UN APPROCCIO DINAMICO ALLA CONTRAFFAZIONE DELL OFFERTA NEI MERCATI MONOPOLISTICI*

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1 UN APPROCCIO DINAICO ALLA CONTRAAZIONE DELL OERTA NEI ERCATI ONOPOLISTICI* arc CORAZZA ( Stefania UNARI ( Dipartiment di atematica Applicata Università degli Studi "Ca scari" di Venezia *Presentat al XX Cnvegn A..A.S.E.S. (Assciazine per la atematica Applicata alle Scienze Ecnmiche e Sciali) Urbin 1996

2 SOARIO Quest lavr si prpne di frnire una legge dinamica in grad di rappresentare l equilibri di un mercat mnplistic caratterizzat dalla presenza di cntraffazine dell fferta. La frmalizzazine dei cmprtamenti degli agenti ecnmici (cnsumatri, mnplista e cntraffattre) che peran in tale mercat cnduce ad un sistema di equazini alle differenze finite, lineare, a cefficienti cstanti e nn mgene, la cui sluzine descrive l equilibri dinamic del mercat in questine. 1. INTRODUZIONE Più men recentemente, alcune autrevli rganizzazini internazinali (U.S. Internatinal Trade Cmmissin e Cmité Clbert) hann pst in evidenza la crescente influenza che il fenmen della cntraffazine dell fferta ha avut in alcuni mercati di beni e di servizi. L'increment mndiale della cntraffazine dei prdtti nel decenni è stat, ad esempi, di circa il 1.%, causand perdite annue sulle vendite, a causa della cntraffazine, equivalenti al 5-6% dell'inter cmmerci mndiale. Ricrdiam che per cntraffazine dell'fferta, qualra questa sia "ingannevle", si intende l'fferta a terzi di beni e di servizi pprtunamente falsificati per trarre in ingann, relativamente alla lr riginalità, questi stessi terzi 1. A frnte della crescente imprtanza attribuita a tale fenmen, nella letteratura ecnmica sn apparsi alcuni lavri (Bamss G.J. et al. [1986], Higgins R.S. et al. [1986], Grssman G.. et al. [1988a], Grssman G.. et al. [1988b] e ssett G. [199]) che cnsideran, in parte, il rul gicat dalla cntraffazine nella specificazine di una legge statica che descrive l equilibri di alcuni mercati. 1 In generale il termine cntraffazine indica l'utilizz nn autrizzat di un marchi registrat, su prdtti che appain identici simili ai prdtti per cui tale marchi è stat registrat ed usat. Si distingue slitamente la cntraffazine ingannevle dalla cntraffazine nn ingannevle, a secnda che il cnsumatre sia men nn cnsapevle di acquistare un prdtt falsificat.

3 In quest lavr ci prpniam, invece, di analizzare il funzinament di un mercat caratterizzat dalla presenza di falsificazine dell'fferta, in un cntest dinamic. I beni cnsiderati nell'analisi sn quelli che pssn essere differenziati agli cchi dei cnsumatri per la presenza di un marchi; si tratta spess di status gds, merci il cui mer us d espsizine cnferisce prestigi ai lr pssessri (ltre ad avere una lr utilità intrinseca) e che, d'altr lat, giustifican il cmprtament mnplistic pst in essere dal prduttre del bene riginale.. COPORTAENTI ECONOICI Gli agenti che peran in un mercat mnplistic caratterizzat dalla presenza di cntraffazine dell fferta (cnsumatri, mnplista e cntraffattre) pngn in essere cmprtamenti che pssn essere sinteticamente articlati cme segue. Pass 1 - Nell istante t t : il cntraffattre inizia a sddisfare, mediante la prpria fferta, una predeterminata quantità della dmanda sddisfabile nn sddisfatta dall fferta del mnplista. Pass - Nell istante t t i cnsumatri, che ignran la struttura dei csti del mnplista e, dunque, la quantità fferta da quest ultim, cnsuman la quantità cmplessivamente fferta dal mercat, vista cme smma delle quantità fferte, rispettivamente, dal mnplista e dal cntraffattre. Pass 3 - Nell istante t t : t + il mnplista rileva che il prezz determinat dal 1 1 mercat nell istante precedente crrispnde ad una quantità maggire di quella da lui effettivamente fferta e, dunque, rileva la presenza dell fferta del cntraffattre. Il mnplista reagisce a questa presenza effettuand degli investimenti in reputazine, csa che fa variare la sua struttura dei csti. Data questa nuva struttura dei csti, il mnplista massimizza il prpri prfitt in t 1. Per il significat di quantità "sddisfabile" si rimanda al paragraf 5. 3

