Analisi statistica delle funzioni di consumo

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1 Analisi statistica delle funzioni di consumo Matteo Pelagatti 8 febbraio 28 Indice Elementi di teoria delle funzioni di consumo 2. Analisi statica Analisi dinamica Analisi empiriche 4 2. Prodotto interno lordo e spesa aggregate delle famiglie Prodotto interno lordo e spese alimentari delle famiglie Sommario Con la presente breve dispensa si introduce lo studente all analisi empirica delle funzioni di consumo. Nella prima parte si propone un ripasso delle forme funzionali statiche e dinamiche più diffuse delle curve di consumo; nella seconda parte si analizzano dati reali per mezzo di tecniche di regressione per dati economici. I prerequisiti per la comprensione del contenuto di questa dispensa sono nozioni elementari di regressione lineare sotto le ipotesi classiche, regressione lineare con errori autocorrelati, regressione lineare di serie storiche integrate. Lo studente sprovvisto di tali nozioni può recuperarle attraverso la breve dispensa dal titolo La regressione lineare applicata a dati economici disponibile sul sito e-learning di questo corso. In un esempio viene presentata la regressione non lineare, che complementa le nozioni di regressione date per note.

2 Elementi di teoria delle funzioni di consumo. Analisi statica Questo filone di ricerca, il cui iniziatore può essere considerato Keynes, si propone di studiare l andamento del consumo in funzione (principalmente) del reddito: C = c(r), oppure C i = c(r), dove i è un particolare settore (o bene) di consumo. Alcune quantità cui si farà spesso ricorso nell analisi delle varie funzioni di consumo sono le seguenti: propensione media al consumo: quota di reddito dedicata al consumo: c(r) = C R, propensione marginale al consumo: quota di un (piccolo) incremento di reddito dedicata al consumo: c (R) = dc dr, elasticità del consumo rispetto al reddito: crescita relativa del consumo in funzione della crescita relativa del reddito: e(r) = dc dr R C = c (R) c(r). Analizziamo ora le principali forme utilizzate per c( ) e le loro proprietà. Formulazione Keynesiana (funzione lineare) con α e β (, ), da cui si ha: C = α + βr, c(r) = α R + β c (R) = β e(r) = βr α + βr. Si noti che in questo caso la quota di un incremento di reddito utilizzata per il consumo è costante (β) e un ricco consuma la medesima quota dell incremento di reddito di un povero. Questa ipotesi può sembrare irrealistica, tuttavia quando si utilizzano le serie storiche di dati aggregati sembra essere valida. Quando, invece l analisi è fatta su dati cross-section, cioè su un insieme di individui o famiglie intervistati ad una dato tempo t, allora tale ipotesi non è supportata dai dati. Ciò non è contradditorio, ma presuppone solamente che, se da un lato un povero ha una propensione marginale al consumo più alta di un ricco, un paese tende a mantenere la medesima quota di consumo rispetto al reddito, anche quando quest ultimo cresce nel tempo. 2

3 Funzione semilogaritmica con β >, da cui si ha: C = α + β ln R, c(r) = (α + β ln R) R c (R) = β R β e(r) = α + β ln R. In questo caso, la propensione marginale al consumo è decrescente rispetto al reddito e quindi un povero tende a consumare una quota maggiore del proprio incremento di reddito di un ricco. Un difetto della semilogaritmica è che inizialmente (per R vicino a ) la propensione media al consumo (la quota di reddito dedicata al consumo) cresce con il reddito, tuttavia ciò potrebbe non essere un problema se per il reddito più basso disponibile in una analisi dei dati la propensione media fosse già decrescente. Funzione funzione logaritmica o doppio-logaritmica ln C = α + β ln R, con β >, che ovviamente equivale a C = e α R β da cui si ricava: c(r) = e α R β c (R) = βe α R β e(r) = β. Per questa funzione l elasticità della domanda al reddito è costante, mentre propensione media e marginale sono proporzionali tra loro e decrescenti in R se e solo se β < (si ricordi che si è posto β > ). Pertanto questa funzione ha un significato economico solo se < β <..2 Analisi dinamica Quando si suppone che la relazione tra reddito e consumo sia descritta da una funzione del tipo C t = c(r t ) come nel precedente paragrafo, si sta assumendo che le decisioni di consumo per l anno t avvengono in funzione esclusivamente in funzione del reddito del medesimo anno R t (oltre che di eventuali altri fattori). Questa ipotesi è poco verosimile, infatti un consumatore razionale cercherà di adattare il proprio consumo a quello che ritiene essere il suo reddito di lungo periodo, e reagendo poco a variazioni di reddito che ritiene transitorie. Se l informazione principale sul reddito di lungo periodo fosse contenuta prevalentemente degli ultimi h anni di redditi, e limitandoci ad usare la funzione lineare, un modello in grado di cogliere quanto descritto è il modello a ritardi distribuiti: C t = α + β R t + β R t β h R t h. 3

