26/01/2012 ANOVA ANALYSIS OF VARIANCE

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1 ANOVA ANALYSIS OF VARIANCE 1

2 Disegnare i box plot >> boxplot(x ) Values Column Number Y osservazioni i = 1,, a = µ + τ + ε j = 1,, n ij i ij Media comune Scostamenti dalla Media comune errore 2

3 y y y y y y livelli y y y y y y 11 1n n 2 a1 an a 1 2 Varianza campionaria di yutte le osservazioni Varianza campionaria dei trattamenti Varianza campionaria degli errori i= 1 ( ) 2 Indichiamo con SS = n y y Trattamenti a i a n ( ) 2 Indichiamo con SS = y y error ij i i= 1 j= 1 3

4 Risulta Indichiamo con MS Errore quadratico medio Trattamenti SS = ( a 1) Trattamenti Indichiamo con MS Media quadratica del trattamento Errore SSerrore = a( n 1) In Matlab c è una procedura per effettuare l ANOVA >> anova1(x') ans= e-006 IN Output If X is a matrix, ANOVA1 treats each column as a separate group, and determines whether the population means of the columns are equal. This form of ANOVA1 is appropriate when each group has the same number of elements (balanced ANOVA).

5 2 Values Notched box-plots : sono rappresentati gli intervalli di confidenza per la mediana; se si sovrappongono allora i livelli potrebbero avere la stessa mediana Column Number MS Trattamenti = SS ( a 1) Trattamenti MS Errore = SSerrore a( n 1) [P,ANOVATAB,STATS] = ANOVA1(...) returns an additional structure of statistics useful for performing a multiple comparison of means with the MULTCOMPARE function. >> [P,ANOVATAB,STATS] = ANOVA1(x') P = e-006 ANOVATAB = 'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Columns' [ ] [ 3] [ ] [ ] [3.5926e-006] 'Error' [ ] [20] [ ] [] [] 'Total' [ ] [23] [] [] [] STATS = gnames: [x1 char] n: [6 666] source: 'anova1' means: [ ] df: 20 s:

6 La tabella STATS va data in input alla function multcompare: >> [c,u]=multcompare(stats) Nell output compare Click on the group you want to test groups have means significantly different from Group 1 In basso leggiamo che gli altri 3 gruppi hanno media diversa dal primo gruppo. Se clicchiamo sul secondo gruppo. Click on the group you want to test groups have means significantly different from Group 2 Scopriamo che due gruppi (quelli in rosso) hanno media diversa da quello in blu. Il gruppo la cui media è disegnata in grigio ha la stessa media (statisticamente) del gruppo in blu. 6

7 Questa è la situazione per il terzo gruppo. Click on the group you want to test groups have means significantly different from Group 3 E questa è la situazione per il quarto gruppo. Click on the group you want to test groups have means significantly different from Group Nell outpur compaiono anche delle statistiche 7

8 >> [c,u]=multcompare(stats) c = Intervallo di confidenza al 95% di default (sipuòcambiarein input) * stima delle differenza delle medie trai due gruppi 1 e 2. u = Le medie dei sottogruppi Errori standard delle medie campionarie >> Y = µ + τ + ε N µ + τ σ e = y y N σ 2 2 ij i ij ( i, ) ij ij i (0, ) Effettuiamo il calcolo in MATLAB per l esempio. >> for j=1:6 res(*(j-1)+1:*j)=(x(:,j)-u(:,1))'; end >> normplot(res) Normal Probability Plot 0.75 Probability Data 8

9 Per effettuare il test >> res1=res/sqrt(var(res)); >>kstest(res1) ans= 0 9

10 L unica informazione in più rispetto al caso di effetti fissi risulta essere: H H σ = : τ σ > : τ Esempio: Una compagnia di manufatti tessili progetta una fabbrica con un elevato numero di telai. La compagnia vuole studiare la variabilità tra un telaio e l altro della resistenza tessile. A questo scopo vengono selezionati telai a caso e da ogni telaio campioni tessili a caso di cui viene misurata la resistenza. 10

11 Values Column Number Terminiamo con l analisi dei residui. 11

12 0.98 Normal Probability Plot Probability Data >> forj=1: res(*(j-1)+1:*j)=(x(:,j)-u(:,1))'; en >> kstest(res/sqrt(var(res))) ans= 0 12

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14 SULLE RIGHE Values Column Number Differenze tra le medie Click on the group you want to test The means of groups 1 and are significantly different 1

15 SULLE COLONNE Values Column Number Differenze tra le medie Click on the group you want to test No groups have means significantly different from Group 1 15

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17 35 Grafico delle interazioni >> plot([1,2],x(1,:),[1,2],x(2,:)) >> axis([0,3,15,35]) tempo di esecuzione 17

18 Calcolando i valori delle medie dei sottogruppi, si ha: Grafico interazioni Imm Spray effvern = 9. effarea12 = 0.9 effarea13 = effarea23 = INT12 = INT13 = 0.15 INT 23 =

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20 >> verniciatura verniciatura = >> [p,tbi,stats]=anova2(verniciatura, tempi) Questa volta il MATLAB non produce i box-plot! >> tempi=3; 20

21 Boxplot sulle righe >> fori=1:3 app1(3*(i-1)+1:3*i)=verniciatura(i,:); end >> fori=1:3 app2(3*(i-1)+1:3*i)=verniciatura(i+3,:); end >> app=[app1', app2']; >>boxplot(app,1) Values Column Number Boxplot sulle colonne Values 5.5 >> boxplot(verniciatura,1) Column Number 21

22 Superato il test delle interazioni, se si analizza il fattore riga ed il fattore colonna, l analisi va conclusa con l analisi dei residui Sulle colonne >> forj=1:6 res(3*(j-1)+1:3*j) =(verniciatura(j,:)-m)'; end >> normplot(res) >> kstest(res/sqrt(var(res))) ans= 0 Probability Normal Probability Plot Data Normal Probability Plot Probability Data >> fori=1:3 res1(3*(i-1)+1:3*i)=(verniciatura(i+3,:)-m2)'; end >> fori=1:3 res(3*(i-1)+1:3*i)=(verniciatura(i,:)-m1)'; end >> app=[res, res1] 22

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