()Probablità, Statistica e Processi Stocastici

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1 Probablità, Statistica e Processi Stocastici

2 Esempio di serie storica Esportazioni italiane di pezzi di accessori auto (trend accentuato, poca stagionalità)

3 Esempio di serie storica Esportazioni italiane di motocicli (trend debole variabile, molta stagionalità)

4 Metodo di smorzamento esponenziale Scelta automatica dei parametri (minimi quadrati)

5 SET Cattura la pendenza in fase di previsione (forse troppo sensibile)

6 HW

7 HW

8 Metodi regressivi Essi costituiscono la classe più ampia e forse l unica in cui è possibile sviluppare elementi di teoria rigorosa. Ci stiamo riferendo ai metodi denominati AR, MA, ARMA, ARIMA, ARIMAX ecc. Non sviluppiamo la loro teoria, suggerendo eventualmente di esaminare il comando ar.ols del software R per vedere in azione uno di questi metodi (ar.ols = AR, cioè autoregressivi, con stima ols, cioè ordinary least squares, minimi quadrati, dei coeffi cienti del modello; il metodo di stima più ragionevole per serie qualsiasi, in assenza di ipotesi particolari come la stazionarietà).

9 Metodi regressivi Sviluppiamo invece "a mano" un esempio di metodo autoregressivo (un sottocaso della classe AR). Si parte da un modello, cioè si ipotizza che la serie storica soddisfi la relazione autoregressiva x n = a 1 x n 1 + a 12 x n 12 + b + ɛ n con errore ɛ n piccolo (questa relazione è sempre verificata, scelti a caso i coeffi cienti, se l errore viene definito per differenza; il punto è sperare che, per certi coeffi cienti, l errore sia molto piccolo). Si applica la regressione lineare multipla per stimare i coeffi cienti a 1, a 12, b a partire dalla serie storica. Il metodo è del tutto generale, cioè applicabile a qualsiasi relazione ricorsiva lineare del tipo precedente (ritardi qualsiasi, quanti si vuole).

10 Tra chi si fa la regressione Data la serie storica x 1, x 2,..., x N, volendo applicare la regressione x n = a 1 x n 1 + a 12 x n 12 + b + ɛ n si deve considerare la serie stessa come input e come output, ma opportunamente traslata. Preciasamente, l output è la serie ed i due input le serie x 13,..., x N x 12,..., x N 1 x 1,..., x N 12

11 Previsione Calcolati i coeffi cienti del modello, la previsione del primo istante successivo è p N +1 = a 1 x N + a 12 x N b ma dalla successiva in poi bisogna usare le previsioni stesse nel primo fattore p N +2 = a 1 p N +1 + a 12 x N b e così via. Nota: la logica di questo modello è di replicare periodicamente (se 12 è il periodo) mantenendo nota della situazione più recente. Una forma particolare di innovazione-conservazione.

12 Esempio di previsione

13 Confronto grafico con HW

14 Fattori esogeni Un elemento di sicuro vantaggio dei metodi regressivi è la possibilità di inserire fattori esogeni. Se ad esempio x 1, x 2,..., x N è la serie storica delle esportazioni di un prodotto e z 1, z 2,..., z N è la serie storica del costo del petrolio, possiamo immaginare che un modello del tipo x n = a 1 x n 1 + a 12 x n 12 + c k z n k + b + ɛ n sia più accurato. Il ritardo k può essere cercato con il comando ccf (cross correlation function, versione empirica della formula E [X t Z s ] molto usata in Telecomunicazioni). Queste considerazioni sono la base dei cosidetti modelli econometrici.

15 Analisi dei residui I residui variano a seconda del modello utilizzato. Es. x n = t n + s n + ɛ n (decomposizione additiva) ɛ n = x n p n (modelli SE, SET, HW, AR) Anche i comandi variano. Però il comando residuals() è abbastanza generico. Funziona ad es. per HW. Le prime analisi sono visive: - plot dei residui per vedere eventuali strutture ed eventuali anomalie - acf, per vedere eventuali periodicità residue; confrontare con white noise - hist, per vedere come si distribuiscono; confrontare con hist della serie storica - qqnorm, per vedere se sono abbastanza gaussiani

16 Analisi dei residui E evidente una struttura moltiplicativa residua. Si noti anche il picco a fine inizio 2004: esso è molto più alto dei picchi precedenti e successivi visibili sulla serie storica.

17 Analisi dei residui Non c è evidenza di periodi residui.

18 Analisi dei residui così abbiamo una percezione grafica della variabilità originaria e di quella dei residui

19 Analisi dei residui I campioni gaussiani hanno qqplot abbastanza rettilineo.

20 Incertezza della predizione tramite i residui Premessa: data una gaussiana di parametri m ed s, se si vuole un intervallo simmetrico rispetto alla media che contenga il 90% dei valori, esso è dato da qnorm(0.05,m,s), qnorm(0.95,m,s) o equivalentemente da m+s*qnorm(0.05), m+s*qnorm(0.95). Se abbiamo un campione sperimentale x 1,..., x n e decidiamo di descriverlo con una gaussiana, possiamo stimare m ed s dal campione ed usare le formule precedenti. Oppure possiamo usare un comando di R che fa una stima empirica, non parametrica, quantile(x,0.05), quantile(x,0.95).

21 Incertezza della predizione tramite i residui Possiamo applicare i calcoli precedenti ai residui, ad es. X=residuals(HW), trovando così un intervallo che contiene i residui al 90% Poi, traslando del valore previsto per il mese successivo P=predict(HW,1), troviamo un intervallo che contiene i valori futuri al 90%: P+qnorm(0.05,m,s), P+qnorm(0.95,m,s) Possiamo poi tracciare due bande, entro le quali prevediamo stiano i valori al 90%.

22 Incertezza della predizione tramite i residui Oct 2010:

23 Incertezza della predizione tramite i residui I calcoli precedenti sono una prima approssimazione. Da un lato, si potrebbero innescare algoritmi che allargano le bande al crescere del tempo (valori più lontani nel futuro sono più incerti). Omettiamo questa direzione. Dall altro, si potrebbe modulare l incertezza in modo stagionale. Infine, applicando PCA (che in questa versione è la cosidetta fpca), si possono trovare i profili più tipici delle fluttuazioni, dell incertezza.

24 Modulazione stagionale dell incertezza sulla predizione Profilo annuale delle deviazioni standard dei residui e bande di previsione stagionali

25 Variazioni tipiche dell incertezza sulla predizione Profilo semestrale della variazione tipica dei residui (prima componente principale, 54%)

26 Variazioni tipiche dell incertezza sulla predizione Profilo semestrale della variazione tipica dei residui (seconda componente principale, 25%)