APPLICAZIONI. Analisi della varianza multivia
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- Olimpia Guerra
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1 Douglas C. Montgomery Controllo statistico della qualità /ed 6 McGraw-Hill APPLICAZIONI Analisi della varianza multivia Insegnamento: Metodi ed Applicazioni Statistiche Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docenti: Prof. L. Salmaso, Dott. L. Corain /9 SOMMARIO Analisi della varianza multivia: modello ed assunzioni Applicazioni dell Analisi della varianza multivia e confronti multipli (Esempio -) Applicazioni dell Analisi della varianza multivia con variabile di blocco (Esempio 6) Applicazioni dell Analisi della varianza ad multivia con covariate (Esempio -8) /9
2 ANALISI DELLA VARIANZA MULTIVIA modello statistico ANOVA a fattori o a vie: i =,,..., a Yijk = µ + τ i + β j + ( τβ) ij + ε ijk j =,,..., b k =,,..., n µ è il valore atteso totale, è un parametro comune a tutti i livelli dell esperimento τ è l effetto dell i-esimo livello del fattore A i β è l effetto del j-esimo livello del fattore B j ( τβ ) ij è l effetto dell interazione tra il fattore A e il fattore B ε ijk rappresenta la componente dell errore casuale avente distribuzione Normale con media zero e varianza σ. /9 ANALISI DELLA VARIANZA MULTIVIA Modello statistico ( fattori) Numero di osservazioni totali: abcn i =,,..., a j =,,..., b Yijkl = µ + τ i + β j + γ k + ( τβ ) ij + ( τγ ) ik + ( βγ ) jk + ( τβγ ) ijk + εijkl k =,,..., c l =,,..., n Yijkl è variabile casuale che indica l ijkl esima osservazione µ è il valore atteso totale, è un parametro comune a tutti i livelli dell esperimento τ è l effetto dell i esimo livello del fattore A i β è l effetto del j esimo livello del fattore B j γ k è l effetto del k esimo livello del fattore C τβ è l effetto dell interazione tra il fattore A e il fattore B ( ) ij ( τγ ) ik è l effetto dell interazione tra il fattore A e il fattore C ( βγ ) jk è l effetto dell interazione tra il fattore B e il fattore C ( τβγ ) ijk è l effetto dell interazione tra il fattore A, il fattore B e il fattore C ε ijkl rappresenta la componente dell errore casuale avente distribuzione normale con media zero e varianza σ. /9
3 ESPERIMENTI CON PIÙ FATTORI Obiettivo verificare ipotesi riguardo gli effetti sulla media dei livelli dei fattore individuali (detti anche fattori principali) e delle loro interazioni (a due, a tre, ). Gli effetti dei fattori sono qui definiti come i parametri che rappresentano le deviazioni dalla media generale, per i quali (nel caso di fattori) devono valere i vincoli Στ i =, Σβ j =, Σ i (τ β) ij = Σ j (τ β) ij =. Le analisi inferenziali di interesse nel modello di analisi della varianza a due vie corrispondono alle verifiche d ipotesi H A : τ = =τ a = contro H A : τ i per almeno un livello i H B : β = =β b = contro H B : β j per almeno un livello j H AB : (τ β) = =(τ β) ab = contro H AB : (τ β) ij per almeno una combinazione di livelli ij /9 ESEMPIO In uno studio sui materiali di costruzione viene misurato lo stato tensionale in relazione allo stato di degrado dei mattoni e delle malte. OBIETTIVO: stabilire se il degrado dei mattoni e delle malte influenza lo stato tensionale VARIABILE RISPOSTA: stato tensionale (Mpa) FATTORI: degrado dei mattoni (SI, NO) e degrado delle malte (SI, NO) BLOCCO: NO COVARIATE: NO 6/9
4 ESEMPIO MODELLO STATISTICO: y ijk = µ + τ i + β i + (τ β) ij + ε ijk STATISTICA DESCRITTIVA: Descriptive Statistics: Mpa by Mattoni i=si,no; j=si,no;k=,, Variable Mattoni N Mean Median TrMean StDev Mpa NO SI Variable Malte N Mean Median TrMean StDev Mpa NO SI Dotplots of Mpa by Mattoni Dotplots of Mpa by Malte Mpa Mpa Mattoni NO SI Malte NO SI /9 ESEMPIO TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Mattoni fixed NO SI Malte fixed NO SI Analysis of Variance for Mpa, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Mattoni Malte Mattoni*Malte Error.6.6. Total.88 Main Effects Plot - LS Means for Mpa Interaction Plot - LS Means for Mpa Mattoni. Mattoni Malte NO SI. Mpa.6..8 Mean NO SI NO SI NO Malte SI 8/9
