Esercitazioni ENS del 10-12/06/2008

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1 Esercitazioni ENS del 10-12/06/2008 M. Nicoli 1 Periodogramma: esempi in Matlab Data una sequenza x n di N campioni, suddivisa in L sottosequenze x ( ) n (con o senza sovrapposizioni) ognuna di M campioni, il periodogramma S(k) ottenuto mediante finestra w n (di M campioni) è definito come: dove e U tiene conto della finestra utilizzata: Ŝ(k) = 1 L n=0 LX Ŝ (k) (1) =1 Ŝ (k) = 1 M 1 X x n ( ) w U n e j 2π nk M U = M 1 X n=0 2 (2) w 2 n. (3) Nel caso di finestra rettangolare si ottiene U = M, S (k) = M 1 PM 1 n=0 x( ) n e j 2π nk 2 M = Xk 2 /M,con {X k } K 1 k=0 DFT di {x( ) n } M 1 n=0. La finestra w n e la lunghezza M delle sottosequenze determinano la polarizzazione della stima mentre il numero di sottosequenze L determina la varianza del periodogramma. Una possibile funzione Matlab per il calcolo del periodogramma Ŝ(k) è la seguente (consideriamo per semplicità sottosequenze senza sovrapposizioni): function [S,f]=periodogramma(x,M,window) %[S,f]=periodogramma(x,M,window) %Ingressi: %x è l osservazione %M è la lunghezza delle sottosequenze %window è la finestra di lunghezza M: %es: boxcar(m) [finestra rettangolare], bartlett(m) [finestra triangolare], hanning(m),blackman(m) %Uscite: %S è il periodogramma %f è l asse delle frequenze normalizzate corrispondente ai campioni di S N=length(x);%numero di campioni osservati L=floor(N/M);%numero di sottosequenze Nfft=M; %numero di campioni della FFT da calcolare if (mod(nfft,2)==0) %se Nfft è pari Lx=Nfft/2+1; %numero di frequenze nel semiasse positivo (da DC a Nyquist) else Lx=(Nfft+1)/2; %numero di frequenze nel semiasse positivo (da DC a frquenza antecedente il Nyquist) f=[0:1/nfft:0.5]; %asse delle frequenze S=zeros(Lx,1); %inizializzazione periodogramma U=sum(window.^2); %fattore di scala %zero padding (serve se L*M>N) 1

2 x=[x;zeros(l*m-n,1)]; for l=1:l %per ogni sottosequenza viene calcolato il periodogramma xl=x(1+(l-1)*m:l*m).*window; Sl=(abs(fft(xl,Nfft)).^2)/U; Sl=Sl(1:Lx); S=S+Sl; %media S=1/L*S; %divisione per il numero di sottosequenze 1.1 Esempio: Effetto Doppler Caricate il file siren.mat con il comando: load siren Il workspace ora contiene due variabili: sir1 e sir2, che potete ascoltare usando i comandi: fc=44100; sound(sir1,fc); sound(sir2,fc); dove fc=44100hz è la frequenza di campionamento di segnali audio di qualità CD. Come potete sentire, si tratta di una sirena che si sta avvicinando all ascoltatore (sir1) per poi allontanarsi (sir2). Per effetto Doppler, mentre la sirena si avvicina la frequenza del segnale percepito dall ascoltatore cresce mentre decresce quando la sirena si allontana. Verifichiamo quanto detto faco un analisi spettrale del segnale: M=1024; [S1,f]=periodogramma(sir1,M,boxcar(M)); [S2,f]=periodogramma(sir2,M,boxcar(M)); figure; plot(f*fc,10*log10(s1), b,f*fc,10*log10(s2), r ); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Spectral power [db] ); leg( mentre