Statistica - Prova scritta - 23 luglio 2015 (A) Le risposte prive di adeguata motivazione non saranno prese in considerazione

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1 Statistica - Prova scritta - 23 luglio 2015 (A) Le risposte prive di adeguata motivazione non saranno prese in considerazione 1. La durata di una lampadina è una variabile aleatoria normale di media 10,3 e deviazione standard 2,8. a) Quale percentuale di lampadine supera i 12 anni? b) Quale percentuale di lampadine è inferiore a 11 anni e superiore a 9 anni? c) L azienda locale produttrice afferma che i 2/5 delle lampadine ha una vita inferiore a x. Determinare il valore di x. d) Determinare l intervallo centrato sulla media su cui insiste il 60% dell area sotto la curva. e) (10 CFU) Costruire il box-plot per la variabile aleatoria durata della lampadina. Sol.: a) La durata delle lampadine è una v.a. normale 10.3;2.8. Pertanto per trovare la percentuale di lampadine che supera i 12 anni, è necessario calcolare >12 = >.. =1 <0.61 = = b) La percentuale di lampadine inferiore a 11 anni è data da <11, quella superiore a 9 anni è data da >9. Pertanto va calcolata 9< <11 =. < <. = < <0.25 = = c) I 2/5 delle lampadine rappresentano il 40% delle lampadine prodotte. Quindi il 40% delle lampadine prodotte ha una vita inferiore a x, ossia < =0.40. Standardizzando, si ha <. =0.40. Il percentile corrispondente al 40% di una gaussiana standard è., = Posto. = 0.25 si ha = =9.6.. d) Per determinare l intervallo centrato sulla media su cui insiste il 60% dell area sotto la curva, bisogna trovare l intervallo 10.3 ;10.3+ tale che 10.3 < <10.3+ =0.60. L area esterna all intervallo è 0.40, divisa in 0.20 per ogni coda, ossia <10.3 =0.20 e <10.3+ =0.80. Standardizzando si ha =.. = 0.84 e =.. =0.84. Pertanto = =2.352 e gli estremi dell intervallo cercato sono 7.948; e) Per una gaussiana standard, i quartili sono. = 0.67;. =0;. =0.67. Usando la trasformazione lineare = si ha. = =8.424;. = 10.3;. = = L intervallo interquartile è =3.752, pertanto il minimo ed il massimo della scatola vanno fissati a =2.796 e =

2 2. Si consideri la seguente distribuzione relativa ad un insieme di aziende, del medesimo settore, classificate in base al fatturato (in milioni di euro) e alla forma giuridica. Fatturato (Y) Forma Giuridica (X) Az.Individuale S.n.c S.a.S S.p.A a) Determinare le medie parziali del fatturato (secondo la forma giuridica dell azienda). b) Rappresentare graficamente la distribuzione marginale del fatturato e determinarne la mediana. c) Calcolando la media generale dalle medie parziali di cui al punto a), si ottiene lo stesso risultato che calcolando la media del fatturato dalla distribuzione marginale? Motivare la risposta. d) Calcolare la varianza del fatturato. e) Misurare la dipendenza tra i due fattori. f) Si determini qual è la probabilità che una azienda estratta a sorte abbia un fatturato tra 5-10 (milioni di euro) e sia di tipo S.n.c. g) Si determini qual è la probabilità che avendo estratto a caso un azienda individuale, questa abbia un fatturato tra (milioni di euro). Cosa significa il risultato ottenuto? h) Si determini qual è la probabilità che avendo scelto un azienda a caso con un fatturato tra i (milioni di euro), questa sia S.a.S. i) (a.a. precedenti 2014/2015) (per 8 CFU svolgere l esercizio usando un intervallo di confidenza) Stabilire se le percentuali di aziende individuali tra quelle con reddito tra 3-5 e di aziende S.n.c. tra quelle con un reddito 5-10 sono paragonabili. Sol: a) Trattandosi di classi di modalità, è necessario calcolare i centri delle classi, ossia 4; 7.5; 15; 30. Pertanto risulta. = =

