Strumenti informatici 6.6. Modelli di analisi della varianza con più di una variabile indipendente

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1 Strumenti informatici 6.6 Modelli di analisi della varianza con più di una variabile indipendente 6.6. ANOVA fattoriale completamente between Nella pratica comune è raro che le ipotesi di ricerca prendano in considerazione solo una variabile indipendente. Nel caso dello studio di validazione di un test, ad esempio, di solito si indaga se il punteggio è in relazione con le variabili socio-demografiche principali, come il genere, il titolo di studio e l età. Naturalmente è possibile verificare che il punteggio al test sia in relazione con ognuna di queste variabili mediante tre diverse e separate analisi, ma per riuscire ad avere una migliore comprensione dei fenomeni occorre utilizzare modelli statistici che tengano conto dell effetto di tutte le possibili cause contemporaneamente, salvo poi, con opportuni test post-hoc, andare ad indagare come si comporta singolarmente ogni variabile indipendente. La logica di base di questo tipo di modelli è la stessa dell analisi della varianza con una sola variabile indipendente (e dunque detta ANOVA ad una via, dall inglese one-way, o ANOVA ad un criterio di classificazione ): la variabilità della variabile dipendente è spiegata dall effetto delle variabili indipendenti, singolo e congiunto, e da una quota di errore specifico. Questo, di fatto, è il vantaggio dell utilizzare modelli lineari: poiché gli effetti sono additivi (vedi la assunzioni per l'applicazione di ANOVA nel paragrafo 6.. del manuale), il considerare ulteriori variabili indipendenti fa sì che la suddivisione della torta che rappresenta la variabilità della variabile dipendente produca più fette, ognuna corrispondente all effetto delle variabili indipendenti. In questo senso, ogni volta che aggiungiamo al modello una nuova variabile indipendente andiamo a definire in modo progressivamente più preciso il reale ruolo giocato da ognuna delle altre variabili indipendenti. Nel caso della Figura 6.6 del manuale, la variabilità della variabile dipendente (punteggio al test) era stata suddivisa in una quota spiegata dalla diversa condizione clinica dei soggetti (devianza between) e in una quota che avevamo chiamato di errore (devianza within). Ora, il termine devianza di errore non deve trarre in inganno, in quanto non è semplicemente la quota di variabilità della variabile dipendente spiegata da un qualche tipo di errore, ma, più correttamente, è la quota di variabilità della variabile dipendente che non è spiegata dalla variabile indipendente. Questo significa che potrebbe contenere anche l effetto di altre variabili indipendenti che in quel momento non stiamo considerando e che invece giocano un ruolo centrale nella spiegazione del fenomeno che stiamo studiando. Quando si cerca di descrivere un fenomeno mediante un modello lineare, quindi, occorre prestare particolare attenzione a quella che è chiamata la specificazione del modello, ossia la selezione delle variabili indipendenti da inserire, perché da questa operazione dipende il successo dell analisi. Sia chiaro che il successo dell analisi non risiede, come purtroppo molti pensano, nel trovare che tutti gli effetti delle variabili indipendenti siano statisticamente significativi, ma nel riuscire a vedere l impatto sulla variabile dipendente di ogni possibile variabile indipendente in modo non distorto né dall assenza di altre variabili indipendenti importanti, né dalla presenza di variabili indipendenti irrilevanti. E in questo modo che si giunge ad una spiegazione soddisfacente del fenomeno in esame. Le variabili indipendenti che è possibile inserire nel modello possono essere variabili categoriali (e in questo caso prendono il nome di fattori) e/o variabili continue (e in questo caso prendono il nome di covariate). In base alla presenza e alle caratteristiche dei fattori e delle covariate è possibile realizzare tutta una serie di diversi modelli, che prendono il nome di modelli di ANOVA fattoriale (se presenti solo due o più fattori), di ANCOVA (analisi della covarianza, se presenti un fattore e una o più covariate), o di ANCOVA fattoriale (se presenti sia due o più fattori, sia covariate). I fattori, a loro volta, possono essere variabili per gruppi indipendenti (fattori between) oppure per misure ripetute o campioni dipendenti (fattori within), per cui si parlerà di Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

2 modelli fattoriali completamente between se tutti i fattori sono per gruppi indipendenti (ad esempio, l effetto di genere e condizione clinica sul punteggio ad un test psicologico), di modelli fattoriali completamente within se tutti i fattori sono per misure ripetute (ad esempio, in un esperimento di psicologia dell attenzione lo stesso gruppo di soggetti viene sottoposto a tutti i possibili incroci dei livelli di due variabili indipendenti come tempo di esposizione dello stimolo [00 msec; 500 msec] e dimensione dello stimolo [grande; media; piccola] e viene studiato l effetto dei fattori sul tempo di reazione), e di modelli fattoriali misti se sono presenti sia fattori between, sia within (ad esempio, si considera l effetto dell appartenere al gruppo di controllo o al gruppo sperimentale [between] e del trascorrere del tempo [inizio dell intervento, dopo mesi, dopo 6 mesi; within] sul punteggio ad un test di funzionamento psicologico]. I modelli fattoriali vengono indicati con una notazione particolare, a moltiplicazione. Nel caso dell indagine dell effetto del genere e della condizione clinica sul punteggio ad un test psicologico, si parlerà quindi di ANOVA fattoriale completamente between 4: il numero dei fattori (che non per caso è il soprannome delle variabili indipendenti) della moltiplicazione indica il numero di variabili indipendenti, che in questo caso è due: la prima variabile indipendente ha livelli (genere: Maschi; Femmine), la seconda 4 livelli (condizione clinica: Guariti; Migliorati; Invariati; Peggiorati). Nel caso dell effetto sul tempo di reazione del tempo di esposizione e della dimensione dello stimolo si parlerà di ANOVA fattoriale completamente within (due livelli del tempo di esposizione dello stimolo e tre per la dimensione dello stimolo). Nel caso dell effetto dell appartenere al gruppo di controllo o al gruppo sperimentale [between] e del trascorrere del tempo [inizio, mesi, 6 mesi; within] sul punteggio ad un test di funzionamento psicologico si parlerà di ANOVA fattoriale mista, dove sono i livelli della variabile between (gruppo sperimentale o di controllo) e quelli della variabile within (tempo della rilevazione: inizio dell intervento, dopo mesi, dopo 6 mesi). Quando la variabili dipendenti sono più di una, per cui viene studiato l effetto delle variabili indipendenti sull insieme delle variabili dipendenti, con successivi test post-hoc per la valutazione dell effetto delle variabili indipendenti su ogni singola variabile dipendente, si parla di ANOVA multivariata (MANOVA), con le stesse possibili varianti dell ANOVA univariata (una sola variabile dipendente) in base alla presenza di più fattori e/o covariate (MANOVA fattoriale completamente between, MANOVA fattoriale completamente within, MANOVA mista, MANCOVA [analisi multivariata della covarianza], etc.) In teoria non c è un limite al numero di variabili indipendenti che possiamo aggiungere ad un modello lineare: quanto più complesso è il fenomeno, tanto maggiore sarà il numero di variabili indipendenti che dovremo utilizzare per ottenerne una spiegazione adeguata. Il punto, però, è che con l aggiunta di ulteriori variabili indipendenti si moltiplicano gli effetti da considerare, in quanto ogni variabile indipendente non contribuirà solo singolarmente, ma anche in interazione con le altre. Un effetto di interazione si verifica quando l effetto di una variabile indipendente sulla variabile dipendente dipende o è condizionato dal valore di un altra variabile indipendente, detta moderatore. Supponiamo di stare studiando l effetto del tipo di psicoterapia (individuale o di gruppo) sul numero di sintomi ossessivi osservabili al termine della terapia, e al tempo stesso considerare il possibile effetto moderatore dell ostilità interpersonale. La Figura 6.6. mostra un possibile esito dell analisi dei dati. Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