si avvicina, mentre si allontana ); Per evidenziare il fenomeno, osserviamo le frequenze tra 0 e 2.5kHz: set(gca, XLim,[0 2500], YLim,[-30-3]); Lo spettro si è spostato per via dell effetto Doppler. Chi vuole cominciare a prere confidenza con gli effetti sulla polarizzazione e varianza dovuti alla scelta di M (e quindi L per N fissato) e del tipo di finestra, può calcolare il periodogramma modificando i parametri M (per esempio M = 10000) e window nella chiamata alla funzione periodogramma. 1.2 Esempio: Brani musicali Caricate il file music.mat: load music Il workspace ora contiene due variabili chiamate m1 e m2, che potete ascoltare come nell esempio precedente (fc=44100, come sopra). Il primo è una porzione di un brano con alte frequenze, mentre nel secondo predominano le basse frequenze. fc=44100; sound(m1,fc); sound(m2,fc); M=1024; 2

3 [S1,f]=periodogramma(m1,M,boxcar(M)); [S2,f]=periodogramma(m2,M,boxcar(M)); figure; plot(f*fc,10*log10(s1), b,f*fc,10*log10(s2), r ); xlabel( f[hz] ); ylabel( Spectralpower[dB] ); leg( m1, m2 ); title( M=1024 ) M=2048; [S1,f]=periodogramma(m1,M,boxcar(M)); [S2,f]=periodogramma(m2,M,boxcar(M)); figure; plot(f*fc,10*log10(s1), b,f*fc,10*log10(s2)); xlabel( f[hz] ); ylabel( Spectralpower[dB] ); leg( m1, m2 ); title( M=2048 ) 2 Applicazione: Dual-Tone Multi Frequency (DTMF) Le cifre del telefono a toni sono codificate con una coppia di sinusoidi. Premo un tasto viene generato il segnale: y n =cos(2πf r nt )+cos(2πf c nt )+w n, n =0,...,N 1 (4) dove il valore assunto dalle due frequenze f r e f c identifica il tasto premuto secondo lo schema seguente (frequenze in Hz): f r \f c A B. (5) C # D Si assume la presenza di un disturbo casuale Gaussiano bianco w n con varianza σ 2. La frequenza di campionamento è f 0 =8kHz, N è il numero dei campioni, T press = NT è il tempo di osservazione del segnale (cioé il tempo di pressione del tasto). La densità spettrale di potenza del segnale y n è: S(f) = 1 4 [δ(f f r)+δ(f + f r )+δ(f f c )+δ(f + f c )] + σ 2. (6) Per identificare il tasto premuto a partire dal segnale y n, si può stimare la densità spettrale di potenza S(f) con il periodogramma e selezionare i due massimi che corrispondono alle frequenze delle due sinusoidi. Il periodogramma calcolato su N = M campioni con finestra rettangolare è: Ŝ(k) = Y k 2, k =0,...,N 1 (7) N dove {Y k } N 1 k=0 èladftdi{y n} N 1 n=0. Il valore atteso è: i E hŝ(k) = S(f) W B (f) f= k (8) N con W B (f) = 1 N sin 2 (πfn) sin 2 (πf) (9) S(f) W B (f) = 1 4 [W B(f f r )+W B (f + f r )+W B (f f c )+W B (f + f c )] + σ 2. La stima è in generale polarizzata (Ŝ(k) 6= S(f = k/n)), tranne nel caso in cui N ètaleche: f c = k c NT,f r = k r NT. (10) 3

