Strumenti informatici Realizzare l ANOVA per misure ripetute in Excel e SPSS

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1 Strumenti informatici Realizzare l ANOVA per misure ripetute in Excel e SP Excel non dispone di una funzione che realizzi l analisi della varianza per misure ripetute, a meno di utilizzarlo per svolgere i calcoli necessari. In SP occorre inserire i dati come nel caso del test di Friedman (Box 6.) appaiati soggetto per soggetto, in modo che ciascuna colonna contenga le informazioni relative ad una delle misure ripetute. Il percorso da seguire è Analyze General Linear Model Repeated Measures (Figura 6.5.) Figura 6.5. Percorso da seguire per realizzare un analisi della varianza per misure ripetute in SP A questo punto si apre la finestra di Figura 6.5., dove va indicato il nome del fattore o variabile indipendente. Occorre inserire il nome della variabile indipendente nel campo Within-Subject Factor Name, il numero di livelli nel campo Number of Levels, e poi clickare su Add. Figura 6.5. Finestra di SP che permette di comunicare al software nome e numero di livelli della variabile indipendente in un ANOVA per misure ripetute Il campo Measure name viene utilizzato quando più di una variabile dipendente viene misurata per ogni rilevazione. Nel caso che stiamo considerando non ci interessa, dato che abbiamo una sola variabile dipendente (il punteggio alla scala SPS). Dopo aver clickato su Define si apre la finestra di Figura 6.5..

2 Figura 6.5. Impostazione di un ANOVA per misure ripetute in SP In questa finestra vanno innanzitutto specificate quale variabili corrispondono ai livelli del fattore entro i soggetti (Within-Subjects Variables). Per farlo, basta selezionare con un click del tasto sinistro del mouse le variabili che costituiscono le misure ripetute e spostarle col tasto nel campo Within-Subjects Variables. La dicitura iniziale _?_() sarà sostituita dal nome della variabile (ad esempio, inizio()) come in Figura Poiché la procedura General Linear Model serve per realizzare i casi più complessi di modelli lineari generali, sono disponibili un ampia gamma di opzioni. Al momento vediamo solo quelle utili al caso dell ANOVA per misure ripetute. Il tasto Model al momento non ci interessa, poiché è utile solo nel caso in cui le variabili indipendenti siano più di una. Clickando su Contrast si ottiene la finestra per la realizzazione dei contrasti, i cui coefficienti, però, non possono essere specificati come nel caso dell ANOVA ad una via, a meno di intervenire sulla sintassi di SP (a questo proposito, si veda Barbaranelli, 006) (Figura 6.5.4). Figura Impostazione dei contrasti per un ANOVA per misure ripetute Il contrasto di default è il Polynomial, che verifica che le medie seguano un andamento di tipo lineare (crescente o decrescente). Tuttavia, è possibile impostare un contrasto diverso, clickando sul pulsante del campo Contrast nel riquadro Change Contrast. I contrasti disponibili sono vari. Oltre a Polyomial vi è Deviation (ogni categoria della variabile indipendente, tranne quella di riferimento [Reference Category, che può essere solo la prima, First, o l ultima, Last], viene

3 confrontata con la media totale), Simple (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la categoria di riferimento), Difference (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la media delle categorie precedenti nell ordine di inserimento: ad esempio, Livello vs Livello, Livello vs [Livello + Livello ], Livello 4 vs [Livello + Livello + Livello ], etc.), Helmert (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la media delle categorie successive nell ordine di inserimento: ad esempio, Livello vs [Livello + Livello + Livello 4], Livello vs [Livello + Livello 4], Livello vs Livello 4), Repeated (ogni categoria della variabile indipendente viene confrontata con la categoria che la precede). Per cambiare il tipo di contrasto, occorre selezionarlo dal menu a discesa e clickare su Change, così che nel campo Factors la dicitura di (Polynomial) cambi in, ad esempio, (Difference), dove è il nome assegnato in precedenza alla variabile indipendente. In generale, comunque, questo tipo di contrasti viene utilizzato quando si vogliano verificare ipotesi di ricerca specifiche e stabilite in anticipo rispetto all esecuzione delle analisi dei dati. Se si vogliono eseguire i confronti post-hoc nel modo illustrato nel testo, occorre clickare su Options, poiché il tasto Post-Hoc consente questo tipo di analisi solo su variabili indipendenti between subjects, ossia per campioni indipendenti. Nella finestra Options occorre selezionare il nome della variabile indipendente (nella Figura è ), e spostarlo nel campo Display Means for: col tasto. A questo punto va spuntato Compare main effects, e nel menu Confidence interval adjustment occorre scegliere l aggiustamento del livello di significatività per ogni confronto per evitare l inflazione dell errore di I tipo. Le opzioni sono solo due: Bonferroni o Sidak, e non ci sono particolari differenze nell uso dell una o dell altra. Figura La finestra Options della procedure General Linear Model di SP Una volta impostati i post-hoc in questa finestra è possibile anche richiedere, fra le altre opzioni, che vengano visualizzate le statistiche descrittive (Descriptive Statistics) e la stima della dimensione dell effetto (Estimates of effect size). In questo caso, però, la stima della dimensione dell effetto è il valore di eta-quadro parziale (η ), che non può essere interpretato come ω, in quanto non tiene conto del contributo alla varianza spiegata dato dal fatto che i soggetti siano diversi fra loro. Il

