Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali

Transcript

1 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali 89 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali 5.1 Richiamo di alcune operazioni di analisi statistica in MINITAB In questo paragrafo sono riportati il significato e la sintassi di alcuni comandi di MINITAB che verranno utilizzati in questo capitolo. La costruzione di tabelle di frequenza assoluta può essere eseguita mediante il comando Stat Tables Tally. Dati, ad esempio, i vettori colonna x e y contenenti le osservazioni di due caratteristiche X e Y in un campione, è possibile ottenere le tabelle delle frequenze marginali assolute delle due caratteristiche: 1) Scegliere Stat Tables Tally. 2) Alla voce Variables, scegliere le colonne da analizzare, nel caso in esame: x e y. 3) Sotto la voce Display selezionare la voce relativa al tipo di analisi che si vuole: Counts, per la frequenza assoluta, Percents, per la frequenza relativa, Cumulative counts e Cumulative percents, per le cumulate. Il risultato sarà riportato in una tabella nella finestra sessione. Inoltre è possibile ottenere la tabella a due entrate delle frequenze congiunte assolute delle caratteristiche in esame, eseguendo i seguenti passaggi: 1) Scegliere Stat Tables Cross Tabulation. 2) Alla voce classification variables, scegliere le colonne da analizzare, nel caso in esame: x e y. 3) Sotto la voce Display selezionare la voce relativa al tipo di analisi che si vuole: Counts, per la frequenza assoluta, Column percents, per la frequenza relativa all interno di ogni variabile, Row percents, per la frequenza relativa tra le variabili, Total percents, per la frequenza relativa. Il risultato sarà riportato in una tabella nella finestra sessione. 4) In via opzionale cliccare sul bottone Summaries. 5) Selezionare le voci dei parametri che MINITAB può calcolare marginalmente per ognuno dei vettori colonna. Tutti i risultati saranno riportati in una unica tabella nella finestra sessione. 6) Cliccare su OK. 7) In via opzionale cliccare sul bottone Options, e selezionare le opzioni relative al modo con cui selezionare i dati per i vari vettori colonna. 8) Cliccare su OK. 9) Cliccare su OK. Qualora si volesse definire un vettore contenete degli elementi ripetuti un certo numero di volte in maniera regolare, l operazione può essere semplificata agendo in uno dei due modi seguenti: Con il comando Autofil 1) Evidenziare una o più celle in una o più colonne. 2) Posizionare il cursore del mouse sull angolo in basso a destra della zona selezionata (comparirà una crocetta [+]). 3) Cliccare sulla crocetta e trascinare verso il basso il mouse (al di fuori della selezione) per tutte le celle che si vogliono riempire. Se si trascina il mouse all interno della selezione vengono automaticamente cancellate le celle escluse. Con il comando Make Patenered Data 1) Scegliere Calc Make Pattern Data Simple Set of Numbers. 2) Nella finestra di dialogo che compare, inserire alla voce Store patterned data in il nome della colonna (nuova o già esistente) in cui si vuole inserire il nuovo set di dati.

2 90 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali 3) Inserire i valori desiderati alle voci From first value, To last value e In steps of, per indicare rispettivamente il dato iniziale, quello finale e l incremento tra due valori successivi. 4) In linea opzionale è possibile inserire dei valori alle voci List each value e/o List the whole sequence, per indicare rispettivamente quante volte ripetere lo stesso valore e/o la stessa sequenza. 5) Cliccare su OK. 5.2 Esercizi sulle caratteristiche bidimensionali in MINITAB Esempio n.1: connessione Si consideri la tabella a doppia entrata Tabella 6.3 di [1], i cui dati riguardano un indagine svolta tra 250 dipendenti, con età compresa tra 35 e 45 anni, che lavorano in aziende medie di una determinata area industrializzata, i cui padri erano o sono tuttora dipendenti della stessa o di altre aziende. Lo scopo è quello di investigare su una eventuale relazione tra la posizione ricoperta dai figli e quella ricoperta dai padri. I dati compaiono nel foglio di lavoro padre-figlio.mtw nella forma seguente: Si supponga che i dati siano stati inseriti secondo le 250 osservazioni di coppie padre/figlio, ottenendo un vettore colonna che definisce le posizioni dei padri e un relativo vettore colonna che definisce le posizioni dei figli. Quindi, per ciascuna coppia, nel vettore padre è inserita la posizione del padre e nel vettore figlio è inserita la posizione del figlio (foglio di lavoro: padrefiglio-dati.mtw ). Il foglio di lavoro padre-figlio-dati.mtw può essere costruito con MINITAB, utilizzando le informazioni contenute nel file padre-figlio.mtw, nel modo seguente: 1) Creare un nuovo foglio di lavoro e nominarlo: padre-figlio-dati.mtw. 2) Nominare la colonna C1 col nome padre e la C2 col nome figlio. 3) Digitare nella prima casella della colonna padre la parola OPERAIO e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga 98. 4) Digitare nella casella 99 della colonna padre la parola IMPIEGATO e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga ) Digitare nella casella 214 della colonna padre la parola DIRIGENTE e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga ) Digitare nella prima casella della colonna figlio la parola OPERAIO e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga 70. 7) Digitare nella casella 71 della colonna figlio la parola IMPIEGATO e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga 90.