4 Se vi fosse un aumento unitario una tantum di reddito al periodo t = τ, il consumo aumenterebbe in quel periodo di β, nel periodo successivo t = τ + di β e così via, ma dal periodo t = τ + h + in poi quell incremento una tantum non avrebbe più alcun effetto sul consumo. I coefficienti β i rappresentano quindi la propensione al consumo su variazioni di reddito avvenute a ritardi diversi. Se invece il reddito aumenta definitivamente di un unità, allora dopo h o più periodi la variazione del consumo sarà di β s = β + β +... β h, che infatti prende il nome di propensione marginale al consumo di lungo periodo. Alternativamente, al fine di contenere il numero di parametri del modello, si può utilizzare un modello di tipo autoregressivo: C t = α + βr t + φc t. Infatti, sostituendo ricorsivamente si ottiene C t = α + β(r t + φr t + φ 2 R t φ h R t h ) + φ h+ C t h, e nel caso φ < i coefficienti φ i decrescono con i fino a convergere a zero, col risultato che sia il livello di consumi che variazioni temporanee di reddito remote nel tempo non hanno più alcun effetto sulle decisioni di consumo attuali. Da un punto di vista economico la condizione φ < deve sussistere dato che non ha senso che un incremento transitorio di reddito abbia una influenza permanente sul livello di consumo. 2 Analisi empiriche 2. Prodotto interno lordo e spesa aggregate delle famiglie Dal volume Istat Contabilità nazionale. Conti economici nazionali. Anni 97-25, Tavola, si sono estratte le serie storiche del Prodotto interno lordo a prezzi di mercato (PIL) e delle Spese delle famiglie residenti (CONS), il tutto a prezzi correnti. Ai fini della nostra analisi l utilizzo dei dati nominali (prezzi correnti) piuttosto che reali (prezzi costanti) non ha conseguenze, dato che entrambe le quantità subiscono la medesima inflazione. I grafici a dispersione in Figura mostrano i grafici a dispersione e la retta di regressione per le tre funzioni di consumo esaminate nel precedente paragrafo. Evidentemente la relazione semi-logaritmica è da scartare. Per quanto riguarda la relazione lineare e quella doppio-logaritmica è necessario indagare oltre per giungere ad una scelta univoca. Prima di tutto è necessario rendersi conto se le serie storiche sono integrate o stazionarie intorno ad un trend deterministico. Per fare questo eseguiamo i test di radice unitaria (integrazione) ADF e di stazionarietà KPSS. Gretl consente di eseguire il test ADF permettendo trend deterministici di tipo lineare e quadratico. Dato che stiamo lavorando su dati nominali, ci aspettiamo una notevole crescita delle quantità dovuta alla svalutazione della moneta e quindi eseguiamo i test consentendo anche un trend quadratico. 4

5 75 Funzione Keynesiana (lineare) CONS PIL Funzione semi logaritmica CONS LPIL Funzione (doppio ) logaritmica 4 LCONS LPIL Figura : Grafici a dispersione e retta di regressione per le variabili: a) PIL-CONS, b) ln(pil)-cons, c) ln(pil)-ln(cons). I risultati della Tabella tendono a rilevare la presenza di radici unitarie (processi integrati) indipendentemente dal trend utilizzato e dalla trasformazione applicata alla variabile. A questo punto, è importante verificare se esistano relazioni di cointegrazione tra le variabili grezze o tre le variabili in metrica logaritmica. Confrontando i grafici degli errori delle dure regressioni mostrati in Figura 2 sembra che abbiano un comportamento più stazionario quelli relativi al modello doppio-logaritmico. Applicando il test ADF agli errori si ottiene ADF =.46 per il modello lineare e ADF = 3., con soglie critiche al %, 5%, %, ripsettivamente pari a -3.96, -3.37, Tuttavia, come è stato già fatto notare nella dispensa sulla regressione, quando il campione è di ampiezza moderata (qui n = 36) tali test tendono a essere poco potenti, pertanto non rigettare l ipotesi nulla potrebbe essere dovuto ad un alta probabilità di errore di prima specie (accettare quando l ipotesi nulla è falsa). Questa affermazione è confermata dall instabilità dei risultati quando si applica il test di cointegrazione di Johansen (non spiegato in questo corso), che a 5