3 Numero medio di sintomi Individuale Gruppo Ostilità Bassa Punteggio Ostilità Ostilità Alta Figura 6.6. Grafico delle medie per quattro gruppi di pazienti: con bassa ostilità in psicoterapia individuale, con alta ostilità in psicoterapia individuale, con bassa ostilità in psicoterapia di gruppo, con alta ostilità in psicoterapia di gruppo. Dal grafico in Figura 6.6. osserviamo che il numero medio di sintomi è di fatto identico in tre gruppi di soggetti: con bassa ostilità in psicoterapia individuale, con alta ostilità in psicoterapia individuale, con bassa ostilità in psicoterapia di gruppo, mentre per il quarto gruppo (con alta ostilità in psicoterapia di gruppo) il numero medio di sintomi è maggiore. Questo significa che quando andiamo a porci la domanda la psicoterapia individuale e quella di gruppo sono ugualmente efficaci nel ridurre il numero di sintomi ossessivi? non possiamo rispondere né di sì, né di no, perché la risposta che verrebbe naturale dare in questo caso è Dipende. Dipende da cosa? Dal livello di ostilità interpersonale: se il livello è basso, le due psicoterapie funzionano in modo simile, mentre se il livello è alto, la psicoterapia individuale funziona meglio di quella di gruppo. In questo senso, l ostilità interpersonale modera l effetto del tipo di psicoterapia. Possiamo quindi definire un moderatore come una variabile qualitativa (e.g., genere, etnia, classe sociale) o quantitativa (e.g., livello di ansia di tratto) che influenza la direzione e/o la forza della relazione fra una variabile indipendente e una dipendente. L effetto moderatore di una variabile indipendente su un altra variabile indipendente (detta focale) viene evidenziato statisticamente mediante l effetto di interazione. Quando andiamo a rappresentare quali sono le componenti additive che producono il punteggio osservato y nella variabile dipendente dobbiamo quindi scrivere: y = µ + α + β + αβ + ε dove µ è il punteggio che ci aspettiamo di osservare nella popolazione in assenza di tutti gli altri effetti (e che quindi è uguale per tutti i soggetti), α è l effetto principale della prima variabile indipendente, β è l effetto principale della seconda variabile indipendente, αβ è l effetto di interazione delle due variabili considerare, ε è l errore specifico, ossia l effetto di tutte le altre cause non inserite nel modello. Se le variabili indipendenti fossero tre (α, β, γ), dovremmo considerare, oltre agli effetti principali, anche tutte le possibili interazioni, che a questo punto sono di secondo ordine (αβ, αγ, βγ) e di terzo ordine (αβγ). Se le variabili indipendenti fossero quattro (α, β, γ, λ) dovremmo considerare tutti gli effetti di secondo ordine (αβ, αγ, αλ, βγ, βλ, γλ), tutti quelli di terzo (αβγ, αβλ, αγλ, βγλ), e quello di quarto (αβγλ), etc. La moltiplicazione degli effetti di interazione che si verifica aggiungendo variabili indipendenti però, costituisce uno dei limiti dei modelli lineari, almeno a livello di spiegazione dei risultati. Lo scopo della ricerca non è tanto quello di arrivare a spiegare il 00% della variabilità della variabile dipendente, quanto quello di comprendere le cause di un fenomeno. Nel caso dell effetto del tipo di psicoterapia e del livello di ostilità, abbiamo spiegato l effetto di interazione come un intervento moderatore del livello di ostilità sull effetto del tipo di psicoterapia: questa spiegazione, però, è basata su argomenti puramente teorici, perché il Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