3 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali 91 8) Digitare nella casella 91 della colonna figlio la parola DIRIGENTE e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga 98. 9) Digitare nella casella 99 della colonna figlio la parola OPERAIO e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga ) Digitare nella casella 114 della colonna figlio la parola IMPIEGATO e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga ) Digitare nella casella 202 della colonna figlio la parola DIRIGENTE e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga ) Digitare nella casella 214 della colonna figlio la parola OPERAIO. 13) Digitare nella casella 215 della colonna figlio la parola IMPIEGATO e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga ) Digitare nella casella 237 della colonna figlio la parola DIRIGENTE e, cliccando col mouse sull angolo destro in basso della casella, trascinarla in basso fino alla riga 250. A questo punto è possibile calcolare la tabella della frequenze congiunte assolute eseguendo i seguenti passaggi: 1) Scegliere Stat Tables Cross Tabulation. 2) Alla voce Classification variables, selezionare le colonne C1 (padre) e C2 (figlio). 3) Selezionare solo la voce Counts. Nella finestra sessione si ottiene la seguente tabella, che è analoga a quella contenuta nel foglio di lavoro padre-figlio.mtw : Rows: padre Columns: figlio DIRIGENT IMPIEGAT OPERAIO All DIRIGENT IMPIEGAT OPERAIO All Le frequenze congiunte relative si possono ottenere in maniera analoga: 1) Scegliere Stat Tables Cross Tabulation. 2) Alla voce Classification variables, selezionare le colonne C1 (padre) e C2 (figlio). 3) Selezionare solo la voce Total percents. Nella finestra sessione si ottiene la seguente tabella: Rows: padre Columns: figlio DIRIGENT IMPIEGAT OPERAIO All DIRIGENT 5,60 8,80 0,40 14,80 IMPIEGAT 4,80 35,20 6,00 46,00 OPERAIO 3,20 8,00 28,00 39,20 All 13,60 52,00 34,40 100,00 Come si vede le due tabelle, ottenute relativamente alle frequenze congiunte assolute e relative, riportano entrambe, nell ultima colonna a destra e nell ultima riga in basso, le frequenze marginali per ognuna delle due voci (cioè padre e figlio ).