6 Test ADF (p-values) KPSS (statistica ) Variabile trend lineare trend quadratico trend lineare PIL LPIL CONS LCONS Il valore critico al 5% è.46, quello all % è.26. Tabella : p-values per il test ADF con trend lineare e quadratico. 5 Residui della regressione (= CONS osservata - stimata).25 Residui della regressione (= LCONS osservata - stimata) Residuo Residuo Figura 2: Errori di regressioni stimato per il modello lineare e quello doppio logaritmico. seconda della versione applicata ai dati in questione, fornisce risposte diverse (una relazione di cointegrazione vs. stazionarietà delle serie attorno ad un trend). Per quanto detto, si può ritenere che i residui della regressione del modello doppio-logaritmico possano essere ritenuti stazionari, tanto più che in essi si possono rilevare chiaramente i movimenti congiunturali dovuti alle crisi petrolifere degli anni 7 e alla profonda crisi dell inizio degli anni 9. Le stime OLS con errori standard robusti alla correlazione seriale sono riportati in tabella 2. La statistica di Durbin-Watson (.4) minore di 2 e il coefficiente di autocorrelazione di prim ordine prossimo a.5 (oltre che la Figura 2), ci suggeriscono di indagare la struttura di correlazione degli errori di regressione. In Figura 3 è riportato il correlogramma, e la prima correlazione risulta significativamente diversa da zero. In realtà i test t in Tabella 2 sono già utilizzabili, in quanto basati su errori standard HAC. Tuttavia è sempre consigliabile provare a modellare anche l autocorrelazione degli errori. Proviamo quindi a stimare il medesimo modello di regressione, ma con errori AR(). L output del modello regressivo con errori AR() è mostrato in Tabella 3. I valori dei coefficienti stimati sono pressoché i medesimi del modello puramente regressivo. Anche le conclusioni dei test di significatività sono le medesime. Correlogramma e statistica di Ljung-Box (non riportati) confermano la bontà del modello. 6

7 Stime OLS usando le 36 osservazioni Variabile dipendente: LCONS Errori standard robusti rispetto alla correlazione seriale, ordine di ritardo 2 Variabile Coefficiente Errore Std. statistica t p-value const LPIL Media della variabile dipendente D.S. della variabile dipendente.8698 Somma dei quadrati dei residui Errore standard dei residui (ˆσ).6975 R R 2 corretto Gradi di libertà 34 Statistica Durbin-Watson.478 Coefficiente di autocorrelazione del prim ordine Log-verosimiglianza 3.36 Criterio di informazione di Akaike Criterio bayesiano di Schwarz Criterio di Hannan-Quinn 22.5 Tabella 2: Stime OLS con errori standard HAC di ln(cons) su ln(pil) e costante. Osservazioni Un modo per svelare la regressione spuria dovuta alla regressione di un processo integrato su uno o più processi integrati, ma tra loro non cointegrati consiste nell inserire nella regressione una struttura autoregressivi (per es. un AR()) nei residui di regressione. Nel nostro caso, l inserimento dell errore AR() nella regressione non ha cambiato la significatività della variabile ln(pil), che rimane altamente significativa. Dato che per le identità di contabilità nazionale PIL = CONS + INV IMPORT + EXPORT, nella regressione ln CONS = β + β ln PIL + ε t, l errore di regressione ε t non può essere incorrelato con il regressore. Ciò viola una delle condizioni sotto le quali il metodo OLS fornisce stime consistenti. Tuttavia, come già notato nella dispensa sulla regressione, quando vi è presenza di cointegrazione tra le serie storiche, gli stimatori OLS tornano ad essere consistenti anche in mancanza dell ipotesi di indipendenza dei regressori dall errore. La relazione da noi stimata tra consumo e reddito nazionale è data da ln C = ln R, 7