4 risultato statistico è perfettamente compatibile anche con una spiegazione in cui i ruoli di variabile focale e moderatore siano invertiti, ossia che il tipo di psicoterapia modera l effetto del livello di ostilità interpersonale: non dimentichiamo che la statistica è cieca alla teoria, e in casi come questi non ci dice quale variabile sia quella focale e quale moderatore: è la nostra conoscenza del fenomeno che ci porta ad assegnare questi ruoli. Quando le variabili indipendenti sono più di due e risulta significativo l effetto di interazione di ordine più alto, la spiegazione diventa più complessa. Supponiamo che oltre a tipo di psicoterapia e livello di ostilità sia stato considerato come variabile indipendente il genere. Come possiamo interpretare un effetto di interazione di terzo ordine significativo? L interazione genere per tipo di psicoterapia modera l effetto dell ostilità? Il genere modera l effetto interattivo di tipo del psicoterapia con l ostilità? Non è facile, a meno di una approfondita conoscenza del fenomeno in esame, uscire dal labirinto di possibili spiegazioni, anche perché non basta spiegare perché è valida quella che proponiamo noi: dobbiamo anche spiegare perché le altre interpretazioni compatibili coi risultati sono meno valide. Immaginatevi quindi il livello di complessità della spiegazione dell effetto di interazione di ordine superiore se inserite nel modello quattro, cinque o più variabili indipendenti. La Figura 6.6. mostra le fette di variabilità della variabile dipendente che spettano ad ogni effetto delle variabili indipendenti. Figura 6.6. Suddivisione della devianza della variabile dipendente in base agli effetti delle variabili indipendenti Dal punto di vista della verifica delle ipotesi sul piano statistico, la logica rimane la stessa dell analisi della varianza ad una via: ogni devianza viene divisa per i rispettivi gradi di libertà, si ottengono le varianze, e si eseguono i F di confronto fra la varianza attribuibile ad un particolare effetto e la varianza di errore. In questo senso, quindi, andiamo a considerare più di una significatività statistica, dato che le ipotesi da verificare sono più di una. Nel caso dell effetto del tipo di psicoterapia e del livello di ostilità sul numero di sintomi al termine della psicoterapia dobbiamo realizzare un ANOVA fattoriale completamente between, dato che abbiamo due variabili indipendenti, entrambe per gruppi indipendenti. Obiettivo: verificare l effetto del tipo di psicoterapia e del livello di ostilità sul numero di sintomi al termine della psicoterapia Variabili Variabile Indipendente : Tipo di psicoterapia (nominale, dicotomica: Individuale, Gruppo) Variabile Indipendente : Livello di ostilità (nominale, dicotomica: Bassa, Alta) Variabile Dipendente: Numero di sintomi (a rapporti) Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

5 Ipotesi: potrebbe esservi un effetto del tipo di psicoterapia indipendentemente dal livello di ostilità, del livello di ostilità indipendentemente dal tipo di psicoterapia, oppure un effetto di interazione tipo di psicoterapia livello di ostilità Effetti principali H 0 : µ Gruppo = µ Individuale indipendentemente dal livello di ostilità, la popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti in psicoterapia di gruppo al termine della psicoterapia presenta lo stesso numero di sintomi della popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti in psicoterapia individuale non si riscontrano differenze nel numero di sintomi in base al solo effetto del tipo di psicoterapia H : µ Gruppo µ Individuale indipendentemente dal livello di ostilità, la popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti in psicoterapia di gruppo al termine della psicoterapia non presenta lo stesso numero di sintomi della popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti in psicoterapia individuale si riscontrano differenze nel numero di sintomi in base al solo effetto del tipo di psicoterapia H 0 : µ Bassa = µ Alta indipendentemente dal tipo di psicoterapia, la popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti con bassa ostilità al termine della psicoterapia presenta lo stesso numero di sintomi della popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti con alta ostilità non si riscontrano differenze nel numero di sintomi in base al solo effetto del livello di ostilità H : µ Bassa µ Alta indipendentemente dal tipo di psicoterapia, la popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti con bassa ostilità al termine della psicoterapia non presenta lo stesso numero di sintomi della popolazione da cui è stato estratto il gruppo di pazienti con alta ostilità si riscontrano differenze nel numero di sintomi in base al solo effetto del livello di ostilità Effetto di interazione H 0 : (µ Gruppo µ Individuale ) Bassa = (µ Gruppo µ Alta ) Individuale oppure (µ Bassa µ Alta ) Gruppo = (µ Bassa µ Alta ) Individuale nella popolazione di pazienti con bassa ostilità la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo è uguale alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo nella popolazione di pazienti con alta ostilità l ostilità non modera l effetto del tipo di psicoterapia; oppure nella popolazione di pazienti che seguono una psicoterapia individuale la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità è uguale alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità nella popolazione di pazienti in psicoterapia di gruppo il tipo di psicoterapia non modera l effetto del livello di ostilità H : Almeno una differenza è significativa nella popolazione di pazienti con bassa ostilità la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo è diversa rispetto alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti in psicoterapia individuale e di gruppo nella popolazione di pazienti con alta ostilità, oppure nella popolazione di pazienti che seguono una psicoterapia individuale la differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità è diversa rispetto alla differenza fra le medie delle sottopopolazioni dei pazienti con alta e bassa ostilità nella popolazione di pazienti in psicoterapia di gruppo vi è un effetto di interazione fra il tipo di psicoterapia e il livello di ostilità: l ostilità modera l effetto del tipo di psicoterapia oppure il tipo di psicoterapia modera l effetto del livello di ostilità Avendo i dati a disposizione, è possibile svolgere i calcoli necessari per verificare queste ipotesi anche a mano, ma data la complessità dell operazione, si preferisce presentare direttamente le procedure per farlo in SPSS. I dati dell esempio che viene proposto sono riportati in Tabella Nel file di dati di SPSS devono essere riportati nello stesso modo della tabella. Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

6 Tabella 6.6. Dati per la realizzazione di un ANOVA fattoriale completamente between Psicoterapia Ostilità (0 = Individuale; = Gruppo) (0 = Bassa; = Alta) Numero di sintomi Per realizzare l ANOVA fattoriale completamente between in SPSS, occorre seguire il percorso Analyze General Linear Model Univariate (Figura 6.6.). Figura 6.6. Percorso di SPSS per la realizzazione di un ANOVA fattoriale completamente between Nella finestra che si apre dobbiamo inserire nel campo Dependent Variable la variabile dipendente (in questo caso Numero di sintomi), e nel campo Fixed Factors i fattori (in questo caso Psicoterapia e Livello di ostilità) (Figura 6.6.4) Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