4 Pass 4 - Ancra nell istante t t 1 i cnsumatri, che sn incapaci di distinguere il prdtt del mnplista da quell del cntraffattre, reagiscn agli investimenti in reputazine effettuati dal mnplista cntraend lasciand inalterata espandend la prpria dmanda ttale. Pass 5 - Dall istante t t : t + si itera quant descritt a partire dal Pass UNZIONE DEL PREZZO UNZIONE INVERSA DI DOANDA La relazine che specifica il prezz in funzine della quantità in un mercat mnplistic caratterizzat dalla presenza di cntraffazine dell'fferta è data da, e p a b b + k d a b + + k d ( t 1 ), (1) cn a >, b >, k R e d, dve ( l) rappresenta la (classica) dmanda ttale nel generic istante l, ( l ) k d rappresenta quella quantità della dmanda sddisfabile nn sddisfatta dall fferta del mnplista che viene sddisfatta dall fferta del cntraffattre nel generic istante l, misura la reazine dei cnsumatri agli investimenti in reputazine effettuati dal mnplista, misura la reazine, in termini di investimenti in reputazine effettuati dal mnplista e, ( l) rappresenta il valre attes da parte del mnplista della quantità della e dmanda "sddisfabile" nn sddisfatta dalla sua fferta che viene invece sddisfatta dall'fferta del cntraffattre nell stess generic istante l. Valgn le seguenti sservazini. 4

5 Osservazine 1. Si assume che, e ( t 1 ). () Osservazine. Gli investimenti in reputazine effettuati dal mnplista in un generic istante t, ciè d ( t 1 ), sn assunti linearmente prprzinali al valre attes da parte del mnplista di quella quantità della dmanda sddisfabile nn sddisfatta dalla sua fferta, che viene invece sddisfatta dall fferta del cntraffattre nel generic istante t. Osservazine 3. Le reazini dei cnsumatri agli investimenti in reputazine, in termini di quantità di prdtt dmandata, sn assunte linearmente prprzinali al valre degli investimenti stessi in reputazine effettuati dal mnplista nell stess generic istante t, ciè, tenend cnt della (), k d ( t 1 ). (3) Osservazine 4. Negli istanti t < t : si ha, t < t (4) da cui la seguente classica particlarizzazine della funzine del prezz precedentemente intrdtta (essend anche ( t 1 ) ): p a b a b p. (5) Nell istante t t : si ha ( t) ( ) e ( t 1) ( 1) (6) 5

6 da cui la seguente particlarizzazine della funzine del prezz precedentemente intrdtta: p( ) a b ( ) + ( ). (7) 4. IL ONOPOLISTA Nel generic istante t, il mnplista ffre quella quantità che rende massima la sua funzine di prfitt, ciè Π [ ] (t), in quell stess generic istante. Data la funzine del prezz precedentemente intrdtta, analgamente al mnpli classic, la quantità che rende massima la funzine di prfitt del mnplista è quella per la quale si verifica che R C (8) dve R (t) rappresenta il ricav marginale del mnplista nel generic istante t e C rappresenta il cst marginale del mnplista nel generic istante t. 4.1 unzine di ricav marginale Dalla relazine che specifica il ricav marginale del mnplista in funzine della quantità R RT, 6

7 si ttiene, tenend cnt che RT p ( t), R a b b + k d ( t 1) a b + + k d ( t 1) (9) 4.. unzine di cst marginale Dalla relazine che specifica il cst marginale del mnplista in funzine della quantità C CT, si ttiene la seguente espressine per il cst marginale:, e C c + + d c + + d ( t 1 ), (1) cn < c < a Quantità fferta Dalla relazine (8) si ttiene la seguente quantità fferta dal mnplista nel generic istante t : a c b c b c b t d ( k ) c b t ( ) + 1 ( 1 ), ' + ' + ' + (11) 7

8 cn a c b >, < e + b + b d ( k 1) + b < se k < 1 e d > se k 1 d. > se k > 1 e d > Osservazine 5. Negli istanti t < t : si ha ( t ) e ( t 1 ), (1) da cui la seguente classica particlarizzazine della quantità fferta dal mnplista: a c + b. (13) Nell istante t t : si ha ( t) ( ) e ( t 1) ( 1), (14) da cui la seguente particlarizzazine della funzine della quantità fferta dal mnplista: a c b c b c b ( ) ( ). ' + ' + (15) 5. IL CONTRAATTORE Nel generic istante t, il cntraffattre sddisfa una predeterminata quantità della dmanda sddisfabile nn sddisfatta dall fferta del mnplista e ciè 8