5 ESEMPIO CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza): Bonferroni 9.% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Mpa All Pairwise Comparisons among Levels of Mattoni*Malte Mattoni = NO Malte = NO subtracted from: Mattoni*Malte Lower Center Upper NO SI SI NO SI SI Mattoni = NO Malte = SI subtracted from: Mattoni*Malte Lower Center Upper Mattoni*Malte SI NO.88.. NO SI (*-) SI SI SI NO (-*) SI SI (*-) Mattoni*Malte SI NO (*-) -... SI SI (-*) Mattoni = SI Malte = NO subtracted from: Mattoni*Malte Lower Center Upper SI SI Mattoni*Malte SI SI (-*) /9 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: Histogram of the s (response is Mpa) Normal Probability Plot of the s (response is Mpa) Frequency Normal Score s Versus the Fitted Values (response is Mpa) s Versus the Order of the Data (response is Mpa) Fitted Value Observation Order /9
6 ESEMPIO A B Viene condotto uno studio per valutare l affidabilità di un sistema di misurazione delle caratteristiche di resistenza di un determinato metallo OBIETTIVO: studiare l eventuale effetto del macchinario e dell operatore nella misurazione della resistenza VARIABILE RISPOSTA: tensione di rottura (SR) FATTORI: macchinario (M,M,M), operatore (A,B,C) BLOCCO: NO COVARIATE: NO /9 ESEMPIO MODELLO STATISTICO: Y ijk = µ + τ i + β i + (τ β) ij + ε ijk i=m,m,m;j=a,b,c;k=, STATISTICA DESCRITTIVA: Descriptive Statistics: sr by Macchinario, Macchina Variable Macchina N Mean Median TrMean StDev sr M M M Variable Operator N Mean Median TrMean StDev sr A B C Boxplots of sr by Macchina Boxplots of sr by Operator sr 9 sr Macchinario M M M Operatore C /9 6
7 ESEMPIO TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Macchina fixed M M M Operator fixed A B C Analysis of Variance for sr, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Macchina Operator Macchina*Operator Error Total 6.68 Main Effects Plot - LS Means for sr Macchinario Operatore sr M M M A B C /9 ESEMPIO INTERACTION PLOT: Interaction Plot - LS Means for sr Macchinario M M M 9 Mean 8 A B Operatore C /9
8 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: Histogram of the s (response is sr) Normal Probability Plot of the s (response is sr) Frequency Normal Score s Versus the Fitted Values (response is sr) s Versus the Order of the Data (response is sr) Fitted Value Observation Order /9 ESEMPIO La realizzazione di miscele di cemento alle ceneri volanti (HVFA concrete) permetterebbe di ottenere un materiale per costruzioni a basso impatto ambientale, in alternativa ai classici tipi di cemento. OBIETTIVO: determinare il bilanciamento ottimale delle componenti della miscela HVFA. VARIABILE RISPOSTA: resistenza a compressione cubica (R c ) FATTORI: tipo di miscela (A,B,C,D) e tempo di maturazione della pasta di cemento (, 8, 6 giorni) BLOCCO: NO COVARIATE: NO 6/9 8
9 Descriptive Statistics: Rc by Miscela and by Tempo Variable Miscela N Mean Median TrMean StDev Rc A B C D....6 Variable Tempo N Mean Median TrMean StDev Rc Boxplots of Rc by Tempo Rc A B ESEMPIO MODELLO STATISTICO: Y ijk = µ + τ i + β i + (τ β) ij + ε ijk STATISTICA DESCRITTIVA: i=a,b,c,d;j=,8,;k=,, Boxplots of Rc by Miscela Rc Miscela C D Tempo 8 6 /9 ESEMPIO TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Miscela fixed A B C D Tempo fixed 8 6 Analysis of Variance for Rc, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Miscela Tempo Miscela*Tempo Error Total 9 8. Main Effects Plot - LS Means for Rc Miscela Tempo 9 6 Rc A B C D 8 6 8/9 9
