CAPITOLO 6 Il piano fattoriale 2 k

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1 Douglas C. Montgomery Progettazione e analisi degli esperimenti 2006 McGraw-Hill CAPITOLO 6 Il piano fattoriale 2 k Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain Il Piano Fattoriale 2 k Il piano 2 2 Il piano 2 3 Il piano generale 2 k Il piano 2 k con una sola replicazione L aggiunta dei punti centrali al piano 2 k

2 Il piano fattoriale 2 2 Il livello alto e il livello basso dei fattori sono indicati rispettivamente con + e - Basso e alto sono nomi arbitrari Geometricamente, le quattro prove formano gli angoli del quadrato I Fattori possono essere quantitativi o qualitativi, sebbene la loro trattazione nel modello finale possono essere diversi Esempio Processo Chimico A = concentrazione reagente B = quantità catalizzatore Y = resa

3 Procedura di Analisi per un Piano Fattoriale Stima degli effetti dei fattori Creazione del modello iniziale Con replicazione: usare il modello completo Con una sola replicazione di piano: usare il grafici di probabilità normale Test statistici (ANOVA) Messa a punto del modello Analisi dei residui (graficamente) Interpretazione dei risultati Stima degli effetti dei fattori A= y y ab + a b + (1) = 2n 2n = [ ab + a b (1)] 1 n ab + b a + (1) = 2n 2n = [ ab + b a (1)] 1 n ab + (1) a + b AB = 2n 2n = [ ab + (1) a b] 1 n + A A B= y y + B B Vedere il libro a pag. 248 Per i calcoli manuali Gli effetti stimati sono: A = 8.33, B = -5.00, AB = 1.67 Interpretazione pratica? Analisi Design-Expert

4 Stima degli effetti dei Fattori Term Effect SumSqr % Contribution Model Intercept Model A Model B Model AB Error Lack Of Fit 0 0 Error P Error Lenth's ME Lenth's SME Test Statistici: tabella ANOVA Response:Conversion ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model A < B AB Pure Error Cor Total Std. Dev R-Squared Mean Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision

5 Stima puntuale e intervallare dei parametri Coefficient Standard 95% CI 95% CI Factor Estimate DF Error Low High VIF Intercept A-Concent B-Catalyst AB Modello finale Response:Conversion ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < A < B Residual Lack of Fit Pure Error Cor Total Std. Dev R-Squared Mean Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision

6 Controlli Diagnostici e Residui Conversion Normal plot of residuals Conversion Residuals vs. Predicted Normal % probability Residuals Residual Predicted Superficie di Risposta t Conversion n B: Catalyst Conversion A: Concentration B: Catalyst A: Concentration 15.00

7 Il Piano Fattoriale 2 3 Effetti nei Piani Fattoriali 2 3 A= y y A B C + B = y y C = y y etc, etc,... A + B + C Analisi fatta via computer

8 Esempio di un Piano Fattoriale 2 3 A = carbonatazione, B = pressione, C = velocità, y = scarto riempimento Tabella dei segni algebrici ( e +) per calcolare gli effetti nel piano fattoriale 2 3 (pag. 258) Factorial Effect Treatment Combin. I A B AB C AC BC ABC (1) = a = b = ab = c = ac = bc = abc = Contrast Effect

9 Proprietà della Tabella Tranne la colonna I, ogni colonna ha un egual numero di segni + e La somma dei prodotti dei segni in ogni coppia di colonne è zero La colonna I moltiplicata per ogni colonna lascia tale colonna inalterata (I elemento identità) Il prodotto di una qualunque coppia di colonne produce una colonna presente nella tabella: A B= AB 2 AB BC = AB C = AC Piani Ortogonali L ortogonalità è un importante proprietà per tutti i piani fattoriali Stima degli effetti dei Fattori Term Effect SumSqr % Contribution Model Intercept Error A Error B Error C Error AB Error AC Error BC Error ABC Error LOF 0 Error P Error Lenth's ME Lenth's SME

10 Riassunto ANOVA Modello Completo Response:Fill-deviation ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model A < B C AB AC BC ABC Pure Error Cor Total Std. Dev R-Squared Mean 1.00 Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision Coefficienti Modello Completo Coefficient Standard 95% CI 95% CI Factor Estimate DF Error Low High VIF Intercept A-Carbonation B-Pressure C-Speed AB AC BC ABC

