Americani Inglesi Firenze Roma Provare l ipotesi che la nazionalità non influisca sulla scelta della meta.

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1 TEST D IPOTESI 1 Le resistenze alla rottura delle funi prodotte da una fabbrica hanno una media pari a µ = 1800N ed uno scarto quadratico medio di σ = 100N Immettendo una nuova tecnica nel processo produttivo, si pensa che la resistenza alla rottura possa essere accresciuta Per provare ciò, si prende un campione di 50 funi e si trova che la resistenza media alla rottura è 1850N Provare l ipotesi che la media sia rimasta la stessa (µ = 1800N), contro l alternativa che la media sia davvero aumentata (µ > 1800N) al livello di significatività dello Il tempo di vita medio di un campione di 100 lampadine prodotte da una fabbrica è 1570h con uno scarto quadratico medio di 120h Se µ è il tempo di vita di tutte le lampadine prodotte dalla fabbrica, provare l ipotesi µ = 1600h contro l alternativa µ 1600 con un livello di significatività α = Una ditta produce detersivi che vende in confezioni per le quali dichiara un peso medio di 4Kg Un supermercato che è interessato all acquisto di una grossa partita indaga su un campione di 45 scatole accertando un peso medio di 3,8Kg con uno sqm dell intera produzione 0,6Kg Verificare l affermazione fatta dalla casa produttrice provando l ipotesi µ = 4Kg contro l alternativa µ < 4Kg con un livello di significatività del 3% 4 In un esperimento sulla percezione extrasensoriale, ad un soggetto viene chiesto di indovinare il colore, rosso o blu, di 50 carte Il soggetto individua il colore di 32 carte Determinare se il risultato sia significativo oppure no al livello α = 005, ovvero provare l ipotesi che la probabilità di indovinare il colore sia p = 1/2 (in qual caso il soggetto tira ad indovinare), contro l ipotesi p > 1/2 (in qual caso il soggetto è dotato di percezione extrasensoriale) 5 Due dadi vengono lanciati 100 volte e si osserva che la somma sette si presenta 23 volte Provare l ipotesi che i dadi siano equi contro l alternativa che non siano equi al livello α = Nello studio di una particolare specie di farfalla si vuole studiare se la colorazione delle sue ali venga influenzata dalla stagione Ne vengono recensite 600 e per ciascuna si esse si prende nota del colore: vivace, non vivace e della stagione:primavera, estate, autunno, inverno Si ottiene la seguente tabella Vivace Non vivace Totali Primavera Estate Autunno Inverno Totali Stabilire con un livello di significatività del 5% e dell 1% se si può accettare l ipotesi di indipendenza della colorazione dalla stagione 7 Un gruppo di Americani ed un gruppo di Inglesi vengono interpellati per decidere dove passerebbero le loro vacanze dovendo scegliere tra Roma e Firenze I risultati sono riportati nella tabella che segue 1

2 Americani Inglesi Firenze Roma Provare l ipotesi che la nazionalità non influisca sulla scelta della meta 8 Un certo corso universitario è impartito a studenti del terzo anno di tre diversi indirizzi; gli studenti frequentano le lezioni del medesimo professore, che registra il numero di studenti di ogni indirizzo che hanno superato l esame nel corso dell anno I dati sono i seguenti; Indirizzo A Indirizzo B Indirizzo C Tot esami esame superato esame non superato Tot studenti iscritti Il rendimento degli studenti dei tre indirizzi, relativamente all esame in questione, si può ritenere sostanzialmente equivalente o le differenze sono statisticamente significative? 9 Si consideri la seguente classificazione di 1000 persone secondo il sesso e il fatto di essere o non essere daltonici: Maschio Femmina Tot Daltonici Normali Tot Si esegua un test sull indipendenza del fattore daltonismo dal sesso 10 Nella tabella che segue sono riportati i voti per i partiti A, B e C A livello di significatività del 5% e dell 1% provate l ipotesi che non ci sia differenza tra i voti dei 3 partiti a favore contrari indecisi A B C

