Esercitazione sulle serie di Fourier

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Cosimo Sole
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1 Esercitazione sulle serie di Fourier 3 novembre. Calcolo dei coefficienti di Fourier e di somme di serie speciali Esercizio. Si consideri il segnale u : R R, -periodico, definito nell intervallo, π, da { t se π t <, u(t π se t < π. a. Verificare che u è sviluppabile in serie di Fourier e calcolarne i coefficienti. b. Studiare la convergenza puntuale della serie. c. Sfruttando i risultati del punto b. calcolare la somma della serie numerica ( +. Esercizio. Sia u il segnale -periodico che nell intervallo (, è definito da { (π t se t < π (π + t se π t. Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di u, precisandone la convergenza. Applicare il risultato ottenuto per calcolare S, S. 4 Esercizio.3 Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di u(t (cos πt sin(t. Esercizio.4 Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier del segnale u -periodico che vale e 4πt nell intervallo (,. Calcolare 4 +. Esercizio.5 Esistono coefficienti û C tali che e t + ûe it nell intervallo (,? Esistono coefficienti a, b R tali che e cos 3t a + + a cos(t + b sin(t per t R? Esistono coefficienti û C tali che sin t + ûe it nell intervallo (,? Esistono coefficienti a R tali che + a cos πt nell intervallo (,? Esercizio.6 Sapendo che + e e it, calcolare lo sviluppo in serie di ( e cos t ie sin t Fourier di e cos t ( e cos t + (e sin t e il suo integrale tra e.

2 Soluzioni Esercizio. Calcoliamo i coefficienti nella forma trigonometrica. a Per, dato che ω /T, a ( ( u(t dt ( ( t dt + ( π + π 3 4 π. u(t cos(t dt ( t cos(t dt + sin(t dt + ( cos(π b. ( ( u(t sin(t dt ( t sin(t dt + cos(t dt + π t cos(t π dt π cos(t dt se è dispari, se è pari. π sin(t dt ] ( + π cos(π π cos(π + π Lo sviluppo in serie di Fourier di u è quindi u(t 3 4 π + cos(( + t + π( + π cos(t sin(t. Inoltre, dato che il segnale u è regolare a tratti, si ha convergenza puntuale della serie nei punti di continuità di u, e convergenza al valor medio fra limite destro e sinistro nei punti di salto. In particolare, in t si ha (u ( + u + ( π 3 4 π π cos( π( ( +. sin(

3 Ricaviamo quindi ( + π ( 3 4 π (u ( + u + ( π ( 3 4 π π π 8. Esercizio. Dato che T, si ha ω /T. Inoltre, dato che il segnale u è pari, usiamo la formula trigonometrica con i coseni. Calcoliamo, mediante la definizione, e facendo uso dell integrazione per sostituzione e per parti (vedi appendice alla fine delle soluzioni Per otteniamo Per, invece, a π π a π π cos(π π ( π 4. a π u(t cos(t dt (π t cos(t dt (u è pari. (π t cos(t dt (π t dt π (t π 3 3 π 3. s cos((π s ds (sostituzione: s π t s cos(s ds ( 4π ( (integr. per parti ( Essendo u un segnale regolare a tratti e continuo, si ha convergenza uniforme della serie di Fourier (Teorema 4.4 u(t a + + a cos(t. Per calcolare la somma della serie S, si tratta di scegliere un punto t particolare, in modo da poter sfruttare la formula appena trovata. Per esempio, scegliendo t troviamo ovvero Concludiamo che u( a + + a, π π , 3

4 e quindi S π 6. Per calcolare S usiamo l identità di Parseval (Teorema 4., che afferma che Dato che troviamo e quindi π u(t dt π π u(t dt a 4 + a. (π t 4 dt π (t π 5 π 4 5 a 4 + a π , 4 S ( π π4 π π4 5, Esercizio.3 Metodo trigonometrico. Usando le formule si calcola Conclusione cos (α cos(α +, cos(α sin(α sin(α, (cos πt sin(t cos(t + u(t sin(t sin(t + 4 sin(4πt. b sin(πt, dove b /, b 4 /4, e b per tutti gli altri. Metodo esponenziale. ( e (cos πt iπt + e iπt e it e it sin(t i ( e it + e it + e it e it 4 i (e i4πt + + e it e i4πt e it 8i ( ( e i4πt e i4πt e it e it 4 i + i sin(t + 4 sin(4πt. Nota: il metodo trigonometrico è più semplice, se si conoscono a memoria (o si sanno ricavare le formule trigonometriche giuste. Nel caso di esponenti più alti, o situazioni più complicate, il metodo esponenziale potrebbe essere l unica possibilità. 4

