INTRODUZIONE AL DESIGN OF EXPERIMENTS (Parte 2)

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1 INTRODUZION AL DSIGN OF XPRIMNTS (Parte 2) 176 Introduzione Nella precedente lezione abbiamo visto come affrontare il problema della sperimentazione in presenza di un solo fattore e due soli livelli. In questa lezione affrontiamo il medesimo problema in presenza di un solo fattore e più livelli. Progettazione e Sviluppo Prodotto 177 1

2 sempio Consideriamo un indagine per la formulazione di una nuova fibra sintetica per tessuti composta da cotone + fibre sintetiche. La variabile di risposta è la resistenza a trazione. Si vuole determinare la percentuale di cotone ottimale da aggiungere alle fibre sintetiche. Il contenuto di cotone può variare tra il 10 % ed il 40 %. Lo sperimentatore decide di studiare 5 livelli: 15 %, 20 %, 25 %, 30 % e 35 %. L esperimento è replicato 5 volte. Progettazione e Sviluppo Prodotto 178 Risultati dell esperimento La variazione della percentuale di cotone ha un effetto sulla resistenza? siste un livello ottimale? Progettazione e Sviluppo Prodotto 179 2

3 Analisi della varianza In generale, ci sono a livelli del fattore (o a trattamenti), e n repliche (prove) dell esperimento in ordine casuale (esperimento completamente randomizzato) L obiettivo è di testare le ipotesi riguardo l uguaglianza delle medie degli a trattamenti Progettazione e Sviluppo Prodotto 180 Modello ad effetti fissi. L analisi della varianza consiste nello scomporre la variabilità totale della variabile di risposta, in componenti che sono riferibili ad un modello. sistono vari modelli possibili. Uno dei più utilizzati è il modello degli effetti. i = 1,2,..., a y = µ + τ + ε ; ij i ij j = 1,2,..., n dove: y ij = risposta nell esperimento j-esimo a fronte del trattamento i-esimo; µ = media generale; τ = effetto del trattamento i-esimo; ε ij = errore sperimentale. Progettazione e Sviluppo Prodotto 181 3

4 Analisi del modello ad effetti fissi. Scomponiamo la variabilità totale del modello in due componenti: dove: a n 2 a 2 a n 2 ( y y ) = n ( y y ) + ( y y ) i = 1 j = 1 SS T = variabilità totale; ij.. i = 1 i. SS = SS + SS.. i = 1 j = 1 SS = variabilità dovuta ai trattamenti; SS = variabilità dovuta all errore; T Un alto valore di SS riflette un ampia differenza tra i trattamenti medi; Un piccolo valore di SS indica che probabilmente non ci sono differenze nelle medie dei trattamenti ij i. Progettazione e Sviluppo Prodotto 182 Ipotesi statistiche Le ipotesi statistiche formali sono: H 0 : µ 0 = µ 1 = = µ a H 1 : almeno una media è diversa Progettazione e Sviluppo Prodotto 183 4

5 Verifica delle ipotesi statistiche 1/2 Mentre le somme dei quadrati non possono essere direttamente comparate per testare l ipotesi di uguaglianza delle medie, le medie dei quadrati possono invece essere comparate. Una media dei quadrati è la somma dei quadrati divisa per i suoi gradi di libertà MS SS = a 1 SS MS = an 1 La statistica di test per verificare l ipotesi di assenza di differenza tra le medie è la F 0 : MS F = 0 MS Progettazione e Sviluppo Prodotto 184 Distribuzione F La F è dette distribuzione di Snedecor (o di Fisher). È una distribuzione continua dipendente da due parametri: d 1 e d 2 (gradi di libertà). Progettazione e Sviluppo Prodotto 185 5

6 Verifica delle ipotesi statistiche 2/2 Rifiutiamo l ipotesi nulla e concludiamo che c è differenza tra le medie della popolazione dei trattamenti se: dove: F > F, 0 α, ( a 1) N a a = numero dei livelli del fattore: n = repliche dell esperimento Progettazione e Sviluppo Prodotto 186 Come procedere se l ipotesi nulla è rifiutata L analisi della varianza testa l ipotesi di uguaglianza delle medie dei trattamenti; Se l ipotesi nulla è rifiutata, non sappiamo quali specifiche medie sono differenti; Determinare quali specifiche medie differiscono è chiamato problema dei confronti multipli; sistono varie soluzioni al problema: Test di Tukey; Metodo della minima differenza significativa di Fisher (o metodo LSD - Least Significant Difference); Test del range multiplo di Duncan Progettazione e Sviluppo Prodotto 187 6