9 e, e f S f ( t 1) ( t 1 ), (16) S cn f 1, dve f misura la percentuale della dmanda tericamente sddisfabile, nn sddisfatta dall fferta del mnplista, che viene sddisfatta dall fferta del cntraffattre, e S (l) rappresenta il valre attes da parte del cntraffattre della quantità della dmanda sddisfabile dal mnplista,, ( l) rappresenta il valre attes da parte del cntraffattre della quantità della e S ( l) dmanda sddisfatta dal mnplista nel generic istante l e rappresenta la dmanda sddisfabile dal mnplista nel generic istante l, ciè quella dmanda per la quale si ha che < se ( l) > ( l) Π ( l) se ( l) ( l). (17) > se ( l) < ( l) S S S Osservazine 6. Si assume che e S S ( t 1) e, (?) inltre, si assume che, e ( t 1). (?) Osservazine 7. La quantità della dmanda sddisfabile nn sddisfatta dall fferta del mnplista che viene sddisfatta dall fferta del cntraffattre in un generic istante t t, ciè, è assunta linearmente prprzinale alla differenza tra i valri attesi da parte del cntraffattre, rispettivamente, della stessa dmanda 9

10 sddisfabile dal mnplista e della quantità effettivamente fferta da quest ultim nell stess generic istante t, ciè e, e [ ] f. (?) S 5.1. Quantità sddisfabile È pssibile verificare che, data la funzine del prezz (1), precedentemente intrdtta, analgamente al mnpli classic, la quantità sddisfabile dal mnplista è quella per la quale si verifica che p C C (19) dve C rappresenta il cst marginale del cntraffattre nel generic istante t. 5.. Cst marginale La relazine che specifica il cst marginale del cntraffattre in funzine della quantità è data da C CT CT C, () da cui si ha C c + + d ( t 1 ). (1) 1

11 In particlare, si iptizza che la struttura dei csti marginali sia uguale sia per il prduttre del bene riginale, sia per il cntraffattre, pur ammettend csti fissi per il mnplista superiri a quelli del cntraffattre, ciè CT < CT. () Dalla relazine (19) si ttiene la seguente quantità, sddisfabile dal mnplista nel generic istante t : S a c b c b c b t d ( k ) ( ) ' ' + + b + b c b t ( ) ' + ( t 1) (3) e sstituend la (3) nella nella (16), si ttiene la seguente quantità fferta dal cntraffattre nel generic istante t : + b f + b f b + b ( t 1) ( t 1). (4) ( t 1) 6. IL ODELLO DINAICO Cnsiderand unitamente la (11) e la (4) si ttiene il seguente mdell che specifica la dinamica delle quantità fferte, rispettivamente, dal mnplista e dal cntraffattre 11

12 a c b d ( k 1) + ( t 1) + b + b + b f b ( t 1) + b. (5) L'equazine alle differenze finite, equivalente al sistema (5), che specifica la dinamica della quantità fferta dal mnplista, è data da α ( t 1) β ( t ) γ, (6) f b cn α ( + b)( + b) a c γ >. + b <, < se k < 1 e d > β f b d ( k 1) ( + b)( + b) se k 1 d e > se k > 1 e d > 7. SOLUZIONE DELL EQUAZIONE CHE SPECIICA LA DINAICA DELLA QUANTITÀ OERTA DAL ONOPOLISTA La sluzine generale, dell equazine (6) che specifica la dinamica della Gen quantità fferta dal mnplista è data da + (7), Gen, Om, Par dve, rappresenta la sluzine generale dell equazine mgenea e Om, rappresenta una sluzine particlare. Par 1

13 7.1. Sluzine generale dell equazine mgenea assciata E pssibile verificare che la sluzine generale, Om dell equazine mgenea assciata è data da t t c 1λ1 + c λ se λ λ 1, Om (8) t t c1λ + ctλ se λ1 λ : λ dve λ 1, α ± α + 4β fb f b 4d ( k 1) bf ( b)( b) ( + b)( + b) 4 ± rappresentan le radici del plinmi caratteristic assciat alla equazine alle differenze finite, mgenea. Osservazine 8. E pssibile verificare che < se k < k α + 4 β : se k k, > se k > k (3) cn 3 f b k : 1, da cui k < 1. 4 d ( + b)( + b) 7. Sluzine particlare È pssibile verificare che una sluzine particlare è data da 13