10 ESEMPIO INTERACTION PLOT: Interaction Plot - LS Means for Rc A B C D 8 6 Miscela D C B A Tempo 6 8 9/9 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: Histogram of the s (response is Rc) Normal Probability Plot of the s (response is Rc) Frequency Normal Score s Versus the Fitted Values (response is Rc) s Versus the Order of the Data (response is Rc) Fitted Value Observation Order /9
11 ESEMPIO Un gruppo di ricerca è interessato a studiare la velocità di crescita di un film di ossido di cobalto (CO O ) depositato per su wafer di silicio per chemical vapour deposition (CVD). OBIETTIVO: studiare l influenza della concentrazione di cobalto e della temperatura del processo sulla velocità di crescita del film VARIABILE RISPOSTA: velocità di crescita - rate (in nm/h) FATTORI: concentrazione (.,.,.,. mol/l) e temperatura (,6,6, K) BLOCCO: NO COVARIATE: NO /9 ESEMPIO MODELLO STATISTICO: Y ijk = µ + τ i + β i + (τ β) ij + ε ijk i=.,.,.,.; j=,6,6,; k=,, STATISTICA DESCRITTIVA: Descriptive Statistics: rate by Conc and by Temp Variable Conc N Mean Median TrMean StDev rate Variable Conc SE Mean Minimum Maximum Q Q rate Variable Temp N Mean Median TrMean StDev rate Variable Temp SE Mean Minimum Maximum Q Q rate /9
12 ESEMPIO STATISTICA DESCRITTIVA: Box-plot of rate by Conc and Temp rate... Conc. 6 6 Temp /9 ESEMPIO TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Conc fixed.... Temp fixed 6 6 Analysis of Variance for rate, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Conc E+. Temp E+. Conc*Temp Error Total Main Effects Plot - LS Means for rate Conc Temp rate /9
13 ESEMPIO INTERACTION PLOT:.... Interaction Plot - LS Means for rate Conc.... Temp 6 6 /9 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: Model Diagnostics Normal Plot of s I Chart of s UCL= Mean=-.E- LCL= Normal Score Observation Number Histogram of s s vs. Fits Frequency - - Fit 6/9
14 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: s Versus Temp (response is rate) Temp s Versus Conc (response is rate) -.. Conc.. /9 ESEMPIO Si vuole creare delle superfici con caratteristiche idrofobiche mediante l utilizzo di nanoparticelle di silice e di apposite soluzioni idrofobiche. OBIETTIVO: studiare l idrofobicità delle superficie in funzione delle caratteristiche di costruzione VARIABILE RISPOSTA: angolo di contatto con una goccia d acqua FATTORI: velocità di deposito del sostrato di silice in mm/min (,,,), numero di strati sulla superficie (,,,,) e numero di immersioni nella soluzione idrofobicizzante (,,) BLOCCO: NO COVARIATE: NO 8/9
15 ESEMPIO MODELLO STATISTICO: Y ijk = µ + τ i + β i + γ k + (τ β) ij + (τ γ) ik + (β γ) jk + ε ijk i=,,,; j=,..,; k=,, STATISTICA DESCRITTIVA: Descriptive Statistics: Angolo by Velocità, N_Strati, N_Immer Variable Velocità N Mean Median TrMean StDev Angolo Variable N_Strati N Mean Median TrMean StDev Angolo Variable N_Immer N Mean Median TrMean StDev Angolo /9 ESEMPIO STATISTICA DESCRITTIVA: Dotplots of Angolo by Velocità Dotplots of Angolo by N_Strati Angolo Angolo Velocità N_Strati Dotplots of Angolo by N_Immersioni Angolo N_Immer /9
16 ESEMPIO TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Velocità fixed N_Strati fixed N_Immer fixed Analysis of Variance for Angolo, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Velocità N_Strati N_Immer Velocità*N_Strati Velocità*N_Immer N_Strati*N_Immer Error Total /9 ESEMPIO MAIN EFFECTS PLOT: Main Effects Plot - LS Means for Angolo Velocità N_Strati N_Immer Angolo /9 6
17 ESEMPIO INTERACTION PLOT: Interaction Plot - LS Means for Angolo Velocità 9 N_Strati 9 N_Immer /9 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: Histogram of the s (response is Angolo) Normal Probability Plot of the s (response is Angolo) Frequency Normal Score s Versus the Fitted Values (response is Angolo) s Versus the Order of the Data (response is Angolo) Fitted Value Observation Order 6 /9