7 Figura Impostazioni di SPSS per la realizzazione di un ANOVA fattoriale completamente between Il software permette anche l impiego di fattori random (vedi Rimando SPSS 6.4), di covariate (come potrebbe essere l età, vedi la sezione per un esempio) e di un peso differenziato (WLS weight) da attribuire ad ogni soggetto (utilizzato solo in particolari analisi dove sia possibile determinare il peso differenziale di ogni caso). Clickando su Model si apre una finestra che permette di impostare gli effetti da inserire nel modello: non siamo infatti obbligati a considerare tutti i possibili effetti delle variabili indipendenti e della loro interazione, ma potremmo scegliere, in base alla nostra conoscenza del fenomeno, di escludere alcuni effetti per non complicare inutilmente l interpretazione dei risultati. L impostazione di default di SPSS è di inserire nel modello tutti i possibili effetti (Full Factorial), ma spuntando l opzione Custom è possibile, selezionando opportunamente le variabili nel campo Factors & Covariates e scegliendo il tipo di effetto (interazione [Interaction], effetti principali [Main Effects], tutte le interazioni di secondo ordine [All -way], tutte le interazioni di terzo ordine [All -way], etc.) scegliere di specificare solo alcuni di tutti i possibili effetti (Figura 6.6.5) Figura Scelta degli effetti da introdurre nel modello lineare in SPSS per un ANOVA fattoriale completamente between Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

8 Clickando su Contrasts si apre una finestra analoga a quella della Figura del Box 6.5. Anche in questo caso il tipo di contrasti possibile è limitato da quelli disponibili nel menu a tendina del riquadro Change Constrast, anche se può essere impostato un contrasto diverso per ogni fattore. Clickando su Plots è possibile impostare la realizzazione del grafico, che nel caso di un modello fattoriale è di fondamentale importanza, in quanto dalla sola ispezione visiva del grafico delle medie è possibile stimare quali effetti, fra quelli principali e quello di interazione, sono significativi. Si può scegliere quale variabile avrà le categorie sull asse orizzontale (Horizontal Axis) e quale avrà le diverse categorie rappresentate da linee di colore diverso sul grafico (Separate Lines) (Figura 6.6.6). Ogni impostazione deve poi essere trasferita nel campo in basso mediante un click su Add. Nel caso di un modello fattoriale a tre variabili, è possibile ottenere grafici separati in base ai livelli di una terza variabile. Se nel nostro modello avessimo avuto anche il genere, avremmo potuto richiedere al software di realizzare un grafico Psicoterapia Ostilità per i maschi e uno per le femmine inserendo la variabile Genere nel campo Separate Plots. Figura Impostazione dei grafici di ANOVA in SPSS Mentre clickando su Save si accede ad una finestra che consente di impostare le statistiche avanzate da salvare, clickando su Post-Hoc è possibile scegliere, per ogni effetto principale, il tipo di test post-hoc da realizzare. Nel caso specifico che stiamo considerando è inutile, perché le variabili hanno due sole categorie. Se l effetto di interazione è significativo, però, significa che possiamo accettare l ipotesi nulla formulata in precedenza, per cui può essere di interesse confrontare i livelli di una delle variabili su ciascun livello dell altra variabile. Per far questo dobbiamo clickare su Options (Figura 6.6.7). Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

9 Figura La finestra Options di SPSS per la realizzazione di un ANOVA fattoriale completamente between Tutti i possibili effetti compaiono nel campo Factor(s) and Factor Interactions. Basta spostarli nel campo Display Means for: e spuntare Compare Main Effects, scegliendo poi il tipo di aggiustamento per controllare l inflazione dell errore di I tipo dovuta ai confronti multipli. Il problema, però, è che anche inserendo l effetto di interazione nel campo Display Means for: SPSS di default realizza i confronti post-hoc solo per gli effetti principali, e non per l interazione (che peraltro sono quelli che di solito interessano di più). Fortunatamente, intervenendo sulla sintassi di SPSS è possibile ottenerli. Prima di procedere, nella finestra Options spuntiamo anche Descriptive Statistics, Estimates of effect size e Homogeneity tests, come in Figura Una volta clickato Continue e tornati alla finestra principale, clickare su Paste. Si aprirà una nuova finestra che contiene le righe di comando di SPSS (Figura 6.6.8). Figura Finestra di sintassi di SPSS Originariamente, SPSS doveva essere programmato con righe di comando, e le versioni point-andclick sono venute solo dopo. Gli utenti avanzati di SPSS lavorano molto con la sintassi, in quanto consente di impostare più analisi nello stesso programma. Le righe di comando possono essere salvate in un file di sintassi che ha l estensione.sps. Al momento, però, quello che ci interessa è Si noti che questi test post-hoc sugli effetti principali hanno un significato analogo a quelli della finestra Post-Hoc solo quando i gruppi abbiano tutti la stessa numerosità e varianze omogenee Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

10 poter modificare le righe di comando per ottenere i confronti post-hoc per l effetto di interazione. L operazione è molto semplice: basta cambiare il testo della Figura 6.0 /EMMEANS = TABLES(Psicoterapia*Ostilita) con il testo in grassetto nella sintassi seguente: UNIANOVA Sintomi BY Psicoterapia Ostilita /METHOD = SSTYPE() /INTERCEPT = INCLUDE /PLOT = PROFILE( Psicoterapia*Ostilita Ostilita*Psicoterapia ) /EMMEANS = TABLES(Psicoterapia) COMPARE ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS = TABLES(Ostilita) COMPARE ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS = TABLES(Psicoterapia*Ostilita) COMPARE(Psicoterapia) ADJ(BONFERRONI) /EMMEANS = TABLES(Psicoterapia*Ostilita) COMPARE(Ostilita) ADJ(BONFERRONI) /PRINT = DESCRIPTIVE ETASQ /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = Psicoterapia Ostilita Psicoterapia*Ostilita. A questo punto basta clickare sul tasto nella finestra del file di sintassi (oppure seguire il percorso Run All) per ottenere l output. L output produce inizialmente tre tabelle (Between Subjects Factors, Descriptive Statistics, e Levene's Test of Equality of Error Variances, Figura 6.6.9) che riassumono il disegno della ricerca e riportano media, deviazione standard e numerosità dei gruppi in esame e, soprattutto, ci permettono di verificare se le varianze dei gruppi sono omogenee, che, come sappiamo, è un'assunzione che deve essere rispettata per l'applicazione del test statistico in oggetto. Between-Subjects Factors Descriptive Statistics Psicoterapia Livello di ostilità,00,00,00,00 Value Label N Individuale 0 Gruppo 0 Bassa 0 Alta 0 Dependent Variable: Numero di sintomi Psicoterapia Individuale Gruppo Total Livello di ostilità Bassa Alta Total Bassa Alta Total Bassa Alta Total Mean Std. Deviation N 7,0000, ,4000, ,000,98 0 0,0000, ,8000,954 5,4000, ,5000,707 0,000 4, ,8000, Levene's Test of Equality of Error Variances a Dependent Variable: Numero di sintomi F df df Sig.,6 6,6 Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups. a. Design: Intercept+Psicoterapia+Ostilita+Psicoterapia * Ostilita Figura Output di SPSS per un ANOVA fattoriale completamente between La tabella Test of Between-Subjects Effects riporta invece le significatività di tutti gli effetti (Figura 6.6.0) Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

