Analisi Multivariata Prova intermedia del 20 aprile 2011

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1 Analisi Multivariata Prova intermedia del 20 aprile 20 Esercizio A Sia X N 3 (µ, Σ) con µ = [ 3,, 4] e 2 0 Σ = Quali delle seguenti variabili casuali è indipendente? Motivare la risposta. A. X e X 2 A2. X 2 e X 3 A3. (X, X 2 ) e X 3 A4. (X + X 2 )/2 e X 3 Esercizio B Supponiamo che X e Z seguono una distribuzione normale bivariata, entrambe con media nulla e con σx 2 = 4, σ2 Z = 7/9 e E[XZ] = 2. B. Sia Y = 2X 3Z. Determinare la distribuzione di Y e scriverne la funzione di densità f y (y). B2. Determinare la distribuzione condizionata di X dato Z. B3. Determinare la distribuzione congiunta di Y e Y 2 = X + Z. Esercizio C Il file FRENCH FOOD.XLS contiene i dati sulla spesa media mensile per alcuni tipi di cibo delle famiglie francesi distinte per tipologia. Le tipologie sono: operaio= MA, impiegato=em, manager = CA. Le famiglie sono inoltre distinte in base al numero dei figli (2,3,4 o 5 figli): per esempio la tipologia MA2 corrisponde ad una famiglia con 2 figli il cui capofamiglia lavora come

2 operaio. Le variabili registrate nell archivio sono 8: la tipologia delle famiglie tipo, e la spesa relativa a 7 categorie alimentari, cioè pane, verdura, f rutta, carne, pollame, latte, vino. C. Costruire il vettore delle medie e la matrice di covarianza campionaria. C2. Valutare se la distribuzione congiuta delle 7 variabili quantitative è approssimabile con una distribuzione normale multivariata. C3. Determinare le componenti principali campionarie e le varianze ad esse relative. C4. Mostrare che la varianza totale è uguale alla somma degli autovalori della matrice di covarianza. C5. Calcolare la proporzione di varianza totale spiegata dalla prima componente e disegnare lo scree-plot. C6. Determinare le componenti principali dalla matrice di correlazione campionaria. C7. In base ai risultati del punto C6, quante componenti principali sono sufficienti a rappresentare i dati? Motivare la risposta. C8. Scrivere l espressione della prima componente principale derivata da R, come si possono interpretare i coefficienti della combinazione lineare? C9. Scrivere la formula per il calcolo del coefficiente di correlazione tra la j- ma componente principale e la k-ma variabile standardizzata. Eseguire il calcolo per la prima componente principale e commentare il risultato ottenuto. C0. Calcolare per ogni variabile la proporzione di varianza spiegata dalle prime due componenti principali e commentare brevemente il risultato ottenuto. C. Rappresentare graficamente le famiglie in base alle prime due componenti principali. Commentare brevemente il grafico ottenuto. C2. Quale tipologia di famiglia presenta il valore più alto rispetto alla prima componente principale? E il più basso? 2

3 Soluzione Esercizio A Ricordiamo che in una distribuzione normale multivariata, covarianza nulla implica indipendenza. (a) No, σ 2 0 (b) Sì, σ 23 = 0 (c) Sì, σ 3 = σ 23 = 0 (d) Sì, (X +X 2 )/2 e X 3 sono congiuntamente normali con covarianza 2 σ σ 23 = 0. Ricordare che se X N p (µ, Σ) le q combinazioni lineari A q p X p sono ancora normali N q (Aµ, AΣA ) Esercizio B B. Una funzione lineare di due variabili normali è ancora normale. Pertanto Y è normale con media zero e varianza pari a σy 2 = E[(2X 3Z)2 ] = 4E[X 2 ] + 9E[Z 2 ] 2E[XZ] = = 9. Quindi Y 9 ha distribuzione normale con funzione di densità f y (y) = 3 2π e y2 /8 B2. X dato Z ha distribuzione normale univariata con media E(X Z) = µ X + σ 2 (z µ σz 2 z ) e σx Z 2 = σ2 X σ2 2. Sostituendo si ottiene E(X σz 2 Z) = z = 8z =.059z e 7 7 σ2 X Z = = 32 =, B3. La distribuzione congiunta di Y e Y 2 = X + Z è normale bivariata con vettore delle medie Aµ e matrice di covarianza AΣA, dove Σ è la matrice di covarianza di (X, Z) e ( ) 2 3 A = Per cui si ottiene ( Y Y 2 ) [( 0 0 ) ( 9 /3, /3 89/9 )] 3