18 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: s Versus N_Immer (response is Angolo) s Versus N_Strati (response is Angolo) - - N_Immer N_Strati s Versus Velocità (response is Angolo) Velocità /9 LA PRESENZA DI BLOCCO O DI COVARIATE Il modello di analisi della varianza a due (o più) fattori può essere facilmente adattato al caso della presenza di una variabile di blocco: Y ijkl = µ + τ i + β j + (τ β) ij + γ k + ε ijkl i=,, c; j=,,b; k=,,d; j=,,n di covariate: Y ijk = µ + τ i + β j + (τ β) ij + x ijk γ + ε ijk i=,, c; j=,,b; k=,, n 6/9 8
19 ESEMPIO 6 Si vuole studiare le proprietà meccaniche di miscele bituminose in funzione del conglomerato bituminoso, della presenza di scorie nel confezionamento, tenendo conto della percentuale di bitume OBIETTIVO: studiare l effetto della composizione della miscela bitumi sulla velocità di laminazione VARIABILE RISPOSTA: Rigidezza (in Kg/mm) FATTORI: tipo conglomerato bituminoso (Alto Modulo AM, Stone Mastix Asphalt SMA), scorie nel confezionamento (SI, NO) BLOCCO: percentuale di bitume (.%, %) COVARIATE: NO /9 ESEMPIO 6 MODELLO STATISTICO: Y ijkl = µ + τ i + β j + (τ β) ij + γ k + ε ijkl i=am,sma; j=si,no; k=.,; j=,, STATISTICA DESCRITTIVA: Descriptive Statistics: Rigidezza by Tipo, Scorie, % Bitume Variable Tipo N Mean Median TrMean StDev Rigidezz AM SMA Variable Scorie N Mean Median TrMean StDev Rigidezz NO SI Variable % Bitume N Mean Median TrMean StDev Rigidezz /9 9
20 ESEMPIO 6 STATISTICA DESCRITTIVA: 8 Rigidezza 6 AM SMA Tipo NO SI Scorie.. % Bitume 9/9 ESEMPIO 6 TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Tipo fixed AM SMA Scorie fixed NO SI % Bitume fixed.. Analysis of Variance for Rigidezz, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Tipo Scorie Tipo*Scorie % Bitume Error Total 69 Main Effects Plot - LS Means for Rigidezza 6 Tipo Scorie % Bitume 8 Rigidezza 8 AM SMA NO SI.. /9
21 ESEMPIO 6 INTERACTION PLOT: Interaction Plot - LS Means for Rigidezza 6 Tipo AM SMA 8 Mean 8 NO Scorie SI /9 ESEMPIO 6 CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza): Tukey 9.% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Rigidezz All Pairwise Comparisons among Levels of Tipo Tipo = AM subtracted from: Tipo Lower Center Upper SMA ( * ) Tukey 9.% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Rigidezz All Pairwise Comparisons among Levels of Scorie Scorie = NO subtracted from: Scorie Lower Center Upper SI. 6.. ( * ) /9
22 ESEMPIO 6 ANALISI DEI RESIDUI: Histogram of the s (response is Rigidezz) Normal Probability Plot of the s (response is Rigidezz) Frequency Normal Score s Versus the Fitted Values (response is Rigidezz) s Versus the Order of the Data (response is Rigidezz) Fitted Value Observation Order /9 ESEMPIO Si vuole caratterizzare le prestazioni di miscele cementizie con sabbie di fonderia e inerte alla demolizione. OBIETTIVO: studiare l effetto della percentuale di cemento e della durata della stagionatura sulla resistenza dei travi di cemento, tenendo conto del peso del provino VARIABILE RISPOSTA: forza massima di rottura (in Newton) FATTORI: % di cemento (,,,) giorni di stagionatura (,,8,9) BLOCCO: NO COVARIATE: peso del provino (in grammi) /9
23 ESEMPIO MODELLO STATISTICO: Y ijk = µ + τ i + β j + (τ β) ij + γ ijk + ε ijk i=,,,;j=,,8,9;k=,, STATISTICA DESCRITTIVA: Descriptive Statistics: FM by Stag, %Cem Variable Stag N Mean Median TrMean StDev FM Variable %Cem N Mean Median TrMean StDev FM /9 ESEMPIO STATISTICA DESCRITTIVA : FM 8 9 Stagionatura % Cemento 6/9