4 con k c e k r interi, per cui si ha: i E hŝ(k) = N 4 [δ(k k r)+δ(k + k r )+δ(k k c )+δ(k + k c )] + σ 2 (11) Nel nostro caso il valore di N che soddisfa la condizione di non polarizzazione è troppo elevato per il calcolo della DFT e quindi la stima è polarizzata. La polarizzazione comunque decresce al crescere di N. E danotare che la varianza del periodogramma è proporzionale alla media e non diminuisce all aumentare di N: i ½ σ Var hŝ(k) = 4, k 6= ±k r, ±k c σ 4 + N (12) 2 σ2, k = ±k r, ±k c Quindi ci si aspetta una forte dispersione sopratutto attorno ai picchi delle due sinusoidi. Per ridurre la dispersione si possono mediare L periodogrammi calcolati su L sottosequenze indipenti di lunghezza M, otteno una riduzione di un fattore 1/L. 2.1 Simulazione segnale y n Si vuole simulare in Matlab l identificazione con periodogramma del tasto premuto. Si consideri per esempio il tasto 4, con T press = 128ms (N = 1024), σ 2 =1.Sisimulailsegnaley n come segue: f0=8000; sigma2=1; fr=[ ]; fc=[ ]; frn=fr/f0; fcn=fc/f0; r=2; c=1; % Tasto 4 N=1024; n=[0:n-1]; w=sqrt(sigma2)*randn(1,n); % Simulazione del rumore y=sin(2*pi*frn(r)*n)+sin(2*pi*fcn(c)*n)+w; % Simulazione della coppia di sinusoidi sound(y,f0); % Generazione del suono 2.2 Calcolo del periodogramma e valutazione di media e varianza Per la stima delle due frequenze associate al tasto si calcola il periodogramma e si confrontano i picchi con i valori di f r e f c della tabella (2): [S,f1]=periodogramma(y,N,boxcar(N)); f=f1*f0; figure; plot(f,s); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Periodogramma S(f) ); hold on; plot(ones(2,1)*fr,[0;max(s)]*ones(1,4), r ); plot(ones(2,1)*fc,[0;max(s)]*ones(1,4), g ); title( N=1024 ) Proviamo ora a diminuire il valore di N: N=128; n=[0:n-1]; w=sqrt(sigma2)*randn(1,n); y1=sin(2*pi*frn(r)*n)+sin(2*pi*fcn(c)*n)+w; sound(y1,f0); [S,f1]=periodogramma(y1,N,boxcar(N)); f=f1*f0; figure; plot(f,s,.- ); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Periodogramma S(f) ); hold on; plot(ones(2,1)*fr,[0;max(s)]*ones(1,4), r ); plot(ones(2,1)*fc,[0;max(s)]*ones(1,4), g ); title( N=128 ) 4

5 Il lobo del seno cardinale ora è più largo ( f =1/N T ), quindi la polarizzazione è aumentata. Si ricorda infatti che il valore medio del periodogramma è la convoluzione di W B (f) con la densità spettrale campionata a passo f, cioé: fi=0:(1/(10*n)):0.5; Sm_a=sigma2+(1/4/N)*((sin(pi*((fi-frn(r))*N))./sin(pi*(fi-frn(r)))).^2+... (sin(pi*((fi+frn(r))*n))./sin(pi*(fi+frn(r)))).^2+... (sin(pi*((fi-fcn(c))*n))./sin(pi*(fi-fcn(c)))).^2+... (sin(pi*((fi+fcn(c))*n))./sin(pi*(fi+fcn(c)))).^2); figure plot(fi*f0,sm_a, b: ); hold on; stem(fi(1:10:)*f0,sm_a(1:10:),.- ); plot(ones(2,1)*fr,[0;max(sm_a)]*ones(1,4), r ); plot(ones(2,1)*fc,[0;max(sm_a)]*ones(1,4), g ); axis([ max([s(:);sm_a(:)])]); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Valore medio del periodogramma S(f) ); Mentre la polarizzazione decresce all aumentare di N, la varianza rimane invariata (σ 4 lontano dai lobi principali). Per verificare media e varianza effettuiamo delle medie su un numero molto elevato di realizzazioni indipenti di segnale: N=128; n=[0:n-1];nsim=1e4; Sm=zeros(size(S));Sqm=zeros(size(S)); for isim=1:nsim w=sqrt(sigma2)*randn(1,n); y=sin(2*pi*fr(r)*n/f0)+sin(2*pi*fc(c)*n/f0)+w; [S,f1]=periodogramma(y,N,boxcar(N)); Sm=S/Nsim+Sm; Sqm=S.