Modelli per variabili dipendenti limitate. Amedeo Argentiero.

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1 Modelli per variabili dipendenti limitate Amedeo Argentiero

2 Problema 1. Si desidera stimare la probabilità di accadimento di un evento (essere disoccupato, probabilità di sposarsi, essere razionato sul maercato del credito); 2. Nella realtà però non si osserva la probabilità, ma un determinato attributo (persona disoccupata/non disoccupata, sposato/non sposato, razionato/non razionato)

3 Variabili dipendenti discrete Si osserva la realizzazione di una variabile discreta Y che assume valore: oy=1 in presenza dell attributo; oy=0 in assenza dell attributo In termini econometrici rileva conoscere: op(y=1 X): probabilità dell evento Y=1, dato un set di variabili esplicative X

4 Modello lineare di probabilità Yi=a+bXi+ui Y è una dummy=1 se la famiglia è proprietaria X=reddito u=errore, E(u)=0 E(Yi Xi)= a+bxi= Pr(Yi=1 Xi): valore atteso conditionato ad un set di regressori Xi

5 Modello lineare di probabilità: un analisi scatter della dipendente

6 Modello lineare di probabilità: retta di regressione

7 Modello lineare di probabilità: retta di regressione, considerazioni La retta di regressione attraversa zone di maggiore concentrazione, ma il «fit» non è molto buono, il valore di R^2 si mantiene basso; L unica eccezione sarebbe il caso di totale concentrazione nelle zone di attraversamento della retta; L intercetta può essere negativa!; I valori predetti possono essere negativi o maggiori di 1; I coefficienti di regressione possono avere significati poco verosimili: ad un incremento unitario del reddito, possono corrispondere elevate variazioni della probabilità di detenere un immobile!; I residui sono non normali ed eteroschedastici

8 Fatti stilizzati La relazione tra variabili esplicative e probabilità è sovente di tipo NON lineare; La probabilità di possedere una casa in relazione al reddito posseduto dipende dal livello di reddito!

9 Soluzione La probabilità deve essere compresa tra 0 ed 1; La relazione tra probabilità e variabili esplicative deve essere non lineare. Le funzioni di distribuzione cumulate normalmente utilizzate sono quella NORMALE e quella LOGISTICA

10 Distribuzione cumulata logistica

11 Regressione logistica: la procedura 1. L=a+bX; 2. P=e^L/(1+e^L); 3. 1-P=1/(1+e^L); 4. Calcolare l odds ratio: P/(1-P)=e^L; 5. Calcolare il ln dell odds ratio: L

12 Considerazioni La trasformazione logistica ci permette di avere una relazione lineare tra la nuova variabile dipendente (espressa in logits L ) e la variabile esplicativa X: L=ln(P/1-P)=a+bX Tale relazione implica una relazione NON lineare tra PROBABILITA ed X: P=e^(a+bx)/(1+e^(a+bX))

13 Interpretazione della regressione logistica L=a+bX+e; Il coefficiente b rappresenta la variazione in E(L) al variare di X (se X è una variabile continua b è la derivata di E(L) rispetto a X). Gli effetti di X su L sono LINEARI e ADDITIVI L interpretazione di b è la stessa che viene data in ogni retta di regressione, MA l interpretazione degli effetti di X risultano meno intuitivi

14 Interpretazione della regressione logistica (2) Vogliamo conoscere gli effetti di X (reddito) sulla probabilità di possedere una casa (P); Per cui dobbiamo convertire l effetto stimato di X su L (cioè b)(δl/δx) nell effetto di X su P (δp/δx); Ma δp/δx=b*p*(1-p); L effetto di X su P non è costante: dipende dal livello di P (che a sua volta dipende dal livello di X!)

15 Modello probit Si parte dalla funzione di ripartizione cumulata normale che è di tipo non lineare e ha codominio compreso tra 0 e 1;

16 Regressione probit: la procedura e l interpretazione Trasformiamo probabilità (limitate tra 0 e 1) in Z-scores (valori critici della distribuzione normale standardizzata), che variano tra e + ; Gli Z-scores rappresentano la variabile dipendente nel modello probit; Tale trasformazione esprime una relazione lineare tra la nuova variabile dipendente (espressa in Probits Z ) e la variabile esplicativa X: Z= Φ^-1(P) =a+bx; Tale relazione implica una relazione NON lineare tra PROBABILITA ed X; δp/δx=b*φ(z); L effetto di X su P non è costante: dipende dal livello di Z (che dipende da X, infatti Z =a+bx)

17 Stima dei parametri e verifica di ipotesi In assenza di omoschedasticità dei residui e di linearità è necessario applicare il metodo della massima verosimiglianza; La soluzione della procedura di massimizzazione tuttavia NON è in forma chiusa ma richiede metodi numerici iterativi; Tali stime risultano asintoticamente corrette, efficienti e normalmente distribuite; La verifica delle ipotesi sui coefficienti avviene mediante test LR

18 Grazie per la vostra attenzione