4 92 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali Le frequenze relative della posizione occupata dal figlio condizionate alla posizione occupata dal padre, possono essere calcolate nel modo seguente: 1) Copiare nel foglio di lavoro i valori ottenuti nella tabella precedente (frequenze congiunte relative). In particolare, copiare le frequenze congiunte, così come sono elencate in tabella, rispettivamente nelle colonne C4, C5 e C6, e le frequenze marginali relative alla posizione ricoperta dal padre nella colonna C7. 2) Scegliere Calc Calculator. 3) Alla voce Store result in variable, selezionare la colonna C8. 4) Alla voce Expression, digitare: C4 / C7. 5) Cliccare su OK. 6) Scegliere Calc Calculator. 7) Alla voce Store result in variable, selezionare la colonna C9. 8) Alla voce Expression, digitare: C5 / C7. 9) Cliccare su OK. 10) Scegliere Calc Calculator. 11) Alla voce Store result in variable, selezionare la colonna C10. 12) Alla voce Expression, digitare: C6 / C7. 13) Cliccare su OK. I risultati che si ottengono sono riportati rispettivamente nelle colonne C8, C9 e C10, e possono essere riassunti nella seguente tabella: Righe: padre Colonne: figlio DIRIGENTE IMPIEGATO OPERAIO DIRIGENTE 0, , , IMPIEGATO 0, , , OPERAIO 0, , , Le frequenze condizionate relative sono state ottenute dividendo le frequenze congiunte relative per le frequenze marginali relative della caratteristica condizionante. Per stabilire se c è indipendenza o connessione tra la posizione ricoperta dal figlio e quella ricoperta dal padre occorre eseguire un test di Pearson. Per effettuare questa operazione, con MINITAB è necessario agire nel modo seguente: 1) Scegliere Stat Tables Cross Tabulation. 2) Alla voce Classification variables, selezionare le colonne C1 (padre) e C2 (figlio). 3) Selezionare solo la voce Chi-Square Analysis. 4) Selezionare la voce Show count. 5) Cliccare su OK. Nella finestra sessione si ottiene la seguente tabella, in cui sono riportate le frequenze assolute congiunte e marginali e, al fondo, i valori ottenuti con il test di Pearson: Rows: padre Columns: figlio DIRIGENT IMPIEGAT OPERAIO All DIRIGENT IMPIEGAT OPERAIO All Chi-Square = 116,578; DF = 4; P-Value = 0,000

5 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali 93 Il termine denominato Chi-Square è il valore cercato, il termine DF indica i gradi di libertà e il termine P-Value indica il livello di rischio con cui può essere scartata l ipotesi di una relazione tra i due vettori. Nel caso in esame, essendo P-Value uguale a zero (in realtà risulta uguale a zero per via dell arrotondamento alla terza cifra decimale, comunque è molto basso), si può rifiutare l ipotesi con un livello di rischio prossimo a zero. Il valore dell indice di Pearson normalizzato può essere ottenuto dal valore precedente mediante una divisione per il termine min[n (h-1), n (k-1)], dove n è il numero totale delle osservazioni effettuate, h è il numero delle modalità della caratteristica sulle righe (nel caso in esame, la posizione del padre) e k è il numero delle modalità della caratteristica sulle colonne (nel caso in esame, la posizione del figlio). Il valore dell indice normalizzato può, dunque, essere calcolato così: 1) Scegliere Calc Calculator. 2) Alla voce Store result in variable, selezionare la colonna C11. 3) Alla voce Expression, digitare: COUNT('padre') * (COUNT(C4)-1). 5) Scegliere Calc Calculator. 6) Alla voce Store result in variable, selezionare la colonna C12. 7) Alla voce Expression, digitare: COUNT('padre')*(RCOUNT(C4;C5;C6)-1). 8) Cliccare su OK. 9) Scegliere Calc Calculator. 10) Alla voce Store result in variable, selezionare la colonna C13. 11) Alla voce Expression, digitare: 116,578 / RMIN(C11;C12). 12) Cliccare su OK. Il valore che si ottiene (0,233156), riportato sulla prima casella della colonna C13, rappresenta il valore del coefficiente di Pearson normalizzato. Questo calcolo, così impostato, può essere eseguito in maniera più rapida trasformando la tabella delle frequenze congiunte in una matrice e utilizzando i parametri della matrice stessa. Il valore che si ottiene per il coefficiente, confrontato con i valori teorici dati dalle tavole [1] consente di rifiutare l ipotesi di relazione, con un livello di rischio prossimo a zero Esempio n.2: correlazione Qualora si voglia studiare l esistenza di un eventuale relazione lineare tra due variabili quantitative sotto analisi, si usa l'indice di correlazione. Due grandezze si dicono correlate se esiste una relazione lineare che le lega tra loro. Si consideri a tal proposito la "Tabella 6.19" di [1] che riporta il numero di ore di collegamento ad Internet rilevate in 20 famiglie nel periodo dall 1 gennaio al 30 aprile 2000 in funzione del numero di figli con età superiore ai 15 anni. I dati sono riportati sul foglio di lavoro internet.mtw sotto forma di due vettori colonna che determinano gli abbinamenti tra le due variabili. Essi possono essere riassunti nel modo seguente: Numero di figli (x) Ore di collegamento (y) 0 105, ,4 99, ,2 94,3 85,6 86,6 89,2 2 98,5 86, ,8 3 78,8 94,2 82, ,8

