ANOVA 1 Via Esercizio esempio 1

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1 ANOVA 1 Via Esercizio esempio 1 Miller e Vanhoutte hanno condotto una ricerca sperimentale in cui cani femmine adulte, a cui erano state precedentemente asportate le ovaie (ovariectomizzate), sono stati trattati con estrogeni e progesterone. Si vuole sapere se i trattamenti hanno o meno effetti sulla concentrazione serica di progesterone. Dati TRATTAMENTO Non trattatiestrogeno Progesterone Estrogeno +Progesterone n= 18 k= 4 TOT generale= Totale Media T= Media generale = X= Variabile risposta = concentrazione sierica progesterone ng/dl Variabile trattamento = tipo di trattamento effettuato Unità sperimentale = singoli individui (cani) trattati Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 18-1= 17 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 4-1=3 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 18-4=14

2 F critico per 3 gdl al numeratore / 14 gdl al denominatore = 3.34 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 i quattro trattamenti danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Assunzioni: INE Randomizzazione dei trattamenti ai soggetti:effettuata

3 concentrazione sierica di progesterone ng/dl per trattamento progesterone ng/dl Media generale Non trattati Estrogeno Progesterone Estrogeno +Progesterone Nel grafico si osservano i valori della variabile risposta ng/dl di progesterone in funzione dei trattamenti effettuati, della variabile trattamento; si osservano la relativa posizione e dispersione dei valori per ogni trattamento ed in riferimento alla media generale della variabile risposta di tutte le unità sperimentali

4 SOMMA QUADRATI SS scarti dalla media al quadrato k SST = J = 1 i = 1 Totale SST = (117*117)+(124*124)+ (124*124) - (15267*15267)/18 nj x ij 2 (T 2../N) SST = k J = 1 (T.j 2 /n j) (T 2../N) Tra trattamenti SSA= (409*409)/5+(1061*1061)/4+.-(15267*15267)/18 SSA= Entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertà media quadratica rapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV= MSA/ MSW = / = F è maggiore di F critico = 3.34 per alfa = 0.05, 3/14 gradi di libertà quindi rifiutiamo H0 Almeno un trattamento ha una media diversa dagli altri

5 Risultati Excel analisi dati Analisi varianza: ad un fattore RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Valore di significatività F critico Origine della variazione SQ gdl MQ F Tra gruppi In gruppi Totale

6 Risoluzione esercizio con il software R (v2.15.1) #Importazione dati data_estrogeni<-read.csv2(file.choose(), header= TRUE, sep= ";", dec=",", na.strings=" ") #importa dataset excel "anova1_1.csv" #Visualizzo un estratto del dataset head(data_estrogeni) > head(data_estrogeni) Un.sper risposta trattamento A A 3 40 A 4 88 A 5 40 A B #Uso il comando colnames che permette di visualizzare il nome delle variabili colnames(data_estrogeni) [1] "Un.sperimentale" "risposta" "trattamento" #Utilizzo il comando attach per gestire le variabili con il loro nome attach(data_estrogeni) #Calcolo le statistiche di sintesi della variabile risposta e della variabile trattamento summary(risposta) > summary(risposta) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max #Comunico al software la natura nominale categorica della variabile trattamento trattamento<-as.factor(trattamento) summary(trattamento) > summary(trattamento) #Applico l analisi della varianza (ANOVA) a 1 via anova(lm(risposta~trattamento)) Analysis of Variance Table Response: risposta Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trattamento e-06 *** Residuals

7 Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * #Applico i confronti multipli di Tukey... TukeyHSD(aov(lm(risposta~trattamento))) tr x vs tr y diff IC 95% (t) p agg lwr upr #...che visualizzo anche graficamente rispetto alle seguenti ipotesi nulle H 0 : µ x µ y = 0 plot(tukeyhsd(aov(lm(risposta~trattamento))))