11 Dependent Variable: Numero di sintomi Source Corrected Model Intercept Psicoterapia Ostilita Psicoterapia * Ostilita Error Total Corrected Total Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum Partial Eta of Squares df Mean Square F Sig. Squared 9,00 a 64,400 7,766,000,769 90,800 90,800 59,876,000,97 5,00 5,00 7,97,000,700,800,800 9,4,008,68 4,00 4,00 6,676,00,94 58,000 6,65 7, ,00 9 a. R Squared =,769 (Adjusted R Squared =,76) Figura Tabella di SPSS con la significatività degli effetti di un ANOVA fattoriale completamente between In questo caso occorre ignorare le informazioni di Corrected Model e Intercept, e concentrarsi solo su Psicoterapia, Ostilita e Psicoterapia*Ostilita, che rappresentano gli effetti principali e l interazione, rispettivamente. I valori nella colonna Sig. rappresentano le probabilità associate al fatto che i dati osservati siano il risultato di un ipotesi nulla vera. La regola di decisione è: Se Sig. <,05 Rifiutiamo H 0 L'effetto è significativo Se Sig. >,05 Accettiamo H 0 L'effetto non è significativo I risultati in Figura mostrano che possiamo rifiutare l ipotesi nulla per tutti e tre gli effetti e dunque possiamo concludere che c è un effetto principale del tipo di psicoterapia, un effetto principale del livello di ostilità, e un effetto di interazione tipo di psicoterapia livello di ostilità. I tre effetti sono indipendenti fra loro, per cui è possibile che siano tutti significativi, solo alcuni significativi, nessuno significativo. Per comprendere la direzione degli effetti, di solito si può far riferimento al grafico di interazione, come mostrato in Figura Figura 6.6. Grafico di interazione prodotto da SPSS La Figura 6.6. riporta i due tipi di grafico che è possibile realizzare quando i fattori in gioco sono due: nel grafico di sinistra sull asse orizzontale ci sono i livelli del fattore Tipo di Psicoterapia e i livelli del fattore Livello di Ostilità sono rappresentati da linee di colore diverso, mentre nel Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

12 grafico di destra avviene il contrario. Il grafico di sinistra mostra come il numero medio di sintomi (qui indicato come Estimated Marginal Means, che vuol dire stima delle medie marginali ) sia simile per i gruppi di ostilità in caso di psicoterapia individuale, ma molto diverso in caso di psicoterapia di gruppo, con un numero medio di sintomi maggiore in caso di alto livello di ostilità. Il grafico di destra, invece, mostra come in caso di psicoterapia individuale il numero di sintomi sia comunque minore rispetto al caso della psicoterapia di gruppo, all interno della quale, ad ogni modo, vi è un numero medio di sintomi maggiore in caso di alto livello di ostilità. La lettura di un grafico di interazione avviene come rappresentato in Figura Figura 6.6. Esempi tipici di grafici di ANOVA fattoriale con effetti principali ed effetto di interazione La Figura 6.6. riporta tutti i possibili casi. Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

13 Figura 6.6. Possibili esiti di un ANOVA fattoriale completamente between (Nota: NS = non significativo) Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

14 Occorre prestare particolare attenzione all interpretazione del valore di dimensione dell effetto η (nella Figura 6.6.0, colonna Partial Eta Squared). Questo valore non deve essere interpretato in SSeffetto base alle linee guida Tabella 6. del manuale, perché è calcolato come e non SS + SS SSeffetto come. Nel caso dell effetto principale del Tipo di Psicoterapia, η parziale =,700, che è il SStotale SSeffetto 5,00 risultato di = =, 700. Il valore di η, invece, è dato dal rapporto fra SS SS 5, ,00 effetto + errore SS effetto e la somma delle devianze dei tre effetti e dell errore, ossia,0 +,80 + 4,0 + 58,00 = 5,0. Tale valore corrisponde nella Figura alla devianza relativa alla voce Corrected SS effetto 5,0 Total. η = = =, 54. Anche in questo caso, però, sarebbe preferibile calcolare il SS Corrected Total 5,0 valore di ) ω mediante la formula ) SS ( ) Effetto gdleffetto MS errore 5,0 (),6 ω = = =, 5. Con la SS + MS 5,0 +,6 Corrected Total stessa operazione siamo in grado di calcolare i valori di η parziale, η e ) ω anche per gli altri effetti. I risultati sono riportati in Tabella 6.6. Tabella 6.6. Confronto fra gli indici di dimensione dell effetto η parziale, η e Figura Effetto η parziale (riportato da SPSS) errore effetto η ) ω Psicoterapia,70,54,5 Ostilità,7,, Psicoterapia Ostilità,9,0,08 errore ) ω per gli effetti in Occorre quindi porre estrema cautela nell interpretare la dimensione dell effetto offerta da SPSS. Dopo la tavola di ANOVA fattoriale con gli effetti principali, se lo si è richiesto SPSS riporta i confronti fra le medie per gli effetti principali e per l interazione sotto la dicitura Estimated Marginal Means. Nel caso che stiamo considerando gli effetti principali non hanno bisogno di posthoc in quanto i fattori sono variabili dicotomiche, per cui se l effetto è significativo, la differenza sarà a favore del livello del fattore con la media più alta. La Figura riporta le tabelle per gli effetti principali. Tipo di Psicoterapia Estimates Dependent Variable: Numero di sintomi Psicoterapia Individuale Gruppo 95% Confidence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 7,00,60 5,94 8,476,400,60,4,676 Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

