1. Calcolare l insieme delle soluzioni della seguente equazione differenziale: y y y y x cos x P t t t t t t 2

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1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI A COEFFICIENTI COSTANTI Callare l insieme delle sluzini della seguente equazine differenziale: y y y y s P t t t t t t, n radii, i Plinmi aratteristi: Sluzine generale dell equazine mgenea assiata:,, Sluzine partilare dell equazine mpleta: derivate s sin sin s y a b d d e e sin s s sin y a d d e e s sin sin s y d d e e y e s sin, n y a b d s esin n Sstituend la sluzine e le sue derivate nell equazine mpleta abbiam: a b a 0 a b 8 a b 0 y 8 s sin 5 5 d e d 5 d e 0 e 5 Sluzine generale:,, y e s sin 8 s sin, n 5 5 Si determini la sluzine del seguente prblema di Cauhy:

2 Plinmi aratteristi: Pt t t t y y y e y 0 0 y 0 0 y 0 0 n radii 0, e y e e Sluzine generale dell equazine mgenea,,, y a b e Sluzine partilare dell equazine mpleta nella frma: y e e e,,, 4 4 Sluzine generale: Impnend le ndizini del prblema abbiam: y e e e Quindi la sluzine del prblema di Cauhy è: Per gni numer reale k 0 si determini l insieme delle sluzini (dett anhe integrale generale) dell equazine differenziale yky s Plinmi aratteristi Ptt k n radii ki y s k sen k, n Sluzine generale dell equazine mgenea assiata, Se k erhiam una sluzine partilare dell equazine mpleta della frma y a b n derivata senda y as bsen e sstituend funzine e s sen

3 derivata nell equazine tteniam a ka a s k y b kb 0 k b 0 s y k sen k, n, k generale è s e la sluzine Se k erhiam una sluzine partilare dell equazine mpleta della frma y a b y b a s b a sen e s sen n derivata senda a 0 a 0 sen sstituend funzine e derivata nell equazine tteniam y e b b sen la sluzine generale è y s sen, n, 4 Si alli l integrale generale dell equazine differenziale rdinaria y y y sene Plinmi aratteristi: Pt t t t t n radii, y e e n, Sluzine generale dell equazine mgenea assiata: Cerhiam una sluzine partilare dell equazine mpleta nella frma y e e e rislvend il sistema sen s s sen e e 0 e e e e e sin e e sen e e e e y s e e e s e sen e e e sen e n, La sluzine generale pertant è: y e e e sen e 5 Si alli la sluzine del seguente prblema di Cauhy y y y 0 0 y 0 0 e

4 y e La sluzine dell equazine mgenea assiata è: Cn un ambi di variabile u y, n, pssiam erare una sluzine partilare dell equazine mpleta della frma u e n La sstituzine di queste due funzini nell equazine mpleta i prta a u e e e e e quindi integrand abbiam e lg e Quindi u lg e e e e y u d e e lg e lg e e La sluzine generale quindi è: lg lg, y e e e e e n La sluzine del prblema di Cauhy i prta le ndizini lg 0 lg 0 e sì tteniam: lg lg lg lg y e e e e e 6 Determinare al variare di l integrale generale y dell equazine differenziale Dire per quali valri di il lim y y sin y dal valre della stante he mltiplia la sluzine (attenzine he questa ndizine dipende anhe e dell mgenea) Dire per quali valri di la sluzine del seguente prblema di Cauhy è peridia y y sin y 0 0 y 0 4