3 = = = = =10.38 =25.05 b) La distribuzione marginale del fatturato corrisponde alla riga Totale nella tabella sottostante. Fatturato (Y) Forma Giuridica (X) Az.Individuale S.n.c S.a.S S.p.A Totale Distr. Freq Una possibile rappresentazione grafica è La mediana appartiene alla classe [5-10], poiché la funzione di ripartizione empirica è tale che 5 =0.25 e 10 =0.55. La formula da usare è = con =,,,, = 0.83 ossia =9.15. c) La media del fatturato è = = La media delle medie parziali è = I due valori sono diversi poiché calcolati con formule che teoricamente non sono uguali. a) La varianza del fatturato è

4 = =1.996 b) Per misurare la dipendenza dei due fattori è necessario calcolare l indice di Cramer. La tabella delle frequenze attese qualora i due fattori fossero indipendenti è Fatturato (Y) Forma Giuridica (X) Az.Individuale S.n.c S.a.S S.p.A La tabella delle (frequenze attese-frequenze osservate) è Fatturato (Y) Forma Giuridica (X) Az.Individuale S.n.c S.a.S S.p.A La tabella delle (frequenze attese-frequenze osservate)/frequenze attese è Fatturato (Y) Forma Giuridica (X) Az.Individuale S.n.c S.a.S S.p.A La tabella delle {(frequenze attese-frequenze osservate)/frequenze attese}^2 è Fatturato (Y) Forma Giuridica (X) Az.Individuale S.n.c S.a.S S.p.A La tabella delle {(frequenze attese-frequenze osservate)/frequenze attese}^2 frequenze congiunte è

5 Fatturato (Y) Forma Giuridica (X) Az.Individuale S.n.c S.a.S S.p.A La somma dei valori in tabella è L indice di Cramer è ,3 =0,494 c) La percentuale di aziende con un fatturato tra 5-10 (milioni di euro) e di tipo S.n.c. è pari a 31/200. d) Sia A l evento l azienda estratta è di tipo individuale e B l evento l azienda estratta ha un fatturato tra (milioni di euro). E necessario calcolare = =0. Il verificarsi dell evento A esclude che si possa verificarsi l evento B. e) Sia A l evento l azienda estratta è di tipo S.a.S. e B l evento l azienda estratta ha un fatturato tra (milioni di euro). E necessario calcolare = = / / =0.04. f) (a.a. precedenti 2014/2015) (per 8 CFU svolgere l esercizio usando un intervallo di confidenza) Stabilire se le percentuali di aziende individuali tra quelle con reddito tra 3-5 e di aziende S.n.c. tra quelle con un reddito 5-10 sono paragonabili. Intervallo di confidenza: la percentuale di aziende individuali tra quelle con reddito tra 3-5 è = =0.7, mentre la percentuale di aziende S.n.c. tra quelle con reddito tra 5-10 è = = L intervallo di confidenza risulta essere: / dove = =0.18; =1.96; Sostituendo i valori, l intervallo di confidenza risulta essere ;0.36. =0.0042; = Test di ipotesi: E necessario testare l ipotesi : = :. La regione di accettazione del test risulta ± / 1 + dove = = =0.6 e + = + = Poiché =0.183 = 0.184;0.184 l ipotesi nulla non si rigetta. 3. La tabella seguente riporta la distribuzione della popolazione residente nella regione Lazio di 6 anni e oltre per titolo di studio nell anno 1999.

6 Titolo di studio Popolazione Nessun titolo, licenza elementare Licenza media Qualifica professionale Maturità Diploma universitario, laurea e dottorato Totale a) Di che tipo di dati si tratta? b) Calcolare le frequenze relative e le frequenze cumulate. c) Effettuare un grafico a torta. d) Quali indici di posizione possono essere calcolati? Determinarli. e) Quali indici di variabilità possono essere calcolati? Determinarli. f) Che percentuale di popolazione ha conseguito un titolo che consente l accesso al Diploma universitario, laurea o dottorato? g) Quale percentuale di popolazione non ha un titolo che consente l accesso al Diploma universitario, laurea o dottorato? Sol: a) Sono dati qualitativi ordinali. b) Le frequenze relative e quelle cumulate sono riportate in tabella: Titolo di studio Popolazione Freq. Freq.Cumul Freq. Rel.^2 Rel. rel. Nessun titolo, licenza elementare Licenza media Qualifica professionale Maturità Diploma universitario, laurea e dottorato Totale c)grafico a torta:

