Mann-Whitney esercizio 1 Non n esposti esposti

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1 Mann-Whitney esercizio 1 L inalazione prolungata di ossido di cadmio riduce la concentrazione di emoglobina? E stata misurata la concentrazione di emoglobina in gr/dl in 15 soggetti esposti e 10 soggetti non esposti all ossido di cadmio, i valori sono riportati nella tabella. Poni alfa=0.05 Non n esposti esposti Poniamo che le condizioni dell esperimento non soddisfino le assunzioni per un test di ipotesi parametrico differenza medie, ovvero che a fronte di una numerosità ridotta (n<30) dei casi la distribuzione della variabile misurata non sia risultata normale.

2 Ipotesi H0= M esposti M non esposti Ovvero U calcolato U critico per n=15, m=10 alfa= U critico= 45 HA= M esposti < M non esposti Ovvero U calcolato < U critico per n=15, m=10 alfa= U critico= 45 Ordino le serie in maniera crescente ed applico la procedura di attribuzione dei ranghi

3 n esposti rango non esposti rango Riferendomi Al campione esposti Per la somma dei ranghi E per i valori di n Applico la formula U = S n( n +1) U= 145- (15*16)/ U = somma ranghi S= Quindi U calcolato =25 risulta < di U critico = 45; posso rifiutare H0 per un alfa =0.05, ovvero il campione di esposti ha una minore concentrazione di emoglobina rispetto ai non esposti. 2

4 Mann-Whitney esercizio 2 E stato effettuato un confronto fra due piccoli campioni di soggetti maschi (n=6) e femmine (n=7) che frequentano un centro nutruzionale valutando il grado di obesità ricavato dal BMI body mass index, e corrispondenti a: 0= normopeso, 1= soprappeso, 2 = obesità lieve, 3= obesità media, 4=obesità grave. I dati relativi al livello di obesità sono risultati i seguenti: n grado obesità femmine grado obesità maschi E possibile affermare che le femmine del campione hanno un livello inferiore di obesità rispetto ai maschi? Alfa =0.05 ( U critico = 9)

5 Il disegno dello studio non soddisfa le condizioni di un test di ipotesi parametrico, ad esempio un test t di Student differenza medie, in quanto la variabile è misurata sotto scala ordinale, le dimensioni del campione sono molto ridotte (< 30), la distribuzione originaria delle variabili non è gaussiana normale è quindi necessario ricorrere ad un test non parametrico come il test Mann-Whitney per il quale le assunzioni: i due campioni di dimensione n ed m sono casuali ed indipendenti la scala di misurazione è almeno ordinale la variabile di interesse è continua (anche se misurata sulla scala ordinale sono soddisfatte

6 Ipotesi H0= M femmine M maschi Ovvero U calcolato U critico per n=7, m=6 alfa= U critico= 9 HA= M femmine < M maschi Ovvero U calcolato < U critico per n=7, m=6 alfa= U critico= 9 Ordino le serie in maniera crescente ed applico la procedura di attribuzione dei ranghi n femmine rango maschi rango Riferendomi Al campione femminile Per la somma dei ranghi E per i valori di n Applico la formula U = S U= 41- (7*8)/ U = sommaranghi S= 41 Quindi U calcolato =13 non risulta < di U critico = 9, ma risulta > e non posso rifiutare H0, ovvero il campione di femmine non ha grado di obesità inferiore dei maschi. Fatelo con Ha M maschi > M femmine n( n +1) 2

7 Mann-Whitney esercizio 3 E stata studiata la reazione allergica in seguito ad esposizione con antigene di gramigna in due piccoli gruppi di soggetti: normali ed asmatici, a livello di permeabilità cellulare delle vie aeree periferiche. Viene misurata la percentuale di liquido prelevato in seguito a BAL (lavaggio bronco alveolare. I dati sono i seguenti: Soggetti asmatici Soggetti normali n I soggetti asmatici sono meno sensibili all antigene ovvero producono meno liquido dei soggetti normali? Poni alfa=0.05 U critico (per n= 7 m= 10 alfa= 0.05) = 18 Poniamo che le condizioni non soddisfino le assunzioni per un test di ipotesi parametrico differenza medie, ovvero che a fronte di una numerosità ridotta (n <30) dei casi la distribuzione della variabile misurata non sia risultata normale, inoltre la variabile ha una misurazione a livello discreto.

8 Ipotesi H0= M asmatici M normali Ovvero U calcolato U critico per n=7, m=10 alfa= U critico= 18 HA= M asmatici < M normali Ovvero U calcolato < U critico per n=7, m=10 alfa= U critico= 18 Ordino le serie in maniera crescente ed applico la procedura di attribuzione dei ranghi n asmatici rango normali rango Riferendomi Al campione asmatici Per la somma dei ranghi E per i valori di n Applico la formula n( n + 1) U = S U = (10 x11)/ U = somma ranghi S= Quindi T calcolato =10.5 risulta < di U critico = 18; posso rifiutare H0, ovvero il campione di asmatici è meno sensibile all antigene e secerne meno liquido rispetto ai soggetti normali

9 Se l esercizio mi avesse chiesto invece se la quantità di liquido prodotto dei soggetti normali fosse stata maggiore di quella dei soggetti asmatici dovevamo impostare le ipotesi: H0 = M normali M asmatici ovvero U calcolato normali U (1-alfa) critico HA= M normali > M asmatici ovvero U calcolato normali > U (1-alfa) critico U (1-alfa) critico = (n x m )- U critico (alfa) Ovvero n=7, m=10 alfa=0.05 U critico alfa = U (1-alfa) critico= (7 x10) -18= 52 Il calcolo della statistica U riferita ai soggetti normali risulta : S (somma ranghi soggetti normali) = 87.5 U calcolato normali = S (normali) - per n = 7 U calcolato normali = 87.5 (7 x 8)/2 = Quindi U calcolato normali > U (1-alfa) critico ovvero 59.5> 52 E quindi rifiuto H0 n( n + 1) 2 La procedura è però più laboriosa e si preferisce impostare con Ha M1 < M2

10 Se l esercizio m avesse chiesto invece se la quantità di liquido prodotto dei soggetti normali fosse diversa da quella dei soggetti asmatici si dovevano impostare le ipotesi: H0 = M normali = M asmatici HA= M normali M asmatici ovvero rifiuto H0 se il U calcolato per i soggetti normali è < minore di U critico (alfa/2) per n= 7 m=10 alfa/2 = U(alfa/2) = 15 > maggiore di U critico (1-alfa/2) per n= 7 m=10 ((n xm Tcritico (alfa/2) U (1-alfa/2) = Quindi U calcolato normali = maggiore > di U (1-alfa/2) = 55 rifiuto H0. La procedura è però più laboriosa e si preferisce impostare con Ha M1 < M2