Laurea Magistrale in Scienze Statistiche Finanziarie e Attuariali Econometria Finanziaria c.a. A.A. 2015/2016 Appello 8 Aprile 2016

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1 Laurea Magistrale in Scienze Statistiche Finanziarie e Attuariali Econometria Finanziaria c.a. A.A. 5/6 Appello 8 Aprile 6 Chi fa il compito relativo alla prima parte di corso (Esercizio e Esercizio ) deve dichiararlo all inizio della prova e abbandonare l aula dopo un ora. Per lo svolgimento della prova completa (Esercizio, Esercizio, Esercizio 3 e Esercizio 4) si ha un massimo di due ore.. Si consideri l output di Gretl nel foglio allegato, relativo alla stima di un modello AR+GARCH per i rendimenti giornalieri del titolo Nike, periodo 5/9/9-5/3/6 (T 374). A. Indicare di che modello si tratta (ovvero l ordine dei ritardi) e scrivere per esteso le equazioni relative sia per il valore atteso che la varianza condizionata. B. Commentare le stime ottenute, prestando particolare attezione alla signi catività dei coe cienti. C. Considerando che r T :, u T : e T :5, calcolare la previsione un passo avanti (^r T + ) e due passi avanti (^r T + ) con relativi intervalli al 95% (si ricorda che il 95-esimo percentile di una Gaussiana standard è.96). D. Scrivere la funzione di verosimiglianza corrispondente al modello stimato. E. Si ricavi la stima della varianza non condizionata (unconditional) del modello. F. Si immagini, in ne, che ^" t ^u t ^ t, t ; :::; T sia la serie storica dei "residui standardizzati" ottenuti dalla stima del modello (si ricordi che nel GARCH abbiamo u t t " t, " t iidd, dove D è la distribuzione utilizzata nella stima, generalmente una normale standard o una t-student). Come si potrebbe utilizzare la serie storica dei residui standardizzati ^" t, t ; :::; T, per testare la validità del GARCH stimato? SOLUZIONE A. Il modello riportato nell output è un AR()+GARCH(,): r t + r t + u t u t t t ; t i:i:d:n(; ) t! + u t + t B. La risposta poteva variare in base al livello di signi catività scelto. Se scegliamo per esempio un livello di signi catività pari a : tutti i coef- cienti risultano statisticamente diversi da (se si sceglie un livello pari a :5 allora il coe ciente risulta non statisticamente diverso da per cui non sarà da utilizzare nelle previsioni). C. Dati :; :45;! :34; :7; :8936; r T

2 :; u T :; T :5 ^r T + E t (r T + jf T ) E t ( + r T jf T ) + r T ^ + ^ r T :37 ^r T + E t (r T + jf T ) E t ( + r T + jf T ) E t ( + ( + r T )jf T ) + + r T ^ + ^ ^ + ^ r T :8 ^ T + E t ( T +jf T ) E t (! + u T + T jf T )! + u T + T ^! + ^^u T + ^^ T :4879 ^ T + E t ( T +jf T ) E t (! + u T + + T +jf T )! + E t (u T +jf T ) + E t ( T +jf T )! + ( + )(! + u T + T ) ^! + (^ + ^)(^! + ^^u T + ^^ T ) :4695 D. Funzione di verosimiglianza: logl() l t () t C (! + u t + t ) t t (r t r t )! + u t + t E. E t ( t ) E t (! + u t + t ) ^! ^ ^ :9375! F. ^z t ^u t ^ t I residui standardizzati ^z t, come in una regressione lineare classica possono essere utilizzati come strumento per valutare la bontà di adattamento del modello stimato. I residui stimati dovrebbero risultare incorrelati e con la stessa distribuzione che si è ipotizzata nella stima. Anche i residui standardizzati al quadrato (^z t ) dovrebbero essere incorrelati. Noi conosciamo strumenti per veri care l incorrelazione seriale quali lo studio del correlogramma, il Q-test di Ljung e Box ecc.. Si spieghi qual è l utilità dei modelli ARCH/GARCH nell analisi dei fenomeni nanziari. 3. Si consideri il seguente PV model per prezzi (P t ) e dividendi (D t ): P t E t P t+ + D t + u t ()