^2/Nsim+Sqm; figure; plot(f,s,f,sm,f,sqrt(sqm)); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Periodogramma S(f) ) leg( Periodogramma S(f), Media, Deviazione standard ) 2.3 Dimensionamento del periodogramma Diminuo N aumenta la larghezza del lobo di W B (f) e aumenta la polarizzazione, fino al punto in cui non riesco più a individuare correttamente le frequenze f r e f c. Il valore minimo di N che garantisce il riconoscimento è quello tale per cui le frequenze associate a righe o colonne diverse sono separate da almeno una cella del periodogramma, cioé NT 1. Dalla tabella (5), le due frequenze più vicine sono quelle associate alle righe 1 e 2 (f r,2 = 770Hz e f r,1 = 697Hz), quindi: da cui: f r,2 f r,1 = = 73 1 NT (13) N 1 73 T = 8000 = (14) T press = NT 13.7ms Basta dunque tener e premuto per più di 13.7ms per garantire che il numero venga correttamente identificato. Se invece scegiamo M =55i tasti 1 e 4 non sono distinguibili (anche in assenza di rumore), in quanto associati alle due frequenze di riga f r,1 e f r,2 e alla stessa frequenza di colonna (f c,1 = 1209Hz). La seguente figura mostra il valore medio del periodogramma valutato dalla (8) per il tasto 4 e per N =55: N=55; r=2; c=1; 5

6 fi=0:(1/(10*n)):0.5; Sm_a=sigma2+(1/4/N)*((sin(pi*((fi-frn(r))*N))./sin(pi*(fi-frn(r)))).^2+... (sin(pi*((fi+frn(r))*n))./sin(pi*(fi+frn(r)))).^2+... (sin(pi*((fi-fcn(c))*n))./sin(pi*(fi-fcn(c)))).^2+... (sin(pi*((fi+fcn(c))*n))./sin(pi*(fi+fcn(c)))).^2); figure plot(fi*f0,sm_a, b: ); hold on; stem(fi(1:10:)*f0,sm_a(1:10:),.- ); plot(ones(2,1)*fr,[0;max(sm_a)]*ones(1,4), r ); plot(ones(2,1)*fc,[0;max(sm_a)]*ones(1,4), g ); axis([ max([s(:);sm_a(:)])]); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Valore medio del periodogramma S(f) ); title( Valore medio del periodogramma con N=55 per il tasto 4 ) Dalla figura si vede come il primo massimo risulta associato a f r,1 anziché a f r,2, quindi il segnale viene associato erroneamente al tasto 1. Proviamo a simulare e ascoltare i due segnali generati dai tasti 1 e 4: N=55; n=[0:n-1]; r=2; c=1;y1=sin(2*pi*fr(r)*n/f0)+sin(2*pi*fc(c)*n/f0); r=1; c=1;y2=sin(2*pi*fr(r)*n/f0)+sin(2*pi*fc(c)*n/f0); sound(y1,f0); sound(y2,f0); I due segnali non sono neppure distinguibili all orecchio! Calcolando il periodogramma si osserva che la cella contenente il primo massimo spettrale (quello relativo alla riga) è la stessa per entrambi i numeri: Ã! k r,1 = round =5 NT Ã! k r,2 = round =5 come confermato dalla seguente figura che mostra i due periodogrammi: [S1,f1]=periodogramma(y1,N,boxcar(N)); [S2,f1]=periodogramma(y2,N,boxcar(N)); f=f1*f0; figure; plot(f,s1,f,s2); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Periodogramma S(f) ); hold on; leg([ Tasto 1 ; Tasto 4 ]) plot(ones(2,1)*fr,[0;max([s1;s2])]*ones(1,4), r ); plot(ones(2,1)*fc,[0;max([s1;s2])]*ones(1,4), g ); NT 2.4 Riconoscimento con stima spettrale parametrica AR Si consideri ora per la stima spettrale il modello AR di ordine p, conp =1, 2,... Nel seguito si mostra come varia la stima della densità spettrale di potenza al crescere di p, per l esempio del tasto 6 con rumore: r=2; c=3; % Tasto 6 N=1024; n=[0:n-1]; w=sqrt(sigma2)*randn(1,n); y=sin(2*pi*frn(r)*n)+sin(2*pi*fcn(c)*n)+w; figure f=0:1e-3:0.5; for p=1:20 [a,e] = aryule(y, p); h=freqz(1,a,2*pi*f); clf; 6