7 d) E possibile calcolare la moda, corrispondente a Maturità (valore piu alto delle frequenze), e la mediana, corrispondente a Licenza Media ( /2= ). e) L indice di Gini è pari a 1-somma delle frequenze relative^2= f) La percentuale di popolazione che ha conseguito un titolo che consente l accesso al Diploma universitario, laurea o dottorato è data da ( )/ = (per qualifica professionale si intende chi ha un diploma di istituto tecnico). g) La percentuale di popolazione che non ha un titolo che consente l accesso al Diploma universitario, laurea o dottorato è ( )/ = La seguente tabella si riferisce ai prezzi al consumo ISTAT settembre a) (a.a. 2014/ CFU) Spiegare il significato dei numeri indici (escluso l ultimo). b) (a.a. precedenti 2014/2015) Spiegare il significato di variazioni % c) (per tutti) Riportare su un grafico le variazioni % e commentare il grafico. Sol: a) NIC= misura l inflazione a livello dell intero sistema economico. FOI=misura i consumi di quelle famiglie che fanno capo a un lavoratore dipendente in settori extra-agricoli. IPCA=indice economico a livello europeo. b) Le variazioni rappresentano una misurazione di quanto l indice sia aumentato o diminuito. Ad esempio l indice 2,1 significa che l indice riferito a Settembre 2012 è aumentato rispetto all indice riferito ad Agosto Infatti applicando la formula della variazione si ha 100=2.1. Poiché IPCASet12=118,9, è possibile ricavare IPCAAgo12 come. 100= IPCAAgo12 e quindi.. 100=116.4= 12. Da qui si evidenzia che l indice ad Agosto è inferiore a quello di Settembre. c) Per rappresentare i dati, si usa una serie storica. Ossia

8 4 3,5 3 2,5 2 1,5 Var1 Var2 1 0,5 0 NIC FOI IPCS IPCSconst

9 Statistica - Prova scritta - 23 luglio 2015 (B) Le risposte prive di adeguata motivazione non saranno prese in considerazione 1. (per 8 CFU svolgere l esercizio usando un intervallo di confidenza) Il titolare di un negozio di articoli sportivi, ai fini della pianificazione del personale, vuole sapere se c è una forte evidenza empirica che il martedì le vendite siano superiori a quelle del sabato. Si estraggono due campioni indipendenti di vendite nei due giorni della settimana, entrambi di ampiezza uguale a 25. Dal primo campione (le vendite del martedì) si ottiene una media delle vendite pari a 1078 ed una deviazione standard uguale a 633. Dal secondo campione (le vendite del sabato) si ottiene una media di 908,2 ed una deviazione standard pari a 469,8. Si assume che le due popolazioni si distribuiscano normalmente e che le due varianze, pur incognite, siano uguali. a) Quanto vale l ammontare delle vendite? b) Quanto vale la varianza campionaria delle vendite? c) Si calcoli la probabilità che la variabile aleatoria media campionaria per il primo campione assuma un valore superiore alla media campionaria calcolata sul secondo campione. d) Determinare il terzo quartile sia per la media campionaria delle vendite del martedì che per la media campionaria delle vendite del sabato. e) (per 8 CFU svolgere l esercizio con un intervallo di confidenza) Al livello di significatività α=0,05 verificare se c è sufficiente evidenza empirica per concludere che le vendite medie del martedì superano quelle del sabato. f) (10 CFU) Quale dovrebbe essere la taglia del primo campione se si vuole che la media campionaria della popolazione differisca da quella vera meno di 0,01 con probabilità 75%, assumendo che la varianza della popolazione sia 650? Sol: a) Poiché la media campionaria delle vendite del martedì è pari al rapporto tra l ammontare delle vendite e la taglia 25, allora l ammontare delle vendite del martedì è pari a Analogo discorso per l ammontare delle vendite del sabato, che dunque vale 908,2 25. Pertanto l ammontare totale risulta essere ,2 25= b) Poiché le vendite del martedì e del sabato sono indipendenti, allora la varianza campionaria delle vendite è data dalla somma delle varianze campionarie, ossia ,8 = c) Si tratta di calcolare > Poiché la media campionaria delle vendite del martedì è 1078;633, allora >. = > 1.34 = = d) Per determinate il terzo quartile sia per la media campionaria delle vendite del martedì che per la media campionaria delle vendite del sabato, usiamo la trasformazione =1078+ da cui risulta,. = = = e la trasformazione = da cui risulta,. = = =