11 Messa a Punto del Modello-Rimozione dei Fattori non Significativi Response: Fill-deviation ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < A < B C AB Residual LOF Pure E C Total Std. Dev R-Squared Mean 1.00 Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision Coefficienti Modello Stima puntuale e intervallare Coefficient Standard 95% CI 95% CI Factor Estimate DF Error Low High Intercept A-Carbonation B-Pressure C-Speed AB

12 Modello Statistico Completo (pag. 264) R 2 e R 2 corretto (Adj) R R 2 2 Adj SSModel = = = SS T SSE / dfe 5.00/8 = 1 = 1 = SS / df /15 T T R 2 prediction (basato sulla statistica PRESS) R 2 Pred PRESS = 1 = 1 = SS T Modello Statistico Completo (pag. 264) Errore standard di ciascun coefficiente 2 ˆ ˆ σ MSE se( β) = V ( β) = = = = 0.20 k k n2 n2 2(8) Intervalli di confidenza per ciascun coefficiente di regressione ˆ β t se( ˆ β) β ˆ β + t se( ˆ β) α/2, df α/2, df E E

13 ModellodiRegressione Final Equation in Terms of Coded Factors: Fill-deviation = * A * B * C * A * B Final Equation in Terms of Actual Factors: Fill-deviation = * Carbonation * Pressure * Speed * Carbonation * Pressure I Grafici dei Residui sono Soddisfacenti Fill-deviation Normal plot of residuals Normal % probability Studentized Residuals

14 Interpretazione del Modello Fill-deviation X = A: Carbonation Y = B: Pressure B B Actual Factor C: Speed = Fill-deviation Interaction Graph B: Pressure Misura dell interazione tra il livello di carbonatazione e la pressione A: Carbonation Interpretazione del Modello Fill-deviation X = A: Carbonation Y = B: Pressure Z = C: Speed B: Pressure B Cube Graph Fill-deviation I grafici a cubo sono spesso usati per visualizzare graficamente i 1.88 C+ risultati degli C: Speed esperimenti B C- A- A+ A: Carbonation

15 Superficie di risposta rappresentata mediante linee di livello con velocità di livello alto Fill-deviation X = A: Carbonation Y = B: Pressure Design Points Actual Factor C: Speed = B: Pressure Fill-deviation Fill-deviation A: Carbonation B: Pressure A: Carbonation Il Piano Generale 2 k Paragrafo 6-4, pag. 269, Tabella 6-9, pag. 271 Il modello potrebbe comprendere k effetti principali, e k interazioni a due fattori 2 k interazioni a tre fattori 3 M 1 interazioni a k fattori

16 Il piano 2 k con una sola replicazione Questi sono piani fattoriali 2 k con una prova ad ogni angolo del cubo Il piano 2 k con una sola replicazione è anche a volte chiamato fattoriale non replicato del piano 2 k Questi piani sono ampiamente usati Rischio se c è una sola prova ad ogni angolo, c è la possibilità di conclusioni fuorvianti Principio della rarità degli effetti Spaziatura tra i Livelli del Fattore su un Piano 2 k Non Replicato Se la distanza tra i livelli del fattore aumenta, cresce la possibilità che le fluttuazioni aleatorie coprano i veri effetti del segnale Aumentare decisamente la distanze è buona pratica

17 Il piano 2 k con una sola replicazione Mancanza di replicazione causa potenziali problemi nei test statistici Una replicazione può rendere valida una stima di errore puro (stime interne dell errore) Senza replicazione, il modello completo risulta avere zero gradi di libertà per l errore Possibili soluzioni a questo problema Uso comune di certe interazioni di ordine elevato per stimare l errore Grafico di probabilità normale degli effetti (Daniel, 1959) Altri metodi vedere il testo, pag. 283 Esempio di un piano 2 k con una sola replicazione Un piano 2 4 viene condotto per studiare gli effetti di quattro fattori che influiscono sulla filtrazione della resina I fattori sono A = temperatura, B = pressione, C = concentrazione di formaldeide, D = velocità di mescolamento L esperimento viene condotto in un impianto pilota