7 plot(f*f0,e*abs(h).^2); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Spectral power S(f) ); hold on; plot(ones(2,1)*fr,[0;e*max(abs(h).^2)]*ones(1,4), r ); plot(ones(2,1)*fc,[0;e*max(abs(h).^2)]*ones(1,4), g ); title([ Stima della d.s.p. con AR di ordine p=,num2str(p), - tasto 6 ]) pause 2.5 Riconoscimento di un numero di telefono Caricate ora il file dtmf1. La variabile s contiene un numero di telefono di 5 cifre separate da silenzi (sequenze di zeri) di 100 campioni. Ogni cifra è data da 2048 campioni (T press =1/4s). Di che numero si tratta? Per scoprirlo basta fare il peridiogramma su M = 2048 campioni per ogni cifra e riconoscere i massimi: load dtmf1; f0=8192; sound(s); N=2048; figure; for i=1:5; c1=s((i-1)*n+100*(i-1)+1:i*n+100*(i-1)); [S,f1]=periodogramma(c1,N,boxcar(N)); f=f1*f0; plot(f,s); xlabel( f [Hz] ); ylabel( Periodogramma S(f) ); hold on; plot(ones(2,1)*fr,[0;max(s)]*ones(1,4), r ); plot(ones(2,1)*fc,[0;max(s)]*ones(1,4), g ); title([ Cifra n.,num2str(i)]) pause; clf; Si vede chiaramente che la il numero è Stima di sinusoidi immerse in rumore Caricate il file sinplusnoise. La variabile x contiene tre sinusoidi immerse in rumore passa-basso. Vogliamo individuare le frequenze delle sinusoidi sceglio opportunamente la dimensione delle sottosequenze M e il tipo di finestra in modo da determinare i picchi di potenza spettrale corrispondenti alle sinusoidi. Il numero di campioni di x è N = Cominciamo con M = 128 e una finestra rettangolare (boxcar): load sinplusnoise; M=128; [X1,f]=periodogramma(x,M,boxcar(M)); plot(f,10*log10(x1));xlabel( f/f c );ylabel( Spectral density [db] ); In questo modo vediamo solo lo spettro del rumore passa-basso ma nessun picco che identifichi le sinusoidi. Cambiamo ora finestra e consideriamo la finestra di Bartlett (finestra triangolare). Sappiamo che questa finestra ha delle code spettrale più basse. Vediamo come cambia il periodogramma: hold on; [X,f]=periodogramma(x,M,bartlett(M)); plot(f,10*log10(x), r ); leg( M=128, boxcar, M=128, bartlett ); 7

8 Osserviamo che ora è ben visibile un picco spettrale intorno a f /fc = 0.29 circa. Per trovare le altre due sinusoidi usiamo finestre diverse e aumentiamo M: M=128;[X1,f1]=periodogramma(x,M,boxcar(M)); M=128;[X2,f2]=periodogramma(x,M,bartlett(M)); M=128;[X3,f3]=periodogramma(x,M,hanning(M)); M=4096;[X4,f4]=periodogramma(x,M,hanning(M)); figure; plot(f1,10*log10(x1),f2,10*log10(x2),f3,10*log10(x3),f4,10*log10(x4)); leg( M=128, boxcar, M=128, bartlett, M=128, hanning, M=4096, hanning ); Con M =4096e usando la finestra di Hanning tutte e tre le sinusoidi sono visibili. 8