8 Qualora le assunzioni dell ANOVA fossero violate (es. assenza di normalità, varianze dei trattamenti non omogenee) si ricorre al metodo non parametrico di Kruskall-Wallis che sfrutta i ranghi: data.frame(rango=rank(risposta),risposta,trattamento) rango risposta trattamento kruskal.test(risposta~trattamento) > kruskal.test(risposta~trattamento) Kruskal-Wallis rank sum test data: risposta by trattamento Kruskal-Wallis chi-squared = , df = 3, p-value = Test significativo, rifiuto H0 accetto Ha Almeno un trattamento ha una media diversa dagli altri

9 Esercizio esempio 2 Azoulay e Dupuis hanno studiato l efficacia di cinque farmaci per debellare lo Streptococcus pneumonie nel polmone di topi femmina infettate dal batterio. I dati che seguono riassumono l esperimento con dosaggi peri iniezione di antibiotico mg/kg e numero di batteri delle vie aeree espresso in Log cfu/ml di polmone omogeneizzato). Si vuole sapere se i trattamenti hanno effetti diversi. DATI Controlli Amoxicillina 50 Eritromicina 50 TRATTAMENTO Temafloxacina 50 Ofloxacina 100 Ciprofloxacina n= 20 k=6 Totale Media Tot generale= T= Media generale= X= 5.25 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 i quattro trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa - Variabile risposta= numero di batteri (Log cfu/ml di polmone omogeneizzato) nelle vie aeree Variabile trattamento= tipo di antibiotico utilizzato Unità sperimentale= singoli individui (topi femmina)

10 Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 20-1= 19 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 6-1=5 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 20-6 =14 F critico per 5 gdl al numeratore / 14 gdl al denominatore = 2.96 Assunzioni: INE Randomizzazione dei trattamenti ai soggetti:effettuata

11 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (2.6*2.6)+(2.6*2.)+ (6.45*6.45) - (105.09*105.09)/20 SST = tra trattamenti SSA= (42.7*42.7)/5+(2.6*2.6)/3+.-(105.09*105.09)/20 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= 8.63 Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertà media quadratica rapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è maggiore di F critico 2.95 per alfa = 0.05,5/14 gradi di libertà quindi rifiutiamo H0 Rifiutiamo H0 Ovvero i quattro trattamenti non hanno stessa media, non danno la stessa risposta; almeno un trattamento ha una media diversa, almeno un farmaco antibiotico agisce diversamente sul numero di batteri infettanti.

12 Risultati Excel analisi dati Analisi varianza: ad un fattore RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Tra gruppi In gruppi Totale Risoluzione esercizio con il software R (v2.15.1) > anova(lm(risposta~trattamento)) Analysis of Variance Table Response: risposta Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trattamento e-08 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

13 Esercizio esempio 3 Rosen et al. hanno studiato la presenza di problemi nel sonno in soggetti sopravvissuti all olocausto nazista, rispetto a soggetti depressi e sani. I problemi nel sonno sono valutati con l indice PSQI (Pittsburg Sleep Qualità Index) che riassume diversi sintomi presenti nell ultimo mese ed i risultati sono riportati nella tabella seguente. Si vuole sapere se le condizioni trauma dell olocausto, depressione-non depressione dei soggetti determinano condizioni diverse di qualità del sonno. TRATTAMENTO k Sopravvissuti olocausto Pazienti depressi Pazienti sani Totale Media Totale generale 515 n=67 Media generale 8 K=3

14 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 i tre trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Variabile risposta= punteggio indice PSQI qualità del sonno Variabile trattamento= tipo esperienza - condizione del paziente Unità sperimentale= singoli individui valutati Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 67-1= 66 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 67-3 = 64 F critico per 2 gdl al numeratore / 64 gdl al denominatore = 3.14 Assunzioni: INE Randomizzazione: effettuata??

