lim β α e detto infinitesimo una qualsiasi quantita tendente a zero quando una dati due infinitesimi α e β non esiste

Transcript

1 Infinitesimi e detto infinitesimo una qualsiasi quantita tendente a zero quando una opportuna variabile tende ad assumere un determinato valore dati due infinitesimi α e β α e β non sono paragonabili tra loro se il lim β α non esiste α e β sono infinitesimi dello stesso ordine se il un valore non nullo lim β α esiste, e finito e ha β e infinitesimo di ordine superiore rispetto ad α se il valore nullo lim β α esiste ed ha

2 Funzione reale di una variabile una funzione reale di una variabile reale e una corrispondenza tra un insieme di numeri reali, rappresentato dalla variabile indipendente e un insieme di numeri reali, rappresentato dalla variabile dipendente y y f( )

3 Derivata di funzione di una variabile data una funzione reale f() di una variabile e detta derivata f della funzione nel punto 0 il limite per 0 del rapporto incrementale f f + f ' lim ( ) ( )

4 Dipendenza lineare y f ( ) a + b yf() f( 0 + ) f ( 0 ) O 0 α 0 + f f( 0 + ) f( 0 ) f f( + ) f( ) lim ' f tgα f e il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto 0

5 data una funzione f derivabile di una variabile e detto differenziale d della variabile indipendente, un incremento infinitesimo arbitrario non nullo della variabile si chiama differenziale df della funzione il prodotto della derivata f () per il differenziale della df f '( ) d

6 in generale il differenziale df non e uguale alla variazione f della funzione, dove f f(+d) f() in effetti si dimostra che : f df + ε ma si puo anche dimostrare che lim 0 ε 0 ossia che ε e un infinitesimo di ordine superiore rispetto a d

7 f() f ( 0 + ) ε f ( 0 ) α df tgα f f ( 0 + ) f ( 0 ) O 0 +

8 Sviluppo in serie di Taylor di una funzione f() rappresentazione di una funzione nell intorno di un generico punto 0 tramite un polinomio ( n) f ( 0 ) f( ) ( 0 ) n! n 0 n dove f n ( n) d f( ) ( 0 ) n d 0 con la convenzione 0! 1 uno sviluppo di Taylor in cui 0 sia uguale a 0 è detto sviluppo di Maclaurin il polinomio che si ottiene è l'approssimazione di ordine n di f() intorno a 0 0 f( ) f (0) + f '(0) 1! f ( n 1 ) + '''(0) 3! f f (0) n ( ) +Rn ( ) n! + 3 ''(0)

9 Sviluppo in serie di Maclaurin di alcune funzioni < < (1 ) < (1 + ) (1 + ) < e ! 3! 4! sen cos tg < < + < < + < < + π <

10 Funzione di due variabili una funzione reale di due variabili reali un insieme di coppie di numeri (,y) e una corrispondenza tra e un insieme di numeri reali rappresentato dalla variabile dipendente z z Fy (, ) derivate parziali prime F F ' ' y F F ( + y, ) Fy (, ) lim 0 F Fy (, + y) Fy (, ) lim y y 0 y

11 derivate parziali seconde F '' F ( ) F F '' y F F ( ) y y y derivate parziali seconde miste F '' y F ( ) y F y F '' y F F ( ) y y se '' F y e '' F y sono continue l ordine di derivazione e ininfluente ossia F y F y

12 l incremento F della funzione nel passare dal punto di coordinate ( 0,y 0 ) al punto di coordinate ( 0 + d, y 0 + dy) e F F( + d, y + dy) F(, y ) il differenziale totale della funzione e F F df d + dy y

13 se il luogo dei valori della F(,y) fosse il piano F F( + d, y + dy) F(, y ) il differenziale totale della funzione sarebbe z F(,y) z a + by + d mentre F F df d + dy y F( 0 +d, y 0 +dy) ˆk O F( 0, y 0 ) î ĵ α y F( 0 +d, y 0 ) β F d dy F dy y F d F ( 0 +d,y 0 +dy) ( 0,y 0 ) d ( 0 +d,y 0 )

14 quindi in questo particolare caso F coincide con df ma in generale F df in effetti in generale risulta F F F d dy ε d ε dy 1 y df

15 F F F d dy ε d ε dy 1 y df z F(,y) y df F ˆk O î ĵ ma si ha che ε 1 ed ε sono infinitesimi dello stesso ordine di d e di dy

16 Legge di propagazione degli errori se se se se w ε ε y ε z f( yz,, ) e l errore sulla misura della grandezza e l errore sulla misura della grandezza y e l errore sulla misura della grandezza z l errore sulla grandezza w sara dove se f w + y+ f f f w + y + z ε ε ε ε y z indica la derivata parziale della funzione f rispetto alla variabile... f f w y ε... ε + y ε + ε + ε +... y se w y... ε w f f ε + εy +... w y ε ε y y

17 determinare l area A e l errore ε A sull area di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza a (0.084 ± 0.00) m e in generale se w f( y, ) b (0.57 ± 0.03) m dalla geometria piana sappiamo che l area del triangolo e pari a f f w y ε ε + y ε A ab b a in questo caso w A e a e b corrispondono ad e y A f ( a,b) per cui A a b e A b a b a A a + b ε ε ε 1 b ε + a ε a b ab ε ε + a b a b ε ε ε A A + a b a b

18 in conclusione: dato che a (0.084 ± 0.00) m e b (0.57 ± 0.03) m ovvero che a ( 8.4 ± 0. ) 10 - m e b ( 5.7 ± 0.3) 10-1 m e poiche A ab A e ε A ossia A ( 4.79 ± 0.8) 10 m al 68% C.L.

19 Backup Slides