14 , Par γ 1 α β. ( a c)( + b) ( + b)( + b) + b f d b f ( k 1) (3) Osservazine 9. È pssibile verificare che, se k k *, allra 1 α β e che, se k < k *, allra > (33), Par, Par dve * ( + b)( + b) + f b k : 1 +, da cui k* > 1 > k. b f d Osservazine 1. E pssibile verificare che in assenza di cntraffazine ( f ), la sluzine del sistema cincide cn quella del mnpli "classic", infatti a c, Om, Om, Par + b,, Par a c + b, Gen, Gen. e (35) (36) 8. EQUILIBRIO DELL EQUAZIONE CHE SPECIICA LA DINAICA DELLA QUANTITA OERTA DAL ONOPOLISTA E pssibile verificare che il punt di equilibri, E dell equazine che specifica la dinamica della quantità fferta dal mnplista è dat da 14

15 ( t ). (37), E, Par Terema: Il punt di equilibri (37) è asintticamente stabile se k ˆ < k < k λ, dve c b c b kˆ ( ' + )( ' + ) 1, da cui ˆ (38) k < 1, d b f ( + b)( + b) b f (39) kλ 1 +, da cui k λ > 1. d b f Dimstrazine Per k < k si ha t t) ρ ( c cs tθ c sen t ), dve ρ è dat da:, Om ( 1 + θ α α + 4β ρ +, cn α, β definiti cme in (6). 4 4 Tenend cnt che per k < k si ha α + 4β <, allra per cui, definit kˆ cme in (38) si ttiene che, per l'equilibri è asintticamente stabile per kˆ < k < k. Per k k si ha t t, Om c1λ + ctλ, cn d(1 k) bf ρ, ( + b)( + b) k > kˆ, ρ < 1 e quindi fb λ. ( + b)( + b) Essend 1 < λ < si deduce che l'equilibri è asintticamente stabile per k k. t t Per k > k si ha ( t c1λ 1 + cλ, cn λ 1, λ definiti cme in, Om ) (9). Essend λ 1 < 1 per k < k * (k* definit dalla (34)) e λ < 1 per k < k λ ( k λ definit dalla (39) ), allra piché k λ < k * si cnclude che per k < k < k λ l'equilibri è asintticamente stabile. In particlare, si può sservare che vale la seguente relazine: 15

16 * k ˆ < k < 1< kλ < k. Quindi riassumend si ha kˆ k 1 kλ k * < > Stabilità Asinttica Cn k, k*, kˆ e, definiti cme in (31), (34), (38) e (39). k λ 9. ALCUNE ESEPLIICAZIONI? 1. OSSERVAZIONI INALI La significatività ecnmica delle quantità,, p( t), cmprta di restringere ulterirmente il camp di variazine del parametr k, in md da assicurare che t t si abbia ( t ), ( t ) e p. 16

17 Inltre ptrebbe essere significativ tener cnt di un apprfndiment del mdell secnd due direzini: cnsiderare un prblema di massimizzazine intertemprale da parte del mnplista della prpria funzine di prfitt Π e, d'altr lat, cnsiderare variabili nel temp i parametri f, d e k (rispettivamente, f, d e k ) in md da permettere agli agenti ecnmici il perseguiment di lr predeterminate plitiche. RIERIENTI BIBLIOGRAICI Bamss, G. J. e Scammn D. L. "Cunterfeiting. A Wrldwide Prblem: what is the Rle f Channel embers", in Pellegrini, L. e Redd, S. K. (Eds), arketing Channels: Relatinship and Perfrmance. Advances in Retailing Series, Lexingtn Bks, Lexingtn, Cmité Clbert (a cura di), "La Cntrefaçn en Italie", Nta di Lavr - Parigi, ebbrai, 199. Grssman, G.. e Shapir, C., "Cunterfeit-Prduct Trade", The American Ecnmic Review, n. 78(1), 1988, Grssman, G.. e Shapir, C., "reign Cunterfeiting f Status Gds", Quarterl Jurnal f Ecnmics, n. 13(1), 1988, Higgins, R. S. e Rubin, P. H., "Cunterfeit Gds", Jurnal f Law and Ecnmics, n. 9(), 1986, ssett, G., "L'Ecnmia della Cntraffazine", Nta di Lavr - Dip. di Scienze Ecnmiche - Univ. "Ca' scari" di Venezia, n. 9.16, 199. Rwle, C., Tllisn, R. e Tullck, G., The Plitical Ecnm f Rent-seeking, Kluwer Academic Publishers, Bstn, U.S. Internatinal Trade Cmmissin, "The Effects f reign Prduct Cunterfeiting n U.S. Industr", USITC Publicatin, n. 1479,