ESERCIZI FISICA I Lezione

Transcript

1 ESERCIZI FISICA I Lezione Tutor: Alessandro Ursi alessandro.ursi@iaps.inaf.it ESERCIZIO 1 Una palla è lasciata cadere da un'altezza h = 5 m. Dopo aver toccato terra, rimbalza fino ad un'altezza h' = 2.5 m. Calcolare: 1.1 il tempo totale impiegato dalla palla per toccare terra la seconda volta Divido il problema in due parti. Nella prima parte studio la caduta della palla da h a terra. La sua legge del moto è: = + + che, data l'altezza iniziale h, l'altezza finale nulla e l'assenza di velocità inziale, diventa: 0 = h = " Nella seconda parte del problema la palla rimbalza fino a h' e poi cade nuovamente al suolo. Essendo il moto simmetrico rispetto al momento in cui la palla raggiunge h', posso calcolarne solo metà, ossia la caduta da h' al suolo. Analogamente a prima: = = h = "# Il tempo totale trascorso sarà quindi uguale a: " = + 2 = " + 2 "# = 2.41

2 ESERCIZIO 2 Un calciatore calcia una palla verso un canestro, posto in (d,h)=(10 m, 3 m), fornendole una velocità iniziale v0 e un angolo di inclinazione rispetto al suolo = Calcolare la velocità necessaria per fare canestro Il moto è balistico, descritto da due leggi del moto indipendenti lungo x e lungo y. Ponendo l'origine del sistema di riferimento (x0,y0)=(0,0) nel punto in cui il calciatore dà il calcio: = = dove v0x = cos(v0) è la proiezione della velocità sull'asse x e v0y = sin(v0) è la proiezione della velocità sull'asse y. = cos = sin Sostituendo il tempo, ottengo una funzione y=y(x): = "# = sin "# "# Da cui l'equazione della traiettoria (parabola negativa che passa per l'origine degli assi): = "# + tan Perché il calciatore faccia canestro la traiettoria deve sicuramente passare dal punto (d,h): h = "# + tan da cui ricavo la velocità: = " "# "# = 11 /

3 ESERCIZIO 3 Un punto materiale si muove su traiettoria circolare di raggio R = 11 cm, con un moto descritto dalla legge () = sin Ω, dove A = 0.78 e Ω = 0.32 Hz. Calcolare, al tempo = 1 : 1.1 la velocità v(t) Dalla definizione di velocità: () = "() Considerando che la velocità angolare è: () = "() " trovo: = sin Ω = Ω cos Ω ( ) = "Ω cos Ω = / 1.2 l'accelerazione centripeta e tangenziale Dalla definizione di accelerazione centripeta: ( ) = ( ) =."# /. = / Dalla definizione di accelerazione tangenziale: ( ) = = " Ω cos Ω = "Ω sin Ω = /

4 ESERCIZIO 4 Un corpo A sale su un piano inclinato di = 30 con una velocità v0 = 60 m/s diretta parallelamente al piano. Nel frattempo un corpo B è lasciato scivolare dalla sommità del piano inclinato, ad un'altezza H = 60 m. Calcolare: 4.1 il punto sul piano dove i due corpi si incontrano Considerazioni iniziali: su entrambi i corpi agisce la forza di gravità, la cui unica componente utile è quella parallela al piano (poiché quella ortogonale è bilanciata dalla normale del piano): = sin il piano è alto H = 60 m, dal quale posso ricavare la lunghezza del piano R, come = sin = 60 1/2 = 120 la velocità v0 è diretta lungo l'asse del piano, per cui per comodità allