1 Modelli per serie storiche univariate

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1 1 Modelli per serie storiche univariate Caratteristiche delle serie storiche: fy t g l ordine t non puo essere variato; v.c. non indipendenti; non replicabili (i dati si ottengono da una sola realizzazione) bisogna dunque essere rigorosi nello speci care la natura stocastica del modello, i.e. valora atteso, varianza, covarianza, autocovarianza, autocorrelazione. Le serie storiche sono soprattutto utili a fare previsioni Un processo tipico e fra l altro già incontrato e il processo Autoregressivo di ordine uno y t = + y t 1 + " t (1) non ha un interpretazione casuale. Assumendo che

2 1. jj < 1 2. " t e un processo white noise, omoschedastico e privo di autocorrelazione. Otteniamo: = E(y t ) = + E(y t 1 ) + " t E(y t ) = + E(y t 1 ) = 1 de nendo c y t come y t centrato c y t = y t riscriviamo la (1) come cy t = c y t 1 + " t V (y t ) = V ( + y t 1 + " t ) = ( 2 V (y t 1 ) + 2 ) dato che V (y t ) = V (y t 1 ) 2 V (y t ) = 1 2 Cov(y t y t 1 ) = E( c y t c y t 1 )

3 = E [( c y t 1 + " t ) ( c y t 1 )] = V (y t ) = potete ottenere allo stesso modo che Cov(y t y t k ) = k Nota che i valori di media e varianza non dipendono dale tempo t mentre la Cov(y t y t k ) dipende solo da k e non da t. Processo a Media Mobile di ordine uno y t = + " t + " t 1

4 V (y t ) = E(" t + " t 1 ) 2 = E(" t ) E(" t 1 ) 2 = (1 + 2 ) 2 Cov(y t y t 1 ) = E [(" t + " t 1 ) (" t 1 + " t 2 )] Cov(y t y t 2 ) = 0 = E h " 2 t 1 = 2 Cov(y t y t k ) = 0 per k = 2; 3; 4:: Se jj < 1 un processo AR puo essere riscritto come un processo MA per sostituzione di y t 1 = +y t 2 +" t 1 ; y t 1 = (y t 2 ) + " t 1 in (1) otteniamo y t = + 2 (y t 2 ) + " t + " t 1 sostituendo ancora y t 2 = (y t 3 ) + " t 2 abbiamo y t = + 2 ( (y t 3 ) + " t 2 ) + " t + " t 1 = + 3 (y t 3 ) + " t + " t " t 2 continuando le sostituzioni si ottiene y t = + n (y t n ) + n P 1 j " t i j=0 j

5 dove n P 1 j " t j=0 j e una componente MA

6 1.0.1 Operatore ritardo Un modo alternativo di rappresentazione Ly t = y t 1 L j y t = y t j AR(1) ) y t = 1 y t 1 + " t y t 1 y t 1 = " t (1 1 L)y t = " t " t y t = 1 1 L 1.1 Stazionarieta La stazionarieta e importantissima per la previsione

7 In senso stretto l intera distribuzione di probabilita congiunta a qualsiasi insieme di date non e in uenzata da uno slittamento arbitrario lungo l asse del tempo. In senso debole Media, Varianza e Covarianza sono indipendenti dal tempo. La covarianza dipende solo dalla lunghezza dell intervallo che separa due osservazioni. E(y t ) = < 1 V (y t ) = 0 < 1 Cov(y t y t k ) = k ; k = 1; 2; 3:: Stazionarieta in senso debole. Esempio Processo White Noise autocovarianza " t N(0; 2 " ) k = Cov(y t ; y t k ) = Cov(y t k ; y t ) autocorrelazione k = Cov(y t; y t k ) V (y t ) = k 0

8 Funzione di autocorrelazione ACF: autocorrelazioni in funzione di k. Descrive la dipendenza fra le osservazioni. Per k = 2; 3; 4:: processo AR(1) y t = + y t k = k 0 = k 1 + " t = k 1 2

9 processo MA(1) y t = + " t + " t 1 1 = 1 0 = e k = k 0 = 2 (1 + 2 ) 2 = 0 (1 + 2 ) 2 =

10 1.2 Stazionarieta e radici unitarie I processi MA(1) sono sempre stazionari. Un processo AR(1) si dice stazionario quando jj < 1 y t = + y t 1 + " t Processi autoregressivi non stazionari:

11 1. Processi Di erenza Stazionari (DS), (in (1) = 1) Es.: Random Walk y t = y t Random Walk plus drift y t = + y t V ( c y t ) = V ( c y t 1 ) " t 1 + " t Non c è soluzione a meno che 2 = 0, la varianza è in nita sia che = 1 e > 1. In alcuni casi e su ciente calcolare le di erenze per trasformare una serie non stazionaria in stazionaria. Un random walk (processo non stazionario) si trasforma in un white noise ( processo stazionario) y t y t 1 = + " t Integrato di ordine uno I(1) y t = (y t y t 1 ) Integrato di ordine due I(2) 2 y t = (y t y t 1 )

12 1. Processi Trend Stazionari (TS). Processi di lungo periodo che hanno la media non costante nel tempo. y t = + t + " t f + tg trend deterministico. E un processo trend stazionario nel senso che basta inserire un trend e diventa stazionario. Detrendizzazione

13 1.3 Test di radice unitaria Per il processo AR(1) y t = + y t 1 + " t = 1 corrisponde al test di radice unitaria. Dickey Fuller (1979) dimostrano che, dato che y t non e stazionario, lo stimatore OLS di ^ non ha una distribuzione t. Dunque in alternativa e stata proposta la seguente statistica DF = 1 s:e:(^) dove ^ e stimato tramite un OLS ma i valori critici sono ricavati da una distribuzione corretta. H 0 : = 1 Random Walk DS H 1 : jj < 1 Stazionario al 5% t DF = 2; 86

14 Per convenienza di solito si riscrive il modello come dato che y t = + ( 1) y t 1 + " t (2) y t y t 1 = + y t 1 y t 1 + " t e si sottopone a test H 0 : ( 1) = 0: Nota che questa speci cazione e robusta a problemi di autocorrelazione dei residui. Di solito siamo interessati a 2 casi in particolare: 1. Processo stazionario attorno ad una intercetta y t = + y t 1 + " t H 0 : Random Walk H 1 : Stazionario con intercetta y t = + ( 1) y t 1 + " t H 0 : = ( 1) = 0 si procede con un F test

15 2. Processo stazionario attorno ad un trend con intercetta y t = + y t 1 + t + " t H 0 : Random Walk H 1 : Stazionario ad un trend con intercetta y t = + ( 1) y t 1 + t + " t H 0 : = ( 1) = = 0 Le statistiche di DW sono dunque,, t ed F Nota che poiche i test di radice unitaria hanno potenza piu bassa dei test di signi cativita dei coe cienti e stata

16 proposta una alternativa: il KPSS. Questo test si basa sull idea che ogni serie storica e una somma di un trend deterministico, un random walk e un termine d errore stazionario. Sotto H 0 di processo stazionario attorno ad un trend o no 1. primo passo OLS y t = + t + " t ) ^" t = e t 2. somme parziali s t = P t s=1 e s per ogni t: KP SS = P Tt=1 s 2 t ^ 2 e una statistica LM:^ 2 Newey West standard error. 1.4 Processi AR di ordine superiore al primo y t = c + 1 y t y t 2 + " t " t W N(0; 2 ")

17 e un AR(2). Utilizzando gli operatori del ritardo ricaviamo le condizioni necessarie e su cienti per la stazionarita. Un processo AR(2) si dice stazionario se tutte le radici di (1 1 L 2 L 2 ) = 0 cadono al di fuori del cerchio unitario nel campo complesso. y t = c + 1 y t y t 2 + ::: p y t p + " t " t W N(0; 2 " ) e un AR(p). (1 1 L 2 L 2 ::: p L p ) = 0 (L)y t = c + " t cioe le cui radici devono cadere al di fuori del cerchio unitario nel campo complesso AR(p) e un processo stazionario solo se 1P i=0 j i j < 1

