Segnali e sistemi passa-banda

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1 Segnali e sistemi passa-banda Segnali passa-banda Segnale analitico Inviluppo complesso Trasformata di Hilbert Analisi dei sistemi LTI passa-banda Ritardo di fase, ritardo di gruppo

2 Segnale passa banda: Segnali passa banda segnale il cui spettro X(f) è nullo ovunque, tranne su un intervallo (usualmente piccolo) di frequenze attorno a una frequenza f. Precisamente: ( f ) sicuramente per f f > B B f X < Attenzione: f non è necessariamente la frequenza al centro dell intervallo B. 2

3 Sistema passa banda : Sistemi passa banda sistema la cui risposta in frequenza H(f ) è diversa da zero solamente in un intervallo di frequenze B attorno a una frequenza f Nello studio di segnali e sistemi passa banda è comodo far riferimento a segnali e sistemi equivalenti in banda base (a bassa frequenza). X ( f ) Lo spettro è ottenuto traslando a sinistra di f la parte a frequenze positive di X(f ), dopo averne raddoppiato l ampiezza: X ( f ) 2u( f f ) X ( f f ) 3

4 Segnale analitico Inviluppo complesso Segnale analitico: è ottenuto considerando solo la parte a frequenze positive (moltiplicata per due) dello spettro di un segnale passabanda. X f 2u f X f Ricordando che (per dualità): si ottiene: Pertanto: ( ) ( ) ( ) u j Re{ } 2 ( f ) δ πt j 2πt Inviluppo complesso: si ottiene traslando in banda base il segnale analitico: Pertanto: X ( f ) X ( f f ) X ( f ) X ( f f ) j2 f t e π Re { j 2π f t } e 4

5 Trasformata di Hilbert Da funzione di t a funzione di t Può essere considerata come un operazione eseguita da un opportuno sistema LTI ˆ h hilb h hilb π t Rem.: sgn jπ f Per dualità: H hilb ( f ) H hilb π t ( f ) F j sgn( f ) ϕ hilb ( f ) π 2 π 2 5

6 Esempi e proprietà Sia c y con: ( f ) C( f ) X X C ( f ) ( f ) Allora: yˆ cˆ Esempio tipico: m cos( ω t) ˆ m sin( ω t) y y 6

7 Esempi e proprietà cos( 2π sin( 2π ( 2π ˆ sin ( 2π ˆ cos (verifica per mezzo dei rispettivi spettri) ˆ h hilb h ˆ hilb ˆ H ( f ) ϕ( f ) π 7

8 Riepilogo Segnale analitico: jˆ X ( f ) 2u( f ) X ( f ) { } X ( f ) F ˆ ( t ) { } F j j Convenzione: Xˆ ( f ) Spettro di ˆ X ( f ) Spettro di X ( f ) X ( f f ) 2 Re Im j πf t Inviluppo complesso: e j 8

9 Relazioni importanti Il segnale passa banda può essere posto quindi nella forma: Inoltre: Re Im Re { 2 f t } e j π cos( 2π sin( 2 Re Im π a (forma canonica di un segnale passa banda) parte in fase ( c (t)) parte in quadratura ( s (t)) 2 2 Inviluppo naturale di (t) Re Im 9

10 Calcolo inviluppo complesso c s Re { 2 f t } e j π c cos( 2π ft) s sin ( 2π sin ( 2π cos( 2π ˆ c s Re{ } cos( 2π ft) ˆ sin ( 2π ft) Im{ } ˆ cos( 2π sin ( 2π, dipendono dalla scelta di f c, s a inviluppo naturale, non dipende dalla scelta di f

11 Motivazioni Analisi di sistemi passa banda (senza dimostrazione) h Re 2R ( ) (per convenienza) ma anche: { 2 f t } e j π { 2 f t } e h t e j π y essendo y Re y h y { 2 f t } e j π h h L analisi coinvolge soltanto segnali a bassa frequenza

12 sistema passa banda Sistemi passa banda rappresentazione equivalente in banda base, seguendo le medesime regole viste per i segnali: h 2 { } h h jhˆ per convenienza 2π f t h H f H f f u f h Segnale analitico associato a h(t) j c h e h jh ( ) ( ) ( ) 2Re h f { 2 f t } e j π s a causa del fattore /2 2

13 Sistemi passa banda Si può dimostrare che tra gli inviluppi complessi dei segnali passa banda y(t) e (t), rispettivamente all uscita e all ingresso di un sistema passa banda, esiste il seguente legame: y Y h ( f ) X ( f ) H ( f ) Esempio: H ( f ) H ( f ) pendenza 2π t f f 3

14 Esempio H ( f ) t f f T t T rect cos( 2π H ( f ) e H jϕ ( f ) ( f ) f e B per < 2 B f > 2 jϕ e f < j2π t B 2 g f -f ϕ ϕ H ( f ) B dϕ ϕ ϕ( f ) ( f ) ϕ ( f ) 2π t g f B df f f f 4

15 Esempio t T rect cos( 2π H ( f ) e jϕ e j2π t g f t T rect h ( ) ( ( ) jϕ t B sinc B t t g e y h B e T jϕ T 2 2 sin π [ π B( t t τ )] g B( t t τ ) g dτ y posto e λ jϕ π ϕ j π B t ( t τ ) g π B t π B t ( tg T 2) ( t T 2) g sin λ dλ λ e g π π sin λ Si ( u) dλ λ ( seno integrale) { Si[ π B( t t T 2) ] Si[ B( t t T 2) ]} 5 g u

16 Re y Ritardo di gruppo ritardo di fase { j2π f t } e y π { Si[ π B( t t T 2) ] Si[ π B( t t T 2) ]} cos 2π f ( t t ) g g [ ] t ϕ ω ritardo di fase t g 2 dϕ df dϕ d π ω f f ω ω ritardo di gruppo tg y y t ± ( ) t g 6

17 Riassunto Inviluppo complesso j Re Re Im { 2 f t } e j π forma canonica di un segnale passa banda: π Re cos( 2π f t) Im sin( 2 f t) parte in fase ( c (t)) Re Im parte in quadratura ( s (t)) a 2 2 Inviluppo naturale di (t) Re Im Per un sistema passa basso y Y h ( f ) X ( f ) H ( f ) 7

18 Trasformata di Hilbert: ˆ( t ) H hilb π t Riassunto ( ) τ d t τ π τ ( f ) F j sgn ( f ) Xˆ ( f ) j sgn( f ) X ( f ) Relazioni importanti: c cos( 2π ft) s sin ( 2π ˆ sin ( 2π cos( 2π c s c Re{ } cos( 2π ft) ˆ sin ( 2π ft) s Im{ } ˆ cos( 2π ft) sin ( 2π ft) segnale analitico associato a (t) : jˆ 8