5 Esercizio.4 Dato che T, si ha ω /T. Inoltre, non essendo il segnale né pari né dispari, conviene fare un conto solo e trovare û, anziché calcolare separatamente a e b. û e 4πt e it dt ( i e t( i ] e t( i dt ( e ( i ( i i ( e 4π dove, nell ultimo passaggio, si è usato che exp(( i exp(4π exp( i exp(4π. Per calcolare la somma della serie, dato che i i 4 +, si usa (ancora l identità di Parseval, nella forma esponenziale, che afferma che Calcoliamo u(t dt (e 4πt dt u(t dt û. e 8πt dt ] e 8πt 8π ( e 8π, 8π, e quindi ( e û 4π + 4 +, 4 + ( e 8π ( 4π e8π 8π e 4π (e 4π. Esercizio.5 Come prima cosa restringiamo la funzione e t all intervallo (,, e poi la estendiamo in maniera -periodica fuori dallo stesso intervallo. Il segnale così ottenuto è regolare a tratti, e grazie al Teorema 4.3 si ha convergenza puntuale della serie di Fourier di frequenza fondamentale in ogni punto dell intervallo aperto (,, cioè, sappiamo che esistono coefficienti û C tali che u(t û e it per ogni t (,. Notare: servono anche i coefficienti per < (i quali sappiamo essere i coniugati dei coefficienti per >, dato che u è pari. Dato che questi mancano nella serie data, la risposta è no. Sì, basta notare che la funzione e cos(3t è /3-periodica e regolare su R. Grazie al Teorema 4.4 si ha convergenza uniforme della serie di Fourier di frequenza fondamentale 3 per ogni punto dell asse reale. (In particolare, esistono i coefficienti richiesti, e sappiamo che a b a meno che sia un multiplo di 3. 5

6 Ragionando come nel primo esercizio, bisogna prima restringere la funzione sin t all intervallo (,, e poi estenderla in maniera 4π-periodica fuori dallo stesso intervallo. Il segnale così ottenuto (chiamiamolo v è pari, regolare a tratti e continuo, e grazie al Teorema 4.4 si ha convergenza uniforme della serie di Fourier di frequenza fondamentale /T / in R. Cioè, v(t û e it. Il punto cruciale è che, essendo il coefficiente û (controllare! per sviluppare sin t in serie di Fourier in (,, c è bisogno anche di un termine di periodo 4π, che manca dalla serie data nel testo. Riassumendo: no, non esistono i coefficienti richiesti, perché le frequenze imposte sono troppo alte rispetto al segnale dato. Questa volta le frequenze sono giuste, il segnale è pari, quindi effettivamente non servono i termini b, ma manca il termine a, necessario dato che dt. Quindi, no, non esistono coefficienti a tali che... Esercizio.6 Chiamiamo f e g le due funzioni in gioco: f(t g(t ( e cos t ie sin t, e cos t ( e cos t + (e sin t. Volendo eliminare la i dal denominatore di f, calcoliamo f(t ( e cos t ie sin t ( e cos t ie sin t ( e cos t + ie sin t ( e cos t + ie sin t ( e cos t + ie sin t ( e cos t + (e sin t. Si vede, quindi, che g Re(f. Dalla serie di Fourier di f ricaviamo e e it f(t, e (cos(t + i sin(t f(t, e cos(t + i e sin(t Re f(t + i Im f(t, e cos(t Re f(t g(t. 6

7 Cioè g(t a + + a cos(t, con a, a e. Per calcolare l integrale, ricordiamo che a g(t dt e quindi g(t dt. Appendice: alcuni conti ricorrenti di integrazione per parti. Ricordando la formula calcoliamo (per t sin(t dt b a f g dx cos(t b t cos(t dt t sin(t + a fg dx + fg ] b a t cos(t cos(π ( ( t sin(t 4π ( ( 7

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