4 Esercizio C si veda programma SAS prova sas C. per costruire il vettore delle medie e la matrice di covarianza campionaria usare PROC CORR. C2. Valutare se la distribuzione congiuta delle 7 variabili quantitative è approssimabile con una distribuzione normale multivariata: studiare le distribuzioni marginale con PROC UNIVARIATE, calcolare le distanze generalizzate al quadrato e vedere qual è l aproporzione di osservazioni che cade nell ellissi di isodensità dello 0.50 della distribuzione normale multivariata con p=7: in questo caso il 50%. C3. Per determinare le componenti principali campionarie e le varianze ad esse relative utilizzare PROC PRINCOMP con opzione COV. La varianza di ciascuna componente è data dall autovalore corrispondente: V ar(y j ) = λ j. C4. Varianza totale uguale alla somma degli autovalori della matrice di covarianza: j λ j = k s2 k sommare gli autovalori e confrontare con la somma delle varianze delle variabili. C5. La proporzione di varianza totale spiegata dalla prima componente è pari all 88% e si ottiene dividendo il primo autovalore per la varianza totale; per e disegnare lo scree-plot si può utilizzare l opzione plots(only)=(scree) di PROC PRINCOMP, oppure l opzione scree di PROC FACTOR. C6. Per determinare le componenti principali dalla matrice di correlazione campionaria utilizzare PROC PRINCOMP. Inserire lopzione out= per ottenere il valore delle CP calcolate per tutte le osservazioni, ossia i c.d. punteggi (ci serviranno ai punti C9 e C) C7. In base ai risultati del punto C6, possiamo decidere di rappresentare i dati con 2 componenti principali. Infatti la proporzione di varianza spigata dalle prime due CP è dell 88% e le prime due CP hanno autovalori maggiori di. C8. Espressione della prima componente principale derivata da R: Y = z z 7 ; i coefficienti della combinazione lineare 4

5 rappresentano il peso che ciascuna variabile standardizzata ha nel determinare la componente principale. In questo caso sono tutti positivi, tranne quello associato alla variabile vino. C9. Il coefficiente di correlazione tra la j-ma componente principale e la k- ma variabile standardizzata è dato da ρ jk = e jk λj. Per calcolare i ρ jk si può utilizzare PROC CORR sul data set creato con l opzione out= di PROC PRINCOMP, oppure utilizzare PROC FACTOR, in tal caso i coefficienti di correlazione si leggono dalla tabella Pattern fattoriale. La prima componente è positivamente correlata con tutte le variabili, tranne vino. Sono particolarmente alte le correlazioni con verdura, frutta, carne e pollame. C0. La proporzione di varianza spiegata dalle prime due componenti principali per ogni variabile si ottiene sommando i due coefficienti di correlazione corrispondenti al quadrato, cioè R,2;k 2 = ρ2 k + ρ2 2k. Questo conto può essere fatto a mano, oppure letto nella tabella Stime di comunanza finali dell output di PROC FACTOR. Osserviamo che tutte le variabili sono ben rappresentate, con R 2 parziali superiori all 80%, tranne vino. C. Per rappresentare graficamente le famiglie in base alle prime due componenti principali possiamo utilizazre: la macro %plotit o PROC GPLOT sul data set creato con l opzione out= di PROC PRINCOMP, oppure l opzione plots(only)=(score(ncomp=2) scree) di PROC PRINCOMP per ottenere il grafico con ODS, in tal caso ricordarsi di utilizzare ods graphics on; e ods graphics off; C2. Per individuare la tipologia di famiglia che presenta il valore più alto rispetto alla prima componente principale e quella con il valore più basso ordinare con PROC SORT il data set creato con l opzione out= di PROC PRINCOMP. 5