24 ESEMPIO TEST SULLE VARIANZE : Test for Equal Variances Response FM Factors TipProv ConfLvl 9. Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels Test for Equal Variances for FM 9% Confidence Intervals for Sigmas Factor Levels A B C D E F G H Bartlett's Test Test Statistic:. P-Value : A B C D E F G H I L M N O P Q R I L M N O P Q R Levene's Test Test Statistic:. P-Value :.8 Bartlett's Test (normal distribution) Test Statistic:. P-Value :. Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic:. P-Value :.8 /9 ESEMPIO TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Stag fixed 8 9 %Cem fixed Analysis of Variance for FM, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Peso Stag %Cem Stag*%Cem Error Total Main Effects Plot - LS Means for FM Stag %Cem FM 8 9 8/9
25 ESEMPIO STIMA E VERIFICA DI IPOTESI SU TUTTI I PARAMETRI: Term Coef SE Coef T P Constant 66.. Peso Stag %Cem Stag*%Cem /9 ESEMPIO INTERACTION PLOT: Interaction Plot - LS Means for FM Stag 8 9 Mean %Cem /9
26 ESEMPIO ANALISI DEI RESIDUI: Histogram of the s (response is FM) Normal Probability Plot of the s (response is FM). Frequency Normal Score s Versus the Fitted Values (response is FM) s Versus the Order of the Data (response is FM) Fitted Value Observation Order /9 ESEMPIO 8 In uno studio sui materiali di costruzione si vuole indagare la resistenza del calcestruzzo in funzione dei fattori principali che si ritiene ne influenzino le prestazioni OBIETTIVO: studiare l effetto della classe e della consistenza del calcestruzzo, della presenza di eventuali additivi sulla resistenza del calcestruzzo, tenendo conto della temperatura del campione nel momento della prova VARIABILE RISPOSTA: resistenza unitaria FATTORI: classe (Rck,Rck ) e della consistenza (S,S) del calcestruzzo, presenza additivi (SI,NO) BLOCCO: NO COVARIATE: temperatura Temp (C ) /9 6
27 ESEMPIO 8 MODELLO STATISTICO: Y ijkl = µ + τ i + β i + γ k + (τ β) ij + (τ γ) ik + (β γ) jk + Temp ijkl + ε ijkl i=rck,rck ; j=s,s; k=si,no; l=,, STATISTICA DESCRITTIVA: Descriptive Statistics: Resistenza by Classe, Consistenza, Addittivi Variable Classe N Mean Median TrMean StDev Resisten Rck Rck Variable Consiste N Mean Median TrMean StDev Resisten S S Variable Addittiv N Mean Median TrMean StDev Resisten no si /9 ESEMPIO 8 STATISTICA DESCRITTIVA: 6 Resistenza Rck Classe Rck S S Consistenza no Additivi si 6 Resistenza Temp /9
28 ESEMPIO 8 TABELLA ANOVA: Factor Type Levels Values Classe fixed Rck Rck Consiste fixed S S Addittiv fixed no si Analysis of Variance for Resisten, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Temp Classe Consiste Addittiv Classe*Consiste Classe*Addittiv Consiste*Addittiv Classe*Consiste*Addittiv Error Total 9.8 /9 ESEMPIO 8 MAIN EFFECT PLOT: Main Effects Plot - LS Means for Resistenza Classe Consistenza Addittivi Resistenza 8 Rck Rck S S no si 6/9 8
29 ESEMPIO 8 INTERACTION PLOT: Interaction Plot - LS Means for Resistenza S S no si Rck Classe 6 8 Rck S Consistenza 6 8 S Addittivi /9 ESEMPIO 8 CONFRONTI MULTIPLI: Tukey 9.% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Resisten All Pairwise Comparisons among Levels of Classe Classe = Rck subtracted from: Classe Lower Center Upper Rck (----*---) Tukey 9.% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Resisten All Pairwise Comparisons among Levels of Consiste Consiste = S subtracted from: Consiste Lower Center Upper S ( * ) Tukey 9.% Simultaneous Confidence Intervals Response Variable Resisten All Pairwise Comparisons among Levels of Addittiv Addittiv = no subtracted from: Addittiv Lower Center Upper si.66.. ( * ) /9 9
30 ESEMPIO 8 ANALISI DEI RESIDUI: Histogram of the s (response is Resisten) Normal Probability Plot of the s (response is Resisten) 8 6 Frequency Normal Score s Versus the Fitted Values (response is Resisten) s Versus the Order of the Data (response is Resisten) Fitted Value Observation Order 9/9
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