5 Plinmi aratteristi: Pt t t t t n radii 0, y e L integrale generale dell equazine mgenea assiata: Integrale partilare dell equazine mpleta: s sin, n, y a b n sin s e 4 s 4 sin y a b y a b Sstituend le derivate nell equazine mpleta tteniam: 4a s 4bsin a sin b s sin a a 4b b 4 4a b 0 4 periò y s sin 4 L integrale generale dell equazine mpleta è:, s sin y e 4 n Per rispndere alla senda rihiesta dbbiam determinare per quali valri del parametr s sin lim e 4 A ausa della limitatezza dell integrale partilare dell equazine mpleta, per valri finiti del parametr il limite diverge psitivamente sl a ausa del termine espnenziale Si deve periò imprre he 0 e 0 Per rispndere all ultim punt ntiam he la sluzine generale dell equazine mpleta si riava s sin da quella preedente, per, è: y e 0 Le ndizini pste dal prblema di Cauhy e dalla rihiesta he la sluzine sia peridia, iè he il termine espnenziale sia sppress, i permettn di srivere le equazini: 0 0 s sin 0 y

6 7 Si determini l integrale generale dell equazine differenziale y 4y s Plinmi aratteristi Pt t 4t t t 4 n radii 0, i y s sin, n Integrale generale dell equazine mgenea assiata:,, Cerhiam un integrale partilare dell equazine mpleta nella frma y a b y a b s b sin, s sin n derivate 4 s 4 sin, y b b Sstituend le derivate nell equazine tteniam Integrale generale dell equazine:,, y 4 b s 4 b sin 4a 8b y s y s sin s n Si alli l insieme delle sluzini dell equazine differenziale: y y y e s Plinmi aratteristi: Pt t t t n radii 0, i Sluzine generale dell equazine mgenea y e s sen Sluzine partilare dell equazine mpleta nella frma: s sen y a b e Sstituend le derivate di questa funzine nell equazine tteniam:,,, 6

7 a 4 4a 4a b 0 b y e s sen e s sen 4 4 4, Sluzine generale:,, 9 Si determini la sluzine del seguente prblema di Cauhy: y y y e y 0 0 y 0 0 y 0 0 Plinmi aratteristi: Pt t t t n radii 0, e y e e,,, Sluzine generale dell equazine mgenea y a b e Sluzine partilare dell equazine mpleta nella frma: y e e e,,, 4 4 Sluzine generale: Impnend le ndizini del prblema abbiam:

8 9 7 y e e e Quindi la sluzine del prblema di Cauhy è: 0 Si determini la sluzine del seguente prblema di Cauhy: y y 4y e y 0 0 y 0 0 y 0 0 Plinmi aratteristi P t t t 4 t t n radii e di mltepliità dppia y e e e n Sluzine generale dell equazine mgenea assiata:,, y a e Cerhiam una sluzine partilare dell equazine mpleta nella frma n derivate y e 4a 8a a e y 8 4 e a a a Sstituend funzine e derivate nell equazine tteniam: e 6a y 6 Sluzine generale dell equazine: : e y e e e n,, 6 Impnend le ndizini del prblema di Cauhy abbiam: Sluzine del prblema di Cauhy: e e e e y

9 Si alli la sluzine del seguente prblema di Cauhy: y y 4y 8y s sin y 0 0 y 0 0 y 0 0 n radii e i Plinmi aratteristi Pt t t 4t 8 t t 4 y s sin e n Sluzine generale dell equazine mgenea assiata:,, y a b, n Cerhiam una sluzine dell equazine mpleta nella frma s sin derivate y b as b asin, e y 4b 4a s 4b 4a sin y 8b a s 8a b sin Sstituend la funzine e le derivate nell equazine abbiam: a 0 8a8b sin y 8a 8b b 8 8 sin y s sin e n,, 8 Sluzine generale Impnend le ndizini del prblema di Cauhy abbiam: Sluzine del prblema di Cauhy: s sin e sin y

10 Si determini la sluzine del seguente prblema di Cauhy: y y y e sen y 0 0 y 0 0 Plinmi aratteristi P t t t n radii i Sluzine generale dell equazine mgenea assiata: y e s sen, n Cerhiam una sluzine dell equazine mpleta nella frma y e a s bsen Sstituend la funzine e le sue derivate nell equazine abbiam: y e e s sen s n,, Sluzine generale Impnend le ndizini del prblema di Cauhy abbiam: 0 0 y e e Sluzine del prblema di Cauhy: sen s a a b0 b0 0