15 Pairwise Comparisons Dependent Variable: Numero di sintomi (I) Psicoterapia Individuale Gruppo (J) Psicoterapia Gruppo Individuale Mean Difference Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the,05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. 95% Confidence Interval for Difference a (I-J) Std. Error Sig. a Lower Bound Upper Bound -5,00*,85,000-7,005 -,95 5,00*,85,000,95 7,005 Livello di Ostilità Estimates Dependent Variable: Numero di sintomi Livello di ostilità Bassa Alta 95% Confidence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 8,500,60 7,4 9,776,00,60 9,84,76 Dependent Variable: Numero di sintomi (I) Livello di ostilità Bassa Alta (J) Livello di ostilità Alta Bassa Pairwise Comparisons Mean Difference Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the,05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. 95% Confidence Interval for Difference a (I-J) Std. Error Sig. a Lower Bound Upper Bound -,600*,85,008-4,405 -,795,600*,85,008,795 4,405 Figura Estimated Marginal Means per l effetto principale del Tipo di Psicoterapia e del Livello di Ostilità La Figura mostra come il numero di sintomi sia maggiore in chi segue una psicoterapia di gruppo (indipendentemente dal livello di ostilità) e per chi ha un alta ostilità (indipendentemente dal tipo di psicoterapia). La Figura riporta invece le tabelle per i confronti sugli effetti di interazione. Si noti che i valori di probabilità riportati nelle colonne Sig. sono già corretti per confronti multipli in base alla procedura Bonferroni, per cui possono essere interpretati direttamente in base alla regola: Se Sig. <,05 Rifiutiamo H 0 La differenza è significativa Se Sig. >,05 Accettiamo H 0 La differenza non è significativa Confronti dei livelli di Tipo di Psicoterapia sui singoli livelli di Livello di Ostilità Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

16 Dependent Variable: Numero di sintomi Psicoterapia Individuale Gruppo Livello di ostilità Bassa Alta Bassa Alta Estimates 95% Confidence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 7,000,85 5,95 8,805 7,400,85 5,595 9,05 0,000,85 8,95,805 4,800,85,995 6,605 Dependent Variable: Numero di sintomi Pairwise Comparisons Livello di ostilità Bassa Alta (I) Psicoterapia Individuale Gruppo Individuale Gruppo (J) Psicoterapia Gruppo Individuale Gruppo Individuale Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the,05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. Mean Difference 95% Confidence Interval for Difference a (I-J) Std. Error Sig. a Lower Bound Upper Bound -,000*,04,04-5,55 -,447,000*,04,04,447 5,55-7,400*,04,000-9,95-4,847 7,400*,04,000 4,847 9,95 Confronti dei livelli di Livello di Ostilità sui singoli livelli di Tipo di Psicoterapia Dependent Variable: Numero di sintomi Psicoterapia Individuale Gruppo Livello di ostilità Bassa Alta Bassa Alta Estimates 95% Confidence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 7,000,85 5,95 8,805 7,400,85 5,595 9,05 0,000,85 8,95,805 4,800,85,995 6,605 Dependent Variable: Numero di sintomi Pairwise Comparisons Psicoterapia Individuale Gruppo (I) Livello di ostilità Bassa Alta Bassa Alta (J) Livello di ostilità Alta Bassa Alta Bassa Based on estimated marginal means *. The mean difference is significant at the,05 level. a. Adjustment for multiple comparisons: Bonferroni. Mean Difference 95% Confidence Interval for Difference a (I-J) Std. Error Sig. a Lower Bound Upper Bound -,400,04,744 -,95,5,400,04,744 -,5,95-4,800*,04,00-7,5 -,47 4,800*,04,00,47 7,5 Figura Confronti post-hoc dei livelli di un fattore sui singoli livelli dell altro fattore Nella Figura i confronti dei livelli di Tipo di Psicoterapia sui singoli livelli di Livello di Ostilità mostrano come il numero medio di sintomi di chi segue una psicoterapia di gruppo sia Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