10 e) Test di ipotesi: E necessario testare l ipotesi : = : >. La regione di accettazione del test risulta, ; + dove =. =310700,5 e + = =0.04 e ;. ; = Pertanto la regione di accettazione risulta essere ; e poichè =169.8, l ipotesi nulla non si rigetta. f) Per rispondere al quesito è necessario determinare il valore della taglia tale che < 0.01 =0.75, ossia 650/ < / =0.75. L area al di fuori delle due curve è =0.25 che suddivisa in due restituisce Pertanto per. trovare il valore della taglia si pone = /. =1.15 ossia =. = In un esperimento casuale un dado viene lanciato una volta. Si definiscono gli eventi: A = si presenta un numero pari ; B = si presenta un numero inferiore a 3. Determinare: a) l insieme degli eventi elementari che danno luogo ad B e la probabilità che si verifichi A; b) l insieme degli eventi elementari che danno luogo all intersezione di A e B; c) l insieme degli eventi elementari che danno luogo all unione di A e B; d) la probabilità che si verifichi A dato che si è verificato B; e) si assuma che uno scommettitore vinca due euro se si verifica l evento A, vince 1 euro se si verifica l evento B e vince la somma delle due puntate, se si verifica l intersezione. Caratterizzare media e varianza della v.a. vincita/perdita. Sol: a) Risulta = 1,2 = 2,4,6. Pertanto =0.5. b) Risulta = 2. c) Risulta = 1,2,4,6. d) Risulta = = / =0.5 / e) La distribuzione di probabilità risulta essere Prob. Prob. 3/6 2/6 1/6 Pertanto la media risulta essere = = 1.84 e = = Una certa società, dopo una ricerca di personale qualificato per una posizione di responsabile all estero, ha ricevuto 15 curriculum vitae da cittadini sia italiani che stranieri (vedi tabella). a) E possibile calcolare le frequenze relative cumulate per tutte le variabili? (In caso negativo, motivare la risposta con un esempio).

11 b) Se nel database viene inserito il curriculum di un aspirante di età pari a 40 anni, a quale percentile si colloca? c) Valutare se almeno il 20% accetterebbe l impiego qualora gli venisse offerto un reddito mensile pari a 1525Euro. d) Che percentuale di popolazione ha un numero di anni di esperienza lavorativa maggiore di 10 e di età inferiore a 45 anni? e) Che percentuale di popolazione ha un numero di anni di esperienza lavorativa maggiore di 10 o di età inferiore a 45 anni? f) Valutare la asimmetria della variabile Età (esplicitare la formula usata). g) Se si standardizza la variabile Livello minimo di reddito desiderato, quale valore assumono la media e la varianza? h) E possibile affermare che la variabile Cittadinanza ha un elevata eterogeneità? i) Misurarne la concentrazione della variabile Livello minimo di reddito e rappresentare la corrispondente curva di Lorenz (usare le classi [0,8;1,5);[1,5;2,2);[2,2;2,9);[2,9;3,5)). j) (10 CFU) E possibile affermare che l età è equidistribuita? k) Costruire una distribuzione di frequenze doppia per le variabili Genere e Cittadinanza. l) E possibile affermare che tra le variabili Livello minimo di reddito ed Anni di esperienza esiste un legame lineare negativo? m) L età media delle unità statistiche è maggiore di 30? n) Rappresentare graficamente il carattere Cittadinanza. o) Costruire un box-plot per la variabile Livello minimo di reddito. Ci sono valori anomali? genere età cittadinanza Livello minimo di reddito desiderato Anni di esperienza lavorativa M 28 Italiana M 34 Inglese F 46 Belga M 26 Spagnola F 37 Italiana F 29 Spagnola M 51 Francese F 31 Belga F 39 Italiana M 43 Italiana F 58 Italiana F 44 Inglese F 25 Francese M 23 Spagnola F 52 Italiana Sol: a) No. Alcune variabili sono nominali, ad esempio genere. b) Si tratta di calcolare 40 =. =.

