Osservando le stime è però importante sottolineare come nel caso dei metodi e il tratto presenta una media maggiore del tratto, invece per il metodo avviene esattamente il contrario: è questo ribaltamento a determinare la significatività dell interazione. ESERCIZIO.a. Valutare l assunzione di sfericità in base alla tabella successiva. L assunzione riguarda la variabile entro i soggetti e non è rispettata (Sig. =.0). In base a questi risultati, nella tabella Test degli effetti entro i soggetti, per interpretare gli effetti principali e l interazione verranno utilizzati i valori relativi nella riga..b. Valutare l assunzione di omogeneità della varianza in base alla tabella successiva. Poiché il test di Levene non risulta significativo per tutti i livelli della variabile entro i soggetti (vedi la colonna Sig.), l assunzione di omogeneità della varianza è confermata..b. Quali effetti sono statisticamente significativi (per alfa almeno <.05)? Poiché in questo esercizio abbiamo un modello misto con variabile entro e tra i soggetti, gli effetti sono divisi in due tabelle. Nella tabella Test degli effetti entro i soggetti sono presenti differenti sorgenti di variabilità, quella del fattore entro e quella dell interazione tra fattore entro e fattore tra i soggetti, con un unico termine di errore per entrambi gli effetti. Sia l effetto principale () sia l interazione risultano statisticamente significativi. La tabella Test degli effetti fra soggetti presenta, oltre alla stima dell intercetta (che non viene considerata nell output standard di una ANOVA) e dell errore, anche l effetto principale del fattore tra i soggetti (SEX), che risulta significativo..c. Quale è la dimensione degli effetti significativi in termini di percentuale di varianza spiegata? La dimensione dell effetto è nella colonna Eta quadrato parziale in entrambe le tabelle. La dimensione degli effetti significativi (ricordiamo che dal punto precedente tutti gli effetti risultavano significativi) è la seguente: =.0 (0. %), TRATTO* =.009 (0.9%), SEX=.068 (6.8 %)..d. Quale è l effetto significativo più importante? Dal punto.c si evince che l effetto più importante è l effetto principale..e. Individuare la potenza della verifica degli effetti significativi La potenza dell effetto è nella colonna Potenza osservata. La potenza è uguale a per e per SEX, e.69 circa per l interazione, e per tutti gli effetti. Si tratta di un livello assolutamente adeguato per gli effetti principali, mentre decisamente più debole per l interazione. Verosimilmente, considerando l elevata numerosità dei soggetti (4), la scarsa potenza dipende dalla bassa dimensione dell effetto relativo all interazione (vedi il punto.e)..f. Utilizzando le tabelle dei confronti a coppie e delle stime, interpretare i risultati dell analisi dei confronti post-hoc relativi alla variabile Come nell esercizio precedente, si tratta di esaminare se il livello di significatività della colonna Sig. che è relativo ad uno specifico confronto tra una coppia di medie risulta inferiore a.05. Nella tabella, tutti i confronti risultano statisticamente significativi. In particolare, esaminando la tabella delle stime è

12 possibile concludere che il metodo è quello che presenta la media più elevata, seguito dal metodo ed infine dal metodo..g. Utilizzando le tabelle dei test univariati e delle stime, interpretare i risultati dell analisi degli effetti semplici relativa all interazione *SEX. La tabella dei test univariati presenta i confronti tra i livelli della variable SEX (=maschio, = femmina) effettuati all interno di ciascuno dei livelli della variabile. La tabella Stime invece presenta le medie dei livelli della variable SEX calcolati all interno di ciascuno dei livelli della variabile. In tutti i livelli della variabile i confronti tra i livelli della variabile SEX risultano significativi. Osservando le stime emerge inoltre che i maschi presentano sempre una media più bassa delle femmine. E interessante sottolineare però che questa differenza è maggiore nel metodo (dove infatti si associa ad un eta quadrato parziale di.084) rispetto ai metodi e (dove infatti si associa a valori di eta quadrato decisamente più bassi,.06 per il metodo e.05 per il ): è questa differenza nelle differenze tra le medie a determinare la significatività dell interazione.