8 ACF dei residui /T^ Ritardo PACF dei residui /T^ Ritardo Figura 3: Autocorrelogramma errori di regressione modello doppio-logaritmico. ovvero C =.57R, che quindi si riduce al modello lineare di Keynes con costante nulla. Il fatto che si sia dovuti passare attraverso a una trasformazione logaritmica delle variabili è dovuto quindi solamente al miglior comportamento della parte stocastica del modello sulle variabili trasformate. Le funzioni collegate a questa funzione di consumo sono c(r) =.57 c (R) =.57 e(r) =. Pertanto il consumo aggregato è proporzionale al reddito nazionale e propensione media e marginale sono pari alla costante.57, mentre l elasticità è unitaria. 2.2 Prodotto interno lordo e spese alimentari delle famiglie Si è visto nell analisi condotta nel paragrafo precedente che in Italia, negli ultimi 35 anni, le spese aggregate delle famiglie sono cresciuto proporzionalmente al reddito nazionale lordo. Nondimeno, ci si può aspettare che la composizione di tali spese si sia modificata nel tempo. Da un lato perché nuovi prodotti si sono nel tempo d Si noti che ln C è la media condizionata di ln C, dato R e che la media condizionata di C dato R è, sotto normalità, Ĉ = exp{ d ln C +.5σε}, 2 dove σε 2 è la varianza di ε t, che nella nostra stima è trascurabile (.). 8

9 Stime ARMAX usando le 36 osservazioni Variabile dipendente: LCONS Variabile Coefficiente Errore Std. statistica t p-value const φ LPIL Media della variabile dipendente D.S. della variabile dipendente.8698 Media delle innovazioni.486 Varianza delle innovazioni e-5 Log-verosimiglianza 7.86 Criterio di informazione di Akaike Criterio bayesiano di Schwarz Criterio di Hannan-Quinn Tabella 3: Stima regressione con errori AR(). affacciati sul mercato e diffusi (si pensi ad esempio al TV-color negli anni 7, al VCR, al CD e al PC negli anni 8, ai telefonini e ai servizi legati a Internet negli anni 9, ecc.), dall altro perché i prezzi relativi dei beni e l effetto reddito hanno modificato il mix dei consumi delle famiglie italiane. Ci si può quindi chiedere quale forma abbia la funzione di consumo per gli alimentari, cui è naturale associare una spesa che cresce meno che proporzionalmente rispetto al reddito. Più tecnicamente, ci si aspetta una propensione media e marginale al consumo decrescenti. In Figura 4 sono mostrate le tre funzioni introdotte nella parte terorica e la funzione radice quadrata C = α + βr /2, con β >. Tale funzione è stata introdotta puramente per motivi empirici, dato che nessuna delle precedenti funzioni sembra rappresentare adeguatamente il legame tra spesa in alimentari e reddito. Le funzione derivate rilevanti sono c(r) = α R + β R /2 c (R) = β 2R /2 βr /2 e(r) = 2α + 2βR /2, e le propensioni media e marginale sono decrescenti in R. Se si è disposti a abbandonare la linearità nei parametri dei modelli visti fin qui, si può generalizzare la funzione appena vista a C = α + βr γ, 9

10 Funzione Keynesiana (lineare) ALIM PIL Funzione semi logaritmica ALIM LPIL Funzione (doppio ) logaritmica LALIM LPIL Funzione radice quadrata ALIM PIL / Figura 4: Grafici a dispersione e retta di regressione per le variabili: a) PIL-ALIM, b) ln(pil)-alim, c) ln(pil)-ln(alim), d) PIL-ALIM. con c(r) = αr + βr γ c (R) = βγr γ e(r) = βγrγ α + βr γ. Tale funzione non può essere linearizzata in alcun modo e pertanto richiede un software in grado di stimare modelli non lineari per mezzo dei minimi quadrati (spesso detti NLS = nonlinear least squares). In generale un modello di regressione non lineare assume la forma y t = h(x t, β) + ε t, dove h(, ) è una funzione arbitraria (con le prime due derivate continue), x t è il vettore dei regressori, β è un vettore di parametri da stimare e ε t è l errore di regressione. Sotto le assunzioni classiche su ε t gli NLS godono delle medesima proprietà degli OLS, e i risultati legati al venire meno di alcune ipotesi sono analoghi a quanto visto per la regressione lineare. Gretl consente la stima di modelli non lineari per mezzo del menu NLS. Per impostare la stima NLS del nostro modello in Gretl è necessario il seguente codice da immettere nella procedura NLS: genr alpha = genr beta = 7