15 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (5*5)+(9*9)+ (2*2) - (515*515.)/67 SST = Tra trattamenti SSA= (42.7*42.7)/5+(2.6*2.6)/3+.-(105.09*105.09)/20 SSA= Entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertàmedia quadraticarapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è maggiore di F critico 3.14 per alfa = 0.05,5/14 gradi di libertà quindi rifiutiamo H0 Ovvero i tre trattamenti non hanno stessa media, non danno la stessa risposta; almeno un trattamento ha una media diversa, almeno una delle tre condizioni agisce diversamente sulla qualità del sonno. Analisi varianza: ad un fattore Risultati Excel Analisi dati RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Tra gruppi E In gruppi Totale

16 Esercizio esempio 4 Singh et al. Hanno studiato le anomalie immunitarie in bambini autistici, sono riportati i dati relativi alla misurazione di concentrazione serica unità/ml di un antigene in tre campioni di bambini di età minore di 10 anni. Vi sono differenze tra i tre campioni di bambini artistici, normali e ritardati? TRATTAMENTO Bambini autistici Bambini normali Bambini ritardati Totale Media Totale generale n=71 Media generale

17 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 i tre trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Variabile risposta= concentrazione serica antigene unità/ml Variabile trattamento= condizione mentale del bambino Unità sperimentale= singoli bambini valutati Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 71-1= 70 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 71-3 = 68 F critico per 2 gdl al numeratore / 68 gdl al denominatore = Assunzioni: INE Randomizzazione:??

18 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (755*755)+(385*385)+ (245*245) - (24663*24663)/69 SST = tra trattamenti SSA= (9658*9658)/23+(10065*10065)/33+.- (24663*24663)/71 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertà media quadratica rapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è maggiore di F critico =3.13 per alfa = 0.05,2/68 gradi di libertà quindi rifiutiamo H0 Rifiutiamo H0 Ovvero i tre trattamenti non hanno stessa media; almeno un trattamento ha una media diversa, almeno una delle tre condizioni dei bambini ha diversa concentrazione di antigene. Analisi varianza: ad un fattore Analisi dati con excel RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Valore di Origine della variazione SQ gdl MQ F significatività F crit Tra gruppi In gruppi Totale

19 Esercizio esempio 5 Sono state sperimentate quattro tipi di diete alimentari in un gruppo di volontari per uno stesso periodo di tempo alfine di valutare l efficacia o meno della dieta usata. I volontari inoltre non differivano in dispendio energetico nello stesso periodo di tempo. È stata misurata la % di variazione del peso dall inizio alla fine della dieta per ogni volontario. I dati sono riportati sotto, vi sono differenze tra le diverse diete? TRATTAMENTO controllo dieta 1 dieta 2 dieta 3 dieta Totale Media Totale generale 70 n=44 Media generale 1.59 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 i tre trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa

20 Variabile risposta= variazione % di peso nel tempo standard Variabile trattamento= tipo di dieta Unità sperimentale= singoli volontari sottoposti alla dieta Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 44-1= 43 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 4-1= 3 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 44-4 = 40 F critico per 3 gdl al numeratore / 40 gdl al denominatore = 2.84 Assunzioni: INE Randomizzazione: effettuata

21 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (3*3)+(2*2)+ (1*1) - (70*70)/44 SST = tra trattamenti SSA= (20*20)/11+(19*19)/11+.- (70*70)/44 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. rapporto di somma quadrati gradi di libertà media quadratica varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è minore di F critico 2.84 per alfa = 0.05, 3/40 gradi di libertà quindi NON rifiutiamo H Rifiutiamo HA Ovvero i quattro trattamenti hanno stessa media; non vi sono differenze tra le diete e controllo. Analisi varianza: ad un fattore Analisi dati con excel RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Tra gruppi In gruppi Totale

22 Esercizio esempio 6 Per valutare la capacità di alcune specie vegetali di assorbimento-depurazione di metalli pesanti dal suolo è stata studiata la concentrazione di piombo in µg per grammo di fusto essiccato (materia secca) in quattro zone di coltivazione di girasole Helianthus annuus, compresa una ex discarica abusiva. Vi è differenza tra i diversi campioni di coltivazione? TRATTAMENTO area 1 ex discarica area 2 area 3 area K = 4 2 Totale Media Totale generale 178 n=43 Media generale 4.14 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 i tre trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa

23 Variabile risposta = concentrazione di piombo microgrammi/g di materia secca Variabile trattamento = zona-terreno di coltivazione Unità sperimentali = singole piante di girasole Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 43-1= 42 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 4-1= 3 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 43-4 = 39 F critico per 3 gdl al numeratore / 39 gdl al denominatore = 2.84 Assunzioni: INE Randomizzazione:??

