Analisi delle Serie Storiche

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1 Analisi delle Serie Storiche Fabio Ruini Abstract Alla base dell analisi delle serie storiche vi è l assunzione secondo cui i fattori che hanno influenzato l andamento della serie nel passato e nel presente continuino a esercitare effetti analoghi anche nel futuro. Lo scopo che si pongono gli analisti è dunque quello di individuare ed isolare tali fattori, in modo tale da poter effettuare previsioni a più o meno breve termine. In questa tesina verrà analizzato un insieme di dati, rappresentativo di una serie storica con cadenza giornaliera, relativo al valore di chiusura dell indice borsistico Mibtel, misurato per un periodo di circa un anno e mezzo. Obiettivo è l individuazione del miglior modello autoregressivo per la serie storica in esame. Introduzione Il dataset originale al centro della nostra analisi consiste in un elenco, espresso in forma tabellare, di 542 valori. Ciascuno di essi corrisponde al punteggio di chiusura giornaliera dell indice Mibtel, ad un certo tempo t. Il nostro obiettivo è quello di analizzare la serie storica, individuare i vari trends che la compongono ed estrapolare successivamente il miglior modello autoregressivo (AR). Le analisi sono state svolte con l ausilio del pacchetto software Matlab. A tal fine sono stati predisposti due script (serie_storiche.m e prepdati.m), che effettuano in maniera semi-automatica tutte le operazioni necessarie, generando gli output grafici e mostrando a video quello che viene individuato come miglior modello autoregressivo. Ho utilizzato volutamente il termine semi-automatica poiché l individuazione dei trends, che vedremo nel dettaglio più avanti, è un processo altamente soggettivo. Lo script creato si limita, in sostanza, a riproporre in maniera automatizzata la segmentazione

2 della serie storica individuata dal sottoscritto, senza la possibilità che questa sia modificabile dall utente. Descrizione del problema e teoria Il dataset MIBTEL, estrapolato dai dati originari, consiste in un vettore colonna di ordine 542x1. Al suo interno vi sono contenuti esclusivamente i valori di chiusura dell indice borsistico, ordinati su base temporale. Figura 1 Grafico della serie storica da analizzare L algoritmo che si occupa dell automatizzazione del processo di analisi utilizza innanzitutto due tecniche di livellamento, calcolando le medie mobili per periodi di 5 e di 20 giorni, nonché lo smussamento esponenziale della serie storica (con un fattore weight pari a 0.1, tale da evidenziare in particolar modo le tendenze di lungo periodo). Successivamente, l elaborazione prosegue con la suddivisione della serie storica in sei parti, corrispondenti ad altrettanti trends, predisposte all interno dello script. Vengono quindi calcolati i polinomi di primo grado, che riassumono l andamento dei sei trends (interpolazione lineare) e engono in seguito sottratti dalla serie storica. Su ciascuna delle sei componenti vengono infine effettuate diverse analisi di regressione lineare, al fine di individuare i migliori modelli autoregressivi. Risultati L analisi incrociata dei grafici della serie storica, dello smoothing esponenziale delle rispettive medie mobili, mi ha portato ad individuare sei distinti trends, riferiti a finestre temporali di differente ampiezza: primo trend: valori compresi nell intervallo [1:90]; secondo trend: valori compresi nell intervallo [91:117]; terzo trend: valori compresi nell intervallo [118:221]; quarto trend: valori compresi nell intervallo [222:368]; quinto trend: valori compresi nell intervallo [369:494]; sesto trend: valori compresi nell intervallo [495:542].

3 Figura 2 Raffronto tra la media mobile a periodo 5 e quella a periodo 20 L algoritmo ha quindi provveduto a generare i polinomi di interpolazione di primo grado, che sono stati successivamente tracciati sullo stesso grafico della serie storica, in modo da poter valutare, seppur approssimativamente, la loro adeguatezza a descrivere i trends di riferimento. Figura 3 I polinomi di interpolazione di primo grado, relativi ai sei trends individuati, tracciati con colore diverso sulla serie storica originaria I polinomi rappresentativi dei trends sono stati in seguito sottratti dalla serie storica, che ha mantenuto di conseguenza la sola componente stocastica. Y = Trend + Componente_ Stocastica Figura 4 Equazione generale di una serie storica

4 La serie storica detrendizzata ha evidenziato, com era più che lecito attendersi, un andamento decisamente più variabile che non in precedenza. Figura 5 La serie storica originaria, a cui sono stati sottratti i polinomi corrispondenti ai sei trends individuati (rappresentati graficamente con colori diversi) Conclusioni Le analisi di regressione lineare multipla, eseguite in maniera indipendente sui singoli trends, hanno permesso di individuare i migliori modelli autoregressivi per ciascuno di questi. Trend Nr. Parametri Figura 6 I singoli trends ed il numero ottimale di parametri, relativamente al loro modello autoregressivo E tuttavia bene ricordare che la componente stocastica, parte integrante dell equazione generale delle serie storiche, non si esaurisce con l individuazione del miglior modello autoregressivo. Esso, infatti, non è in grado di spiegare altro che una piccola parte della variabilità dei dati in cui è possibile imbattersi all interno di una serie storica.

5 Bibliografia D.M. Levine, Statistica in particolare: capitolo 11: Analisi delle serie storiche.