18 L Esperimento della Resina L Esperimento della Resina

19 Stima degli Effetti Term Effect SumSqr % Contribution Model Intercept Error A Error B Error C Error D Error AB Error AC Error AD Error BC Error BD Error CD Error ABC Error ABD Error ACD Error BCD Error ABCD Lenth's ME Lenth's SME Grafico della Probabilità Normale degli Effetti Filtration Rate Normal plot A: Temperature B: Pressure C: Concentration D: Stirring Rate A Normal % probability C AD D 5 AC Effect

20 Grafico di Probabilità Semi - Normale Filtration Rate Half Normal plot A: Temperature B: Pressure C: Concentration D: Stirring Rate Half Norm al % probability C D AD AC A Effect Riassunto ANOVA del Modello Response:Filtration Rate ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob >F Model < A < C D < AC < AD < Residual Cor Total Std. Dev R-Squared Mean Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS Adeq Precision

21 Modello di Regressione Final Equation in Terms of Coded Factors: Filtration Rate = * Temperature * Concentration * Stirring Rate * Temperature * Concentration * Temperature * Stirring Rate I Grafici dei Residui sono Soddisfacenti Filtration Rate Normal plot of residuals Normal % probability Studentized Residuals

22 Filtration Rate X = A: Temperature Y = C: Concentration C C Actual Factors B: Pressure = 0.00 D: Stirring Rate = Interpretazione del Modello Interazioni Filtration Rate 104 Interaction Graph C: Concentration Filtration Rate X = A: Temperature Y = D: Stirring Rate D D Actual Factors B: Pressure = 0.00 C: Concentration = Filtration Rate 104 Interaction Graph D: Stirring Rate A: Temperature A: Temperature Interpretazione del Modello Filtration Rate X = A: Temperature Y = C: Concentration Z = D: Stirring Rate Actual Factor B : P re ssu re = 0.00 C: Concentration C Cube Graph Filtration Rate C D- A- A+ A: Temperature D+ D: Stirring Rate Se un fattore viene rimosso, il piano con una sola replicazione verrà proiettato in due repliche a 2 3 Proiettare un piano è una proprietà estremamente usata (vedere piani fattoriali frazionati)

23 Filtration Rate X = A: Temperature Y = D: Stirring Rate Actual Factors B: Pressure = 0.00 C: Concentration = Interpretazione del Modello Superficie di risposta D: Stirring Rate Filtration Rate Filtration Rate X = A: Temperature Y = D: Stirring Rate Actual Factors B: Pressure = 0.00 C: Concentration = Filtration Rate A: Temperature D: Stirring Rate A: Temperature Con la concentrazione sia al livello alto o basso, alta temperatura e alto mescolamento si stima che risulti alta la velocità di filtrazione Esperimento di Trivellazione Esempio 6.5B, pag. 285 A = carico sulla trivella, B = portata, C = velocità di rotazione, D = tipo di fango di trivellazione usato, y = velocità di avanzamento nella trivellazione

24 Stima Effetti Esperimento di Trivellazione Term Effect SumSqr % Contribution Model Intercept Error A Error B Error C Error D Error AB Error AC Error AD Error BC Error BD Error CD Error ABC Error ABD Error ACD Error BCD Error ABCD Lenth's ME Lenth's SME Grafico di Probabilità Semi Normale degli Effetti adv._rate Half Normal plot A: load B: flow C: speed D: mud Half Normal % probability D BD BC C B Effect

25 DE SIGN-EXPERT Plot adv._rate Residuals R esiduals vs. Pr edicted Predicted Grafici Residui ot Normal plot of residuals t Residuals vs. Predicted Normal % probability Residuals Residual Predicted Grafici Residui I grafici residui indicano quali sono i problemi con le assunzioni di omogeneità della varianza La consueta impostazione a questo problema è assumere una interpretazione adeguata della risposta Le trasformazioni sono ampiamente usate * y = y λ Le trasformazioni sono usualmente fatte per Omogeneizzare la varianza Portare normalità Semplificare il modello