3 SOLUZIONI 1 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : µ = 1800N, non c è in realtà alcun miglioramento nella resistenza alla rottura H 1 : µ > 1800N, c è un reale miglioramento nella resistenza alla rottura Bisogna far uso del test ad una coda Il diagramma associato è quello seguente area α = z = 233 z = 355 Al livello di significatività α = 001 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato, è maggiore di 233 (valore ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato, è minore di 233, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 001 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 il valore normalizzato è z = x n µ σ/ n = / 50 = 355, che è molto maggiore di 233 Quindi concludiamo che il risultato sia altamente significativo: c è un reale miglioramento nella resistenza dei cavi alla rottura! 2 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : µ = 1600h, le lampade hanno una durata media di 1600h H 1 : µ 1600h, le lampade non hanno una durata media di 1600h Bisogna far uso del test a due code Il diagramma associato è quello seguente Al livello di significatività α = 005 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato z, è minore di z = 196 oppure è maggiore di z = 196 (il valore è ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato z, compreso tra -196 e 196, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 005 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 il valore normalizzato, utilizzando lo scarto campionario come stima di σ, è z = x n µ σ/ n = / 100 = 25, 3

4 area α 2 = 0025 z = z = 196 area α 2 = 0025 che cade nelle regione critica Quindi concludiamo che il risultato è significativo: le lampade non hanno una durata media di 1600h 3 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : µ = 4Kg, le confezioni hanno un medio peso di 4Kg H 1 : µ < 4Kg, le confezioni hanno un medio peso minore di 4Kg Bisogna far uso del test ad una cosa Il diagramma associato è quello seguente area α = 003 z = Al livello di significatività α = 003 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato z, è minore di z = 188, il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato z, è maggiore di z = 188, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 003 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 il valore normalizzato, è z = x n µ σ/ n = / 100 = 167, che non cade nelle regione critica Quindi concludiamo che il risultato non è significativo: le confezioni hanno un peso medio di 4Kg 4

5 4 Dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : p = 1/2, il soggetto tira ad indovinare H 1 : p > 1/2, il soggetto è dotato di poteri extrasensoriali Bisogna far uso del test ad una coda Il diagramma associato è quello seguente 0 z = 164 Al livello di significatività α = 005 la regola di decisione è la seguente: area α = 005 Se il valore osservato, normalizzato, è maggiore di 164 (valore ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato, è minore di 164, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 005 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 (p = 1/2) il valore osservato, che è il numero dei successi, normalizzato è z = x np = = 198, np(1 p) 354 che è maggiore di 164 Quindi concludiamo che il risultato sia significativo: il soggetto è dotato di poteri extrasensoriali! 5 La probabilità che la somma sia sette nel lancio di due dadi equi è p = 1/6 pertanto dobbiamo decidere tra le due ipotesi H 0 : p = 1/6, i dadi sono equi H 1 : p 1/6, i dadi non sono equi Bisogna far uso del test a due code Il diagramma associato è quello seguente Al livello di significatività α = 005 la regola di decisione è la seguente: Se il valore osservato, normalizzato z, è minore di z = 196 oppure è maggiore di z = 196 (il valore è ricavato dalla tabella), il risultato ottenuto è significativo al livello α e quindi H 0 viene rifiutata Se il valore osservato, normalizzato z, compreso tra -196 e 196, il risultato ottenuto non è significativo al livello α = 005 e quindi H 0 viene accettata Sotto l ipotesi H 0 (p = 1/6) il valore osservato, che è il numero dei successi, normalizzato è z = x np = = 170, np(1 p) 373 5

6 area α 2 = 0025 z = z = 196 area α 2 = 0025 che cade nelle regione critica Quindi concludiamo che il risultato non è significativo: i dadi sono equi! 6 Si tratta di provare l ipotesi che la colorazione della li sia indipendente dalla stagione contro l alternativa che il colore dipende dalla stagione In ipotesi di indipendenza, ricordando che al posto ij va il totale della riga i per il totale della colonna j il tutto diviso per il totale complessivo, si avrebbe, Vivace Non vivace Totali Primavera Estate Autunno Inverno Totali Occorre un test ad una coda La statistica da utilizzare è una va T χ 2 (2) Ed il quantile χ (2) = 599 Il valore della statistica osservato è t = + (90 85)2 (90 85)2 ( )2 (60 50) (60 65)2 (60 65)2 (80 60)2 (40 50) = Il valore trovato cade nella regione critica, pertanto occorre rifiutare l ipotesi di indipendenza Il colore delle ali dipende dalla stagione 6