24 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = 10*10)+(9*9)+ (2*2) - (178*178)/43 SST = tra trattamenti SSA= (106*106)/11+(27*27)/12+.- (178*178)/43 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. rapporto di somma quadrati gradi di libertà media quadratica varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è maggiore di F critico 2.84 per alfa = 0.05,2/68 gradi di libertà quindi rifiutiamo H0 Ovvero i quattro trattamenti non hanno stessa media; almeno un trattamento ha una media diversa, almeno in una delle tre zone di coltivazione i girasoli hanno una diversa concentrazione di piombo. Analisi varianza: ad un fattore Analisi dati con Excel RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Tra gruppi E In gruppi Totale

25 Esercizio esempio 7 Szàdòczky et al. hanno studiato un principio attivo della classe degli antidepressivi triciclici, la Imipramina, ed hanno valutato la densità di H 3 -imipramina nelle piastrine dei pazienti depressi stagionali (SAD), pazienti depressi non stagionali (non SAD) ed in paziento sani. I dati sono qui riportati. Sussiste differenza di concentrazione per le tre categorie di pazienti? TRATTAMENTO SAD non-sad Controllo Totale Media Totale generale n=31 Media generale H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 i tre trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa

26 Variabile risposta = densità di imipramina Variabile trattamento = tipologia di pazienti Unità sperimentali = singoli individui valutati Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 31-1= 30 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 31-3 = 28 F critico per 2 gdl al numeratore / 28 gdl al denominatore = 3.34 Assunzioni: INE Randomizzazione:??

27 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (634*634)+(585*585)+ (845*845) - (22888*22888)/31 SST = tra trattamenti SSA= (11661*11661)/17+(4939*493915)/8+.- (22888*2288)/31 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertà media quadratica rapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è maggiore di F critico 3.34 per alfa = 0.05,2/28 gdi Rifiutiamo H0 Ovvero i tre trattamenti non hanno stessa media; almeno un trattamento ha una media diversa, almeno un tipo di paziente SAD non-sad ha una diversa densità di Imipramina. Analisi varianza: ad un fattore Analisi dati Con Excel RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Tra gruppi E In gruppi Totale

28 Esercizio-esempio 8 Per valutare l efficacia di trattamenti sulla crescita dei capelli, effettuati mediante lozioni con infusi di erbe, è stato condotto un esperimento con tre tipi diversi di lozione e controllo (acqua distillata) su pazienti dello stesso sesso, età ed etnia per 10 giorni. La crescita è stata misurata in mm, I dati sono riportati qui di seguito. Esistono differenze tra i trattamenti? TRATTAMENTO Infuso 1 infuso 2 infuso 3 controllo Totale Media Totale generale 309 n=42 Media generale 7.36 K=4 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3= µ 4 i quattro trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa

29 Variabile risposta = mm lunghezza crescita capelli Variabile trattamento = tipo di infuso-lozione Unità sperimentali = singoli individui trattati Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 42-1= 41 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 4-1= 3 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 42-4 = 38 F critico per 3 gdl al numeratore / 38 gdl al denominatore = 2.85 Assunzioni: INE randomizzazione:??