26 Selezionare una Trasformazione Selezione Empirica di lambda Più importante (teoria) conoscenza o esperienza può spesso indicare la forma di una trasformazione Selezione Analitica di lambda: Box-Cox (1964) metodo (contemporaneamente stima i parametri del modello e il parametro lambda della trasformazione) Box-Cox metodo attuato in Design-Expert Il Metodo Box-Cox adv._rate Lambda Current = 1 Best = Low C.I. = High C.I. = 0.32 Recommend transform: Log (Lambda = 0) Ln(ResidualSS) Box-Cox Plot for Power Transforms Una trasformazione log è consigliata La procedura fornisce un intervallo di confidenza sulla trasformazione del parametro landa Se l unità è inclusa nel intervallo di confidenza, la trasformazione non è necessaria Lambda

27 Stima degli Effetti Seguendo la Trasformazione Log Ln(adv._rate) A: load B: flow C: speed D: mud Half Normal % probability Half Normal plot D C B I tre principali effetti sono grandi Niente indicazioni sulla grandezza delle interazioni degli effetti Che cosa succede alle interazioni? Effect ANOVA Seguendo la Trasformazione Log Response: adv._rate Transform: Natural log Constant: ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model < B < C < D Residual Cor Total Std. Dev R-Squared Mean 1.60 Adj R-Squared C.V Pred R-Squared PRESS 0.31 Adeq Precision

28 Seguendo la Trasformazione Log Equazione Finale Codificata in Termini di Fattori: Ln(adv._rate) = * B * C * D Seguendo la Trasformazione Log Ln(adv._rate) Normal plot of residuals Ln(adv._rate) Residuals vs. Predicted Normal % probability Residuals Residual Predicted

29 Altri Esempi di Piani 2 k con una sola replicazione Esperimento per pannelli di rivestimento (Esempio 6.5C, pag. 289) Due fattori influiscono sulla difettosità media Un terzo fattore influisce sulla variabilità I grafici sui residui sono usati per identificare gli effetti di dispersione Esperimento del forno di ossidazione (Esempio 6.5B, pag. 293) Osservazioni replicate contro ripetizioni (o duplicazioni)? Modello con all interno - prova variabilità Altri metodi per analizzare Piani Fattoriali 2 k Non Replicati Metodo di Lenth (Vedere testo, pag. 283) Metodo analitico per stimare gli effetti, usa la stima dell errore formata dalla messa in comune di piccoli contrasti Alcuni adattamenti ai valori critici nel metodo originale possono essere utili E consigliato di usarlo come supplemento all abituale grafico di probabilità normale degli effetti Carte d inferenza condizionale (pag.284 & 285)

30 L aggiunta di punti centrali del piano2 k Basato sull idea di replica di alcune prove nel piano fattoriale Prove al centro mantengono una stima di errore e permettere all esperimento di distinguere tra due possibili modelli: First-order model (interaction) y = β + β x + β x x + ε 0 0 k k k i i ij i j i= 1 i= 1 j> i k k k k 2 i i ij i j ii i i= 1 i= 1 j> i i= 1 Second-order model y = β + β x + β x x + β x + ε y F = y C no "curvature" Le ipotesi sono: SS Pure Quad H 0 1 k : β = 0 i= 1 k i= 1 ii H : β 0 ii nn F C( yf yc) = n + n Questa somma dei quadrati ha un solo grado di libertà F C 2

31 Esempio 6.6A, Pag. 303 n C = 5 Abitualmente per poter lavorare bene servono tra i 3 e i 6 punti centrali Design-Expert provvede all analisi, includendo il test - F per una vera curva quadratica ANOVA Esempio 6.6 Response: yield ANOVA for Selected Factorial Model Analysis of variance table [Partial sum of squares] Sum of Mean F Source Squares DF Square Value Prob > F Model A B AB 2.500E E Curvature 2.722E E Pure Error Cor Total Std. Dev R-Squared Mean Adj R-Squared C.V Pred R-Squared N/A PRESS N/A Adeq Precision

32 Se la curvatura è significativa, aumentare il piano con prove negli assi per creare un piano composito centrale. Il CCD è un piano molto efficace per accostare il modello di secondo - ordine Usi Pratici dei Punti Centrali (pag. 304) Usare condizioni operative correnti come punto centrale del piano Controllare se qualche condizione strana si è verificata durante l esperimento Controllare l andamento nel tempo Usare i punti centrali come alcune prove quando c è poca o non c è informazione sulla variabilità riferito alla grandezza del errore Punti centrali sono fattori qualitativi?

33 Punti Centrali e Fattori Qualitativi