18 se almeno una radice e uguale a 1 1 P i=0 j i j = 1 Il Test di Dickey Fuller per un AR(p) si basa sulla seguente speci cazione (seguendo gli stessi passaggi visti per (2)) y t = + t + 'y t 1 + p P 1 i y t dove ' =! pp i i=1 i=1 1; i = p P i i=1 i + " t 1.5 Processi ARMA ARMA(1,1) y t = + y t 1 + " t + " t 1 ARMA(p,q) y t = + 1 y t y t 2 + :: + p y t p +" t + 1 " t 1 + :: + q " t q

19 1.6 Funzione di autocorrelazione parziale Autocorrelazione parziale fra y t e y t p denominata pp e un legame di correlazione fra y t e y t p al netto dell in uenza esercitata dai termini intermedi y t 1 ; :::y t p+1 y t = + 1 y t 1 + " t ) ^11 y t = + 1 y t y t 2 + " t ) ^22 stima di 2 Nota che per un AR(p) il ^ kk = 0 8k > p. Per esempio AR(1) il ^ 22 = ^ 33 = ::: = 0 Per un MA(1) PACF convergono verso zero piu o meno rapidamente In un ARMA (p,q) sia la ACF che la PACF non tagliano mai zero ma convergono a zero asintoticamente.

20 2 Speci cazione stima e controllo diagnostico - Regole generali 1) Identi cazione 2) Stima 3) Controllo diagnostico E una procedura iterativa 2.1 Identi cazione Scelta del tipo di modello AR o MA e del loro ordine. Guardare le AFC e PACF e confrontare

21 1. AR (p) stazionaria la ACF decade geometricamente la PACF taglia dopo p periodi 2. MA(q) ACF taglia dopo q periodi mentre la PACF decade geometricamente 3. ARMA(p,q) non c è in nessuno dei due casi un taglio netto 2.2 Stima ARMA 1. AR(p) OLS corretto consistente ed e ciente MLE 2. MA(q) OLS non e possibile perche i regressori sono incogniti. Si utilizza la stima M LE che richiede un ipotesi sulla distribuzione dei termini di disturbo e procedure numeriche di massimizzazione 3. ARMA(p,q) vedi punto 2

22 2.3 Controllo diagnostico La speci cazione scelta e adatta ai ni previsivi? 1. SOVRAPARAMETRIZZATO i coe cienti sono signi cativi? coe cienti relativi all ordine p o q scelti! se i coe relativi agli ordini troppo alti sono non signi cativi si possono ridurre i parametri da stimare t test o F test 2. SOTTOPARAMETRIZZATO y t = ^c + ^1 y t 1 + ^2 y t 2 + ^3 y t 3 + ^" t + ^1^" t 1 + ^2^" t 2 + ^3^" t 3 + ^4^" t 4 ^4 e signi cativo? fondamentale La parsimonia e un principio Veri care l ipotesi di autocorrelazione dei residui =)errata speci cazione

23 Model selection criteria: Akaike Information Criterion e Schwarz Bayesian Criterion AIC(p) = T log(^ 2 ) + 2p SBC(p) = T log(^ 2 ) + p log T ^ 2 = RSS=(n p). La regole e di scegliere il modello con piu basso AIC e SBC 3 Modelli dinamici con variabili stazionar Modello autoregressivo a ritardi distribuiti y t = + y t x t + 1 x t 1 + " t (3) dove " t W N indipendente da y t 1 ; y t 2 e x t ; x t 1. Calcolando le derivate parziali possiamo calcolare il moltiplicatore d impatto. E etto di x t su y t = 0

24 L e etto dopo un periodo e dato t dopo due periodi t + 1 = 0 + t = ( ) Se jj < 1 gli e etti superiori al primo sono decrescent. iil moltiplicatore di lungo periodo (o moltiplicatore di equilibrio) t t t + ::: = 0 + ( ) + ( ( )) + ::: = Allo stesso risultato si giunge calcolando il valore atteso della (3) E(y t ) = + E(y t 1 ) + 0 E(x t ) + 1 E(x t 1 ) = E(x t) Il modello (3) puo essere stimato con il metodo OLS a condizione che E(x t " t ) = 0