6 94 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali Esiste una relazione lineare che spiega le ore di collegamento (variabile y) con il numero di figli (variabile x)? Si tracci, innanzitutto, un diagramma di dispersione (Fig. 1). Fig. 1 Grafico di dispersione ottenuto con i dati del file internet.mtw. Con MINITAB ciò può essere fatto eseguendo i seguenti passaggi: 1) Scegliere Graph Plot. 2) Alla voce Graph variables: Y, selezionare la colonna C2 (ore di collegamento). 3) Alla voce Graph variables: X, selezionare la colonna C1 (numero di figli). Dal diagramma di dispersione in Fig. 1 non emerge l esistenza di una chiara relazione lineare tra le caratteristiche y e x. Si provino, allora, a calcolare i coefficienti della retta interpolante: 1) Scegliere Stat Regression Regression. 2) Alla voce Response, selezionare la colonna C2 (ore di collegamento). 3) Alla voce Predictors, selezionare la colonna C1 (numero di figli). 4) Cliccando opzionalmente il bottone Graphs, è possibile richiedere una serie di grafici che descrivono l andamento dei residui (ossia la differenza tra i valori sperimentali e i valori previsti mediante la retta interpolante). Selezionare solo la voce Regular. 5) Cliccare su OK.

7 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali 95 6) Cliccando opzionalmente il bottone Results, è possibile richiedere una serie di risultati riguardanti l analisi statistica effettuata sui dati relativamente alla retta interpolante. Selezionare la voce Regression equation, table of coefficients, s, R-squared, and basic analysis of variance. 7) Cliccare su OK. 8) Cliccando opzionalmente il bottone Options, è possibile richiedere una serie di opzioni sul tipo di regressione e sui risultati da fornire. Selezionare solo la voce Fit intercept. 9) Cliccare su OK. 10) Cliccando opzionalmente il bottone Storage, è possibile richiedere una serie di parametri che possono essere salvati sulle prime colonne libere del foglio di lavoro corrente. Selezionare solo la voce Coefficients. In questo modo, MINITAB salverà i due coefficienti della retta nella colonna C3, che è la prima disponibile. 11) Cliccare su OK. 12) Cliccare su OK. I risultati compariranno nella finestra sessione (oltre ai valori dei due parametri della retta, che, come richiesto, saranno anche riportati nella colonna C3) nella forma seguente: The regression equation is ore di collegamento = 104-6,07 numero di figli Predictor Coef SE Coef T P Constant 104,372 3,341 31,24 0,000 numero d -6,066 1,725-3,52 0,002 S = 8,956 R-Sq = 40,7% R-Sq(adj) = 37,4% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 991,56 991,56 12,36 0,002 Residual Error ,87 80,21 Total ,42 Come si può vedere sono riportati: nella prima e seconda riga: l equazione della retta interpolante; nella prima tabella: i due coefficienti (Coef), le corrispondenti deviazioni standard (SE Coef), i corrispondenti valori della variabile di Student (T) e i relativi livelli di rischio (P) nel rifiutare l'ipotesi nulla che i coefficienti ottenuti siano uguali a zero; nella riga successiva: la radice quadrata della varianza residua (S) ed i coefficienti di determinazione lineare (R-Sq e R-Sq(adj)); nella seconda tabella: i risultati dell analisi della varianza. Tramite le impostazioni menzionate nella procedura di calcolo è possibile richiedere a MINITAB altri parametri relativi a tale analisi, per approfondire tale argomento si rimanda all Help di MINITAB. Il valore molto basso del coefficiente di determinazione lineare sottolinea che il modello spiega una quantità molto modesta della variabilità contenuta nei dati. Il termine lineare ha un coefficiente di segno negativo. Inoltre, il coefficiente di correlazione lineare, dato dalla radice quadrata del coefficiente di determinazione lineare, assume un valore non molto elevato. Questo vuol dire che esiste una relazione lineare (di segno negativo) tra le due caratteristiche, anche se molto debole.

8 96 Applicazioni sulle caratteristiche bidimensionali