3 dove u t è una di erenza di martingala (MDS) rispetto al set informativo al temp t, e è un parametro. Si consideri inoltre il modello VAR: Pt a Pt " P + t D t a D t " D () t Z t A Z t " t " P t ; P P;D A " D t D A. Si dica quali restrizioni (condizioni) devono valere sui parametri del VAR in eq. () a nchè il modello sia stazionario (si ricorda che gli autovalori di una matrice diagonale corrispondono agli elementi sulla diagonale principale). B. Ignorando per il momento il modello PV, si dica a quali ipotesi corrispondono gli "zeri" nella matrice A del VAR in eq. () e si discuta un possibile modo che un econometrico potrebbe utilizzare per veri care la validità di tali ipotesi (non c e bisogno di fare lunghe derivazioni). C. Ipotizzando che a 6 ; si derivino le restrizioni che il modello PV in eq. () comporta sui parametri del VAR in eq. () (nel farlo si ricordi che A (a ) (a ) ). D. Si dica quale condizione deve soddisfare il parametro a nchè il VAR sia stazionario anche sotto i vincoli del modello PV. E. Qual è il numero dei vincoli derivati nel punto C? Si discuta un possibile test per veri care la validità del modello PV tramite il VAR. F. Si ri-consideri il modello PV in eq. () ma in forma "esatta" (cioè con u t a.s.) e si provi nuovamente a derivare le restrizioni che questo comporta sul VAR in eq. (). Sapreste spiegare cosa succede e perchè succede? (Va bene una spiegazione intuitiva). SOLUZIONE A. Nel caso speci co, gli autovalori della matrice A corrispondono agli elementi diagonali. Il VAR() è già in forma compagna per cui l inverso delle radici dell equazione caratteristica corrospondono esattamente a a e a. Quindi a nchè il VAR sia stazionario deve accadere ja j < (- < a < ) e ja j < (-< a < ). B. Gli zeri della matrice A corrispondono rispettivamente alle ipotesi di assenza di Granger causality dei dividendi rispetto ai prezzi (a ) e dei prezzi rispetto ai dividendi (a ). Per veri care statisticamente queste due ipotesi si potrebbe stimare il modello VAR senza nessun tipo di restrizioni (considerando quindi anche i parametri a e a ) e calcolare un test di Wald per l ipotesi nulla a & a. Il test è distribuito asintoticamente come un (). Alternativamente si potrebbe calcolare un test del rapporto di verosimiglianze, stimando prima il modello VAR senza nessun tipo di vincolo (in tal caso si stimano parametri liberi) e poi il VAR sotto le ipotesi di assenza di Granger causality (in tal caso si stimano +3 5 parametri liberi). Il test del rapporto di versomiglianze è distribuito asintoticamente come un (), dove

4 C. Per derivare le restrizioni è su ciente condizionare l equazione originaria rispetto al tempo t : E t P t E t P t+ + E t D t + E t u t dove E t u t, e poi ri-formulare le expectations del modello PV in termini di VAR forecasts, ottenendo: che corrisponde a (; )AZ t (; )A Z t + (; )AZ t (; )A (; )A (; )A (; ): Dopo aver fatto un po di semplici calcoli, ci si accorge che le restrizioni di cui sopra si riducono a a a : (Si noti un fatto importante. Sotto tali restrizioni, la matrice A non è invertibile!!! Quindi non è corretto in tal caso sempli care l espressione in (; )A (; )A (; )A (; ) (; ) (; )A (; ) (; )A (; ) proprio perchè A non è invertibile sotto i vincoli del PV model! ). D. Sotto i vincoli del PV model, abbiamo che a e a, per cui gli autovalori della matrice A sono e, rispettivamente. Quindi, se > (o volendo jj > ), avremo che la condizione di stabilità (stazionarietà) del VAR è ancora soddisfatta. E. Con le restrizioni a a abbiamo un solo vincolo sui parametri della matrice A, cioè abbiamo "forzato" solo a ad essere pari a zero; qualcuno potrebbe obiettare che abbiamo posto un vincolo implicito anche su a ma si ricordi che se > (o volendo jj > ) a è comunque vincolato alla diseguaglianza che garantisce la stabilità del VAR sia sotto la nulla del PV model che sotto l alternativa. Più precisamente, si osservi che la stima del parametro del PV model può essere ottenuta stimando il VAR sotto il vincolo a e poi usando ^ (^a ). Un possibile test per il vincolo di cui sopra è un test del rapporto di verosmiglianza: prima si stima il VAR con parametri (a ; a e ) e si ottiene la corrispondente verosimiglianza; poi si stima il VAR con parametri (a e ) e si ottiene la corrispondente verosimiglianza. Il test del rapporto di versomiglianza confronta le due versomiglianze. La 4

5 statistica testa sarà distribuita asintoticamente come un (), dove 5-4. F. Se il modello teorico è dato dal PV "esatto": usando il VAR otteniamo che corrisponde alle restrizioni P t E t P t+ + D t (; )Z t (; )AZ t + (; )Z t (; ) (; )A (; ) (; ): Semplici passaggi algebrici portano al seguente set di vincoli. a Questi vincoli sono quantomeno "strani", in quanto se fossero veri il PV model collasserebbe all equzione P t, mentre il VAR avrebbe un autovalore in nito (esplosivo)!! Perchè si presenta questo fenomeno? Si riscriva l equazione P t E t P t+ + D t nella forma P t (P t+ t+ ) + D t dove abbiamo usato la semplice scomposizione: P t+ E t P t+ + t+, dove t+ è una MDS rispetto alla ltrazione al tempo t. L equazione precedente può quindi essere ri-scritta nella forma ovvero, datando tutto al tempo t : P t+ P t D t + t+ P t P t D t + t : Confrontiamo ora questa equazione con la prima equazione del VAR (che incorpora l ipotesi di assenza di Granger Causality da dividendi a prezzi): P t a P t + " P t : E evidente che queste due equazioni saranno sempre "incompatibili" tra loro: la prima assume che D t causi nel senso di Granger P t, mentre la seconda per costruzione esclude questa possibilità. Da qui "l assurdità" delle restrizioni derivate al punto F. 4. Si discuta il concetto di cointegrazione tra due serie storiche, spiegando perchè può essere importante nell analisi dei fenomeni economici e - nanziari. 5