30 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (10*10)+(6*6)+ (7*7) - (309*309)/42 SST = tra trattamenti SSA= (88*88)/12+(67*67)/9+.- (309*309)/42 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertà media quadratica rapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è minore di F critico 2.85 per alfa = 0.05,3/38 gradi di libertà quindi non rifiutiamo H0 rifiutiamo HA Ovvero i trattamenti hanno stessa media; gli infusi-lozione e l acqua distillata hanno tutti la stessa efficacia sulla cerescita dei capelli in mm. Analisi varianza: ad un fattore Analisi Dati Excel RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Tra gruppi In gruppi Totale

31 Esercizio-esempio 9 Meg Gulanick ha studiato gli effetti di diversi tipi di addestramento per l autosufficienza in pazienti che hanno subito un evento cardiaco (infarto o intervento al miocardio). L autosufficienza viene misurata in punteggi ed i risultati sono riportati qui di seguito. Esistono differenze per l autosufficienza raggiunta in funzione dei tipi diversi di addestramento? TRATTAMENTO gruppo 1 gruppo 2 gruppo Totale Media Totale generale n=37 Media generale K=3 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 i tre trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa

32 Variabile risposta = punteggio in test autosufficienza Variabile trattamento = tipo di addestramento Unità sperimentali = singoli individui addestrati Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 37-1= 36 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 37-3 = 34 F critico per 2gdl al numeratore / 14 gdl al denominatore = 3.27 Assunzioni: INE Randomizzazione:??

33 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (156*156)+(119*119)+ (66*66) - (1395*1395)/37 SST = tra trattamenti SSA= (88*88)/12+(67*67)/9+.- (1395*1395)/37 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertà media quadratica rapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è maggiore di F critico 3.27 per alfa = 0.05,2/34 gradi di libertà quindi rifiutiamo H0 Ovvero i tre trattamenti non hanno stessa media; almeno un trattamento ha una media diversa, almeno un tipo di addestramento determina diverso punteggio di autosufficienza. Analisi varianza: ad un fattore RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Tra gruppi In gruppi Totale

34 Esercizio-esempio 10 Cavalier Smith ha studiato il contenuto in DNA nucleare (genome size) in diversi organismi procarioti ed eucarioti, qui di seguito vengono riportati valori di genome size in pg di DNA (1pg= g) per la specie Rattus norvegicus misurati in tre diverse aree geografiche lontane e separate. Vi sono differenze per gli animali delle tre aree geografiche? TRATTAMENTO Area 1 Area 2 Area Totale Media Totale generale n=17 Media generale 3.08 H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 i tre trattamenti hanno stessa media, danno la stessa risposta HA: non tutte le µ k sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa

35 Variabile risposta = contenuto nucleare di DNA in pg Variabile trattamento = area geografica diversa Unità sperimentali = singoli animali misurati Alfa = 0.05 Gradi di libertà totali =n-1= 17-1= 16 Gradi di libertà tra trattamenti = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà entro trattamenti = n-k = 17-3 = 14 F critico per 2gdl al numeratore / 14 gdl al denominatore = 3.74 Assunzioni: INE Randomizzazione:??

36 SOMMA QUADRATI scarti dalla media al quadrato Totale SST = (2.98*2.98)+(3.15*3.15)+ (3.12*3.12) - (52.34*52.34)/17 SST = tra trattamenti SSA= (18.72*18.72)/6+(15.31*15.31)/5+.- (52.34*52.34)/17 SSA= entro trattamenti SSW= SST-SSA SSW= Tavola di analisi fonte varianza SS g.l MS R.V. somma quadrati gradi di libertà media quadratica rapporto di varianze Tra trattamenti Entro trattamenti Totale RV- F è minore di F critico 3.73 per alfa = 0.05,2/14 gradi di libertà quindi non rifiutiamo H0 rifiutiamo HA quindi non sussistono differenze ei trattamenti, non ci sono differenze in DNA content negli animali delle tre aree diverse Analisi varianza: ad un fattore Analisi Dati con Excel RIEPILOGO Gruppi Conteggio Somma Media Varianza Colonna Colonna Colonna ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività Tra gruppi In gruppi F crit Totale