11 genr gamm =.5 ALIM = alpha + beta * PIL^gamm deriv alpha = deriv beta = PIL^gamm deriv gamm = beta * PIL^gamm * log(pil) dove, le prime tre righe fissano i valori iniziali dei parametri da stimare 2, che qui sono basato sulla regressione OLS di ALIM sulla radice quadrata di PIL, la quarta riga rappresenta il modello e le ultimi tre righe forniscono le derivate della funzione non lineare rispetto ai tre parametri. Il calcolo analitico delle derivate non è strettamente necessario, infatti, nel caso le derivate non siano fornite dall utente, esse vengono approssimate numericamente, tuttavia se le derivate sono disponibili analiticamente l algoritmo è più veloce e i risultati più stabili. L output della stima del nostro modello è mostrata in Tabella 4. Stime NLS usando le 36 osservazioni Variabile dipendente: ALIM Errori standard robusti rispetto all eteroschedasticità, variante HC Parametro Stima Errore Std. statistica t p-value α β gamm Media della variabile dipendente D.S. della variabile dipendente Somma dei quadrati dei residui e+7 Errore standard dei residui (ˆσ) R Criterio di informazione di Akaike Criterio bayesiano di Schwarz Criterio di Hannan-Quinn Tabella 4: Stime NLS della funzione di regressione ALIM = α + βpil γ + ε Gli errori di regressione stimati (Tabella 5) sembrano stazionari 3 e pertanto possiamo ritenere la serie ALIM cointegrata con PIL γ. Negli errori è presente autocorrelazione al ritardo. Il modello può essere completato consentendo all errore di regressione di essere AR(). Per potere inserire la corretta specificazione nel software si noti che 2 Le procedure di stima non lineari sono basate su algoritmi numerici che hanno bisogno di valori iniziali, da cui partono nella ricerca del minimo. 3 Qui non è possibile applicare il test di Engle-Granger per la cointegrazione, dato che non sono state prodotte tavole dei valori critici per la regressione non lineare del tipo utilizzato.

12 -5 2 Residui della regressione (= ALIM osservata - stimata) ACF dei residui +-.96/T^ Residuo Ritardo PACF dei residui /T^ Ritardo Figura 5: Errori di regressione non lineari stimati e relativo autocorrelogramma. l equazione che si vuole stimare ha forma con y t = α + βx γ t + η t, η t = φη t + ε t. Risolvendo la prima equazione per η t e sostituendo della seconda si ottiene e risolvendo per y t si ha y t α βx γ t = φ(y t α βx γ t ) + ε t, y t = α + βx γ t + φ(y t α βx γ t ) + ε t. Una volta create le variabili ritardate y t e x t, quest ultima equazione è un modello di regressione non lineare e può essere stimato con gli NLS. La sintassi per Gretl è genr alpha = genr beta = 7 genr gamm =.5 genr phi =.8 ALIM = alpha + beta*pil^gamm + phi*(alim_ - alpha - beta*pil_^gamm) deriv alpha = - phi deriv beta = PIL^gamm - phi*pil_^gamm deriv gamm = beta*pil^gamm*log(pil) - phi*beta*pil_^gamm*log(pil_) deriv phi = ALIM_ - alpha - beta*pil_^gamm L output per il modello non lineare autoregressivo è mostrato in Tabella 5. Tutti i coefficienti sono significativi e il coefficiente γ è significativamente diverso da 4, condizione che farebbe del nostro modello un modello lineare. La funzione di autocorrelazione è compatibile con l ipotesi che l errore di regressione non sia autocorrelato (Figura 6), e infatti il Ljung-Box (a ritardo 7) è non significativo (Q(7) = 6.6, p-value =.538 >.5). 4 Il valore non è incluso nell intervallo [ˆγ.96 Errore Std.(ˆγ), ˆγ +.96 Errore Std.(ˆγ)] 2

13 Stime NLS usando le 35 osservazioni Variabile dipendente: ALIM Errori standard robusti rispetto all eteroschedasticità, variante HC Parametro Stima Errore Std. statistica t p-value α β γ φ Media della variabile dipendente D.S. della variabile dipendente Somma dei quadrati dei residui.67376e+7 Errore standard dei residui (ˆσ) R Criterio di informazione di Akaike Criterio bayesiano di Schwarz Criterio di Hannan-Quinn Tabella 5: Stime del modello non lineare autoregressivo. In Figura 7 si riporta la funzione di consumo di alimentari stimata, la propensione media al consumo di alimentari media e marginale e l elasticità del consumo di alimentari al reddito. Si invita lo studente a riflettere sui limiti che una tale funzione di consumo presenta dal punto di vista economico. 3

14 ACF dei residui /T^ Ritardo PACF dei residui /T^ Ritardo Figura 6: Autocorrelogramma degli errori del modello non lineare autoregressivo Figura 7: Funzione di consumo di alimentari (sopra, sinistra), propensione media (sopra destra), propensione marginale (sotto, sinistra) ed elasticità (sotto, destra). 4