4 valore di η infatti è calcolato come + residuo, e non come + residuo + Occorre quindi molta cautela nell interpretare questo indice di dimensione dell effetto, perché tende a sovrastimare quello reale. Purtroppo un interpretazione errata di questo tipo è un errore molto frequente, anche sulle pubblicazioni scientifiche (si veda a questo proposito Pierce, Block & Aguinis, 004). L opzione Save consente di salvare in nuove variabili i valori predetti, i residui e alcune diagnostiche per gli outliers. Questi indici sono utili soprattutto nel caso della regressione multipla, per cui si rimanda il lettore alla scheda Strumenti informatici 7.5 del Capitolo 7 per una spiegazione più dettagliata. L opzione Plots consente di ottenere il grafico con le medie inserendo il nome della variabile indipendente nel campo Horizontal Axis, e clickando su Add, ma anche in questo caso non vengono riportati i baffi per gli intervalli di fiducia delle medie. L output è particolarmente ricco, e non tutte le tabelle sono rilevanti ai fini di questa esposizione. Nella Figura viene riportato l output per un analisi in cui nelle Options si sono impostati i test post-hoc con la correzione Bonferroni e si è chiesto di mostrare le statistiche descrittive e la stima della dimensione dell effetto. between. Within-Subjects Factors Dependent Variable inizio tre_mesi sei_mesi inizio tre_mesi sei_mesi Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 6,8 4, ,5000, ,8,044 6 Effect Pillai's Trace Wilks' Lambda Hotelling's Trace Roy's Largest Root a. Exact statistic b. Design: Intercept Within Subjects Design: Multivariate Tests b Value F Hypothesis df Error df Sig. Squared,978 90,74 a,000 4,000,000,978,0 90,74 a,000 4,000,000,978 45,7 90,74 a,000 4,000,000,978 45,7 90,74 a,000 4,000,000,978 Within Subjects Effect Mauchly's Test of Sphericity b Epsilon a Approx. Greenhous Mauchly's W Chi-Square df Sig. e-geisser Huynh-Feldt Lower-bound,564,90,8,696,88,500 Tests the null hypothesis that the error covariance matrix of the orthonormalized transformed dependent variables is proportional to an identity matrix. a. May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests are displayed in the Tests of Within-Subjects Effects table. b. Design: Intercept Within Subjects Design:

5 Tests of Within-Subjects Effects Source Error() Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Squared 59, 59,556,98,000,958 59,,9 7,684,98,000,958 59,,76 94,57,98,000,958 59,,000 59,,98,000,958,889 0,89,889 6,964,87,889 8,8,597,889 5,000 4,578 Tests of Within-Subjects Contrasts Source Error() Linear Quadratic Linear Quadratic Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Squared 4,000 4,000,684,000,958 87, 87,,000,000,957 9,000 5,800,889 5,778 Transformed Variable: Average Source Intercept Error Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Squared 888,7 888,7 66,75,000,99 48,78 5 9,656 Estimates 95% Confidence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 6,8,797,5 4,45 5,500,5,067 8,9 4,8,8,69 6,975 (I) (J) Mean Difference Pairwise Comparisons Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the,05 level. (I-J) Std. Error Sig. a Lower Bound Upper Bound,,75,64 -,9,860,000*,5,000 8,0 5,978 -,,75,64 -,860,9 0,667*,75,000 8,40,9 -,000*,5,000-5,978-8,0 a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. 95% Confidence Interval for Difference a -0,667*,75,000 -,9-8,40