12 c) Per rispondere a questo quesito, è necessario valutare se il numero di persone con un reddito uguale o inferiore a 1525Euro rappresenta il 20% della popolazione. Tali persone sono 6, quindi la percentuale è 6/15=0.4. Quindi la risposta è sì. d) La percentuale di popolazione che ha un numero di anni di esperienza lavorativa maggiore di 10 e di età inferiore a 45 anni è 4/15. Infatti tali coppie sono (37;15); (39;13); (43;20); (44;23). e) La percentuale di popolazione che ha un numero di anni di esperienza lavorativa maggiore di 10 o di età inferiore a 45 anni è il 100%. Infatti tutte le coppi soddisfano questo criterio. f) Valutare la asimmetria della variabile Età (esplicitare la formula usata). E necessario confrontare la distanza tra massimo dei dati e mediana vs mediana e minimo dei dati. La mediana si colloca al posto 16 0,5=8 quindi è il dato 37. Pertanto le due distanze sono 52-37=15 vs 37-28=9. C è una coda destra. g) I valori di un campione casuale standardizzato sono 0 e 1. h) Per rispondere al quesito è necessario calcolare l indice di eterogeneità di Gini. Ossia ~ Cittadinanza Freq.assolute Freq.relative Freq.rel^2 Italiana Inglese Belga Spagnola Francese Totale da cui l indice risulta essere = i) Per calcolare il rapporto di concentrazione è necessario applicare la seguente formula: ossia completare la seguente tabella: classi freq Centri (0.8;1.5) (1.5;2.2) (2.2;2.9) (2.9;3.5) Effettuando i conti, il valore di R è La curva di concentrazione di Lorentz è:

13 1,5 1 0, ,4 0,733 0,933 1 g) Per affermare che l età è equi-distribuita è possibile effettuare un test di Kolmogorov-Smirnov, usando come distribuzione teorica quella uniforme tra 23 e 68, cha ha funzione di ripartizione Si ha = dati Empirica Teorica Diff Poiché il quantile è > 0.17, allora l ipotesi di equidistribuzione non si rigetta. h) La distribuzione doppia è Italiana Inglese Belga Spagnola Francese M F Totale l) Per il calcolo del coefficiente di correlazione risulta

14 dati X dati Y stand X stand Y prod 2,3 2 0, , , ,6 8-0, , , ,2 21-0,8178 0, , ,9 1-1,2313-1, , ,1 15 0, , , ,6 3-0, , , ,8 28 0, , , ,4 5-0, ,736 0, ,2 13-0,8178-0, , ,8 20 1, , , ,4 32 2,2145 1, , ,7 23 1, , , ,6 1-0, , , ,2 0-0,8178-1,1741 0, ,1 29-0, , ,30622 media 1, ,4 6, dev. st. 0, , , Il coefficiente di correlazione è 0,455. m) L età media è 37.73, maggiore di 30. n) Il diagramma a barre è: italiana inglese belga spagnola francese o) Per calcolare il box-plot è necessario individuare le posizioni dei dati, ossia =4 per il primo quartile; =8 per il secondo quartile; =12 per il terzo quartile. Pertanto i dati sono: = =1.2; = =1.6; = =2.3. L intervallo interquartile è IQR= =0.9. Pertanto i baffi del box-plot vanno messi a = 0.15 ossia 0, trattandosi di dati positivi e =3.65.

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