17 comunque maggiore di quello di chi segue una psicoterapia individuale, mentre i confronti dei livelli di Livello di Ostilità sui singoli livelli di Tipo di Psicoterapia mostrano come non ci sia differenza significativa fra le medie di Basso e Alto livello di Ostilità in caso di psicoterapia individuale, mentre vi sia una differenza significativa fra le medie dei livelli di Ostilità in caso di psicoterapia di gruppo, con alti livelli di ostilità associati ad un numero medio di sintomi maggiore. Per riportare il risultato in un articolo scientifico o in una tesi di laurea riporteremo la tabella con le statistiche descrittive, uno dei due grafici in Figura 6.6. e scriveremo: E stata eseguita un analisi della varianza fattoriale completamente between (Tipo di Psicoterapia [Individuale, Gruppo] Livello di Ostilità [Alto, Basso]). Sono risultati significativi entrambi gli effetti principali (Psicoterapia: F(, 6) = 7,0, p <,00, η parziale = 0,70; Livello di Ostilità: F(, 6) = 9,, p =,008, η parziale = 0,7; Interazione: F(, 6) = 6,77, p =,00, η parziale = 0,9). Gli effetti principali erano dovuti ad un numero medio di sintomi maggiore per chi seguiva una psicoterapia di gruppo e per chi aveva un alto livello di ostilità. I confronti post-hoc sugli effetti di interazione hanno mostrato che il numero medio di sintomi di chi segue una psicoterapia di gruppo è maggiore di quello di chi segue una psicoterapia individuale indipendentemente dal livello di ostilità, mentre i confronti dei livelli di Livello di Ostilità sui singoli livelli di Tipo di Psicoterapia hanno rivelato come non ci sia differenza significativa fra le medie di Basso e Alto livello di Ostilità in caso di psicoterapia individuale, mentre vi sia una differenza significativa fra le medie dei livelli di Ostilità in caso di psicoterapia di gruppo, con alti livelli di ostilità associati ad un numero medio di sintomi maggiore ANOVA fattoriale completamente within Quando tutte le variabili indipendenti, o fattori, sono entro i soggetti, ossia rappresentano misure ripetute sugli stessi soggetti, si parla di ANOVA fattoriale completamente within. Consideriamo il caso in cui lo stesso gruppo di 0 soggetti viene sottoposto ad un serie prove in cui vengono mostrati degli oggetti di dimensioni variabili (grande, media, piccola) per un tempo di 00 o 500 msec. Il compito del soggetto è premere la barra spaziatrice quando ha riconosciuto l oggetto e nominarlo. In questo caso i fattori sono le Dimensioni dell Oggetto e il Tempo di Esposizione dello stimolo, mentre la variabile dipendente è il Tempo di Reazione, calcolato come media delle prove per ogni incrocio dei livelli dei fattori (o condizione). In questi casi, per ogni incrocio dei livelli dei fattori vengono somministrate molte prove (in gergo, trials), e per ognuna si ottiene un tempo di reazione. Di solito, dopo aver ripulito i dati da eventuali valori outliers (comuni in questo tipo di esperimenti), per ogni condizione si calcola il tempo di reazione medio (o mediano). I risultati sono riportati in Tabella Tabella 6.6. Risultati dell esperimento di riconoscimento di oggetti (tempo di reazione, millisecondi) Esposizione 00 msec Esposizione 500 msec Soggetto Dimensione Dimensione Piccola Media Grande Piccola Media Grande A B SPSS in questi casi riporta anche una tabella chiamata Univariate Tests che è legata all opzione di default dei Constrasts. In questo caso non è stata riportata per non appesantire il testo. Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

18 C D E F G H I L M N O P Q R S T U V Obiettivo: verificare l effetto del Tempo di Esposizione e della Dimensione dello Stimolo sul tempo di riconoscimento di un oggetto Variabili Variabile Indipendente : Tempo di Esposizione (nominale, dicotomica: 00 msec, 500 msec) Variabile Indipendente : Dimensione dello Stimolo (nominale, politomica: Piccola, Media, Grande) Variabile Dipendente: Tempo di Reazione (msec, a rapporti) Ipotesi: potrebbe esservi un effetto del Tempo di Esposizione indipendentemente dalla Dimensione dello Stimolo, della Dimensione dello Stimolo indipendentemente dal Tempo di Esposizione, oppure un effetto di interazione tipo di Tempo di Esposizione Dimensione dello Stimolo Effetti principali H 0 : µ 00msec = µ 500msec indipendentemente dalla dimensione dello stimolo, la popolazione a cui fanno riferimento le osservazioni per un tempo di esposizione di 00 msec ha un tempo di reazione medio uguale alla popolazione a cui fanno riferimento le osservazioni per un tempo di esposizione di 500 msec non si riscontrano differenze nel tempo di reazione in base al tempo di esposizione dello stimolo H : µ 00msec µ 500msec indipendentemente dalla dimensione dello stimolo, la popolazione a cui fanno riferimento le osservazioni per un tempo di esposizione di 00 msec ha un tempo di reazione medio diverso dalla popolazione a cui fanno riferimento le osservazioni per un tempo di esposizione di 500 msec si riscontrano differenze nel tempo di reazione in base al tempo di esposizione dello stimolo H 0 : µ Piccola = µ Media = µ Grande indipendentemente dal tempo di esposizione dello stimolo, le popolazioni a cui fanno riferimento le osservazioni per le varie dimensioni dello stimolo hanno tempi di reazione medi uguali non si riscontrano differenze nel tempo di reazione in base alla dimensione dello stimolo H : Almeno due medie diverse indipendentemente dal tempo di esposizione dello stimolo, le popolazioni a cui fanno riferimento le osservazioni per le varie dimensioni dello stimolo non hanno tutte tempi di reazione medi uguali si riscontrano differenze nel tempo di reazione in Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

19 base alla dimensione dello stimolo, e i test post-hoc riveleranno quali condizioni sono significativamente diverse fra loro Effetto di interazione H 0 : (µ 00msec µ I500msec ) Piccola = (µ 00msec µ I500msec ) Media = (µ 00msec µ I500msec ) Grande la differenza fra i tempi di reazione medi delle popolazioni a cui fanno riferimento le osservazioni per un tempo di esposizione di 00 msec e 500 msec è uguale su tutti i livelli di dimensione dello stimolo la dimensione dello stimolo non modera l effetto del tempo di esposizione H : Almeno due differenze diverse la differenza fra i tempi di reazione medi delle popolazioni a cui fanno riferimento le osservazioni per un tempo di esposizione di 00 msec e 500 msec non è uguale su tutti i livelli di dimensione dello stimolo la dimensione dello stimolo modera l effetto del tempo di esposizione Per realizzare l ANOVA fattoriale completamente within in SPSS procediamo come nel caso dell ANOVA per misure ripetute (vedi Rimando SPSS 6.5), col percorso Analyze General Linear Model Repeated Measures. I dati vanno organizzati come un Figura 6.6.6, che riproduce la Tabella Figura Organizzazione dei dati in SPSS per realizzare un ANOVA fattoriale completamente within. Nella finestra dove vengono specificati i fattori within inseriremo Tempo ( livelli) e Dimensio (tre livelli; SPSS non consente l inserimento di nomi di fattori within più lunghi di 8 caratteri) (Figura 6.6.7). Il nome della variabile va inserito nel campo Within-Subject Factor Name, e in Number of Levels va specificato il numero di livelli di questo fattore. La procedura di inserimento del fattore viene completata clickata su Add. Una volta completato l'inserimento dei fattori, si passa alla fase successiva clickando su Define. Nel campo Measure Name possono essere inseriti i nomi di variabili distinte che sono state misurate su ognuno dei livelli dei fattori (ad esempio, in tre momenti diversi del tempo sono stati ottenuti i punteggi di tre diversi test psicologici; questo consente di realizzare la cosiddetta ANOVA Multivariata per misure ripetute, vedi Sezione 6.6.5). Per semplicità espositiva, si riporta qui una delle due possibili interpretazioni dell effetto di interazione. Era possibile formulare anche l interpretazione alternativa, ovvero che fosse il tempo di esposizione a moderare l effetto della dimensione dello stimolo. Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