6 Pillai's trace Wilks' lambda Hotelling's trace Roy's largest root Multivariate Tests Value F Hypothesis df Error df Sig. Squared,978 90,74 a,000 4,000,000,978,0 90,74 a,000 4,000,000,978 45,7 90,74 a,000 4,000,000,978 45,7 90,74 a,000 4,000,000,978 Each F tests the multivariate effect of. These tests are based on the linearly independent pairwise comparisons among the estimated marginal means. a. Exact statistic Figura Output di SP per un ANOVA per misure ripetute Le prime due tabelle (Within-Subjects Factors e Descriptive Statistics) riportano le etichette dei livelli della variabile indipendente e le statistiche descrittive delle tre rilevazioni, rispettivamente. Occorre prestare attenzione alla tabella Multivariate Tests, perché non è quella che contiene gli effetti da considerare, ma un analisi multivariata della varianza (vedi oltre) che al momento non ci interessa. La tabella Mauchly s Test of Sphericity invece è molto importante, in quanto permette di verificare se l assunzione di sfericità (o circolarità) delle varianze delle varie misurazioni è soddisfatta o meno. In questo caso, poiché Sig. >, 05, non possiamo rifiutare l ipotesi nulla che le varianze siano omogenee. Se il valore fosse stato inferiore a,05, nella tabella seguente, Test of Within-Subjects Effects, avremmo dovuto consultare la riga Greenhouse-Geisser e non quella recante la dicitura Sphericity Assumed, come è invece questo il caso. Nella riga Greenhouse- Geisser, infatti, vengono riportate le statistiche dell effetto della variabile indipendente (in questo caso, ) con la correzione per la mancanza di sfericità. Si noti come il valore di η parziale sia 59, calcolato come = = 0, 96, e come questo non corrisponda al valore 59, +,89 + residuo di η 59, da interpretare = = 0, 75. between è + 59, +, ,8 + residuo between reperibile alla voce Error nella tabella Test of Between-Subjects Effects che si trova subito dopo Test of Within-Subjects Contrasts, che contiene i risultati del contrasto di default (Polynomial). La differenza fra considerare un contrasto lineare e uno quadratico è che nel lineare si assume che la tendenza segua una linea retta (incrementi/diminuzioni costanti da un livello all altro della variabile indipendente) mentre nel quadratico che segua una traiettoria a parabola (incrementi/diminuzioni non costanti da un livello all altro della variabile indipendente). La tabella Estimates contiene le medie delle tre rilevazioni con l errore standard e l intervallo di fiducia, mentre la tabella Pairwise Comparisons mostra i risultati dei test post-hoc. Il problema, in questo caso, è che non viene mantenuto il nome della variabile, ma viene utilizzata l etichetta numerica del livello della variabile indipendente come mostrato nella prima tabella dell output. L interpretazione degli effetti comunque, è molto semplice, considerando che è stato operato l aggiustamento Bonferroni del livello di probabilità, e dunque ogni livello di significatività è confrontabile direttamente con il livello di significatività prescelto (ad esempio,,05). L ultima tabella Multivariate Tests nel caso dell ANOVA per misure ripetute è una replica della tabella Multivariate Tests vista in precedenza, e viene prodotta insieme ai post-hoc. In un articolo scientifico o in una tesi di laurea riporteremo la tabella con le statistiche descrittive, il grafico il Figura 6. e scriveremo: E stata eseguita un analisi della varianza per misure ripetute per verificare se vi erano differenze nei punteggi medi al test Social Phobia Scale per un gruppo di pazienti in tre diversi momenti della

7 psicoterapia (Inizio, dopo mesi, dopo 6 mesi). Il test si è rivelato significativo, F(, 0) =,4,, p <,00, ) ω = 0,7. I successivi test post-hoc, eseguiti con correzione Bonferroni del livello di significatività, hanno mostrato come non vi fossero differenze significative fra i punteggi medi di SPS all inizio e dopo mesi, mentre i punteggi erano significativamente più bassi dopo 6 mesi rispetto ad entrambi i momenti precedenti.