20 Figura Impostazione dei fattori within in SPSS per la realizzazione di un ANOVA fattoriale completamente within. Nella finestra successiva dobbiamo stare attenti ad assegnare ad ogni condizione la giusta variabile. Le condizioni sono indicate con due numeri fra parentesi separate da una virgola: il primo numero indica la condizione della prima variabile specificata nella finestra precedente, il secondo la condizione della seconda variabile. Poiché abbiamo inserito come prima variabile il Tempo di Esposizione e come seconda variabile la Dimensione dello Stimolo, il primo numero rappresenta i livelli del Tempo di Esposizione, il secondo quelli della Dimensione dello Stimolo (Figura 6.6.8). Figura Assegnazione delle variabili alle condizioni per la realizzazione di di un ANOVA fattoriale completamente within in SPSS SPSS offre tutta una serie di opzioni possibili per l analisi. A noi però interessa soprattutto la sezione Options, in quanto ci permette di impostare i test post-hoc per gli effetti principali e per l interazione (anche in questo caso è necessaria la modifica della sintassi di SPSS vista nella sezione 6.6.), richiedere le statistiche descrittive e le dimensioni dell effetto (Figura 6.6.9) Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

21 Figura Impostazioni delle opzioni per la realizzazione di un ANOVA fattoriale completamente within. Infine, impostiamo i grafici clickando su Plots. In questo caso chiediamo che vengano realizzati entrambi i grafici possibili, ossia quello con le categorie della variabile Tempo di Esposizione sull asse orizzontale (Horizontal Axis) e le categorie della variabile Dimensione dello Stimolo rappresentate da linee di colore diverso (Separate Lines), e viceversa. L output dell analisi è riportato in Figura Within-Subjects Factors Measure: MEASURE_ tempo dimensio Dependent Variable rt_00_pic rt_00_med rt_00_gra rt_500_pic rt_500_med rt_500_gra rt_00_pic rt_00_med rt_00_gra rt_500_pic rt_500_med rt_500_gra Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 9,50 545,0 0 09,5 455, ,5 9,5 0 45,50 488,5 0 57,5 80, ,5 785,890 0 Mauchly's Test of Sphericity b Measure: MEASURE_ Within Subjects Effect tempo dimensio tempo * dimensio Epsilon a Approx. Greenhous Mauchly's W Chi-Square df Sig. e-geisser Huynh-Feldt Lower-bound,000,000 0.,000,000,000,678 6,989,00,757,808,500,969,564,754,970,000,500 Tests the null hypothesis that the error covariance matrix of the orthonormalized transformed dependent variables is proportional to an identity matrix. a. May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests are displayed in the Tests of Within-Subjects Effects table. b. Design: Intercept Within Subjects Design: tempo+dimensio+tempo*dimensio 4 Per esigenze di spazio non vengono riportate in questo output le tabelle Multivariate Tests e Tests of Within-Subjects Contrasts, che comunque SPSS produce, poiché in questo caso non ci interessano. Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia

22 Measure: MEASURE_ Source tempo Error(tempo) dimensio Error(dimensio) tempo * dimensio Error(tempo*dimensio) Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Sphericity Assumed Greenhouse-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound Tests of Within-Subjects Effects Type III Sum Partial Eta of Squares df Mean Square F Sig. Squared 4, 4, 7,79,05,74 4,,000 4, 7,79,05,74 4,,000 4, 7,79,05,74 4,,000 4, 7,79,05, , , , 9, , , 9, , , 9, , , ,8 9,7,00,4 8850,7,5 975,44 9,7,00,4 8850,7, ,09 9,7,00,4 8850,7, ,67 9,7,007,4 8907, , , 8, , , 0, , , 9, , ,667 50,,449,04, ,667, ,468,449,044, ,667,000 50,,449,04, ,667, ,667,449,079, , ,0 7998,7 6, ,7 7998,7 8, ,0 7998,7 9, ,404 Tests of Between-Subjects Effects Measure: MEASURE_ Transformed Variable: Average Source Intercept Error Type III Sum Partial Eta of Squares df Mean Square F Sig. Squared ,068,000, ,98 Figura Output di SPSS per gli effetti principali e di interazione di un ANOVA fattoriale completamente within. Le prime due tabelle dell output (Within-Subjects Factors e Descriptive Statistics) riassumono il disegno della ricerca e le statistiche descrittive delle varie condizioni. La tabella Mauchly s Test of Sphericity ci informa sulla sfericità (ossia, omogeneità) delle varianze per tutti gli effetti. Notiamo che Sig. del fattore Dimensione è minore di,05 (,00), per cui quando andremo a valutare la significatività dell effetto nella tabella Tests of Within-Subjects Effects non consulteremo la riga di Sphericity Assumed, ma quella di Greenhouse-Geisser. Nessun problema, invece, per gli altri due effetti. Nella tabella seguente (Tests of Within-Subjects Effects), osserviamo come tutti e tre gli effetti siano statisticamente significativi (Sig. <,05). Nel caso del Tempo di Esposizione e dell effetto di interazione consultiamo la riga Sphericity Assumed, mentre nel caso dell effetto principale di Dimensione dello Stimolo consultiamo Greenhouse-Geisser. Occorre prestare particolare attenzione alla valutazione della dimensione dell effetto mediante la colonna Partial Eta Squared. Come già abbiamo visto anche nella sezione 6.6., una stima adeguata della dimensione SSeffetto dell effetto non si ottiene, come propone SPSS, con la formula, ma con SS + SS SS effetto SS + SS effetto errore + SS between effetto errore, dove SS between è il termine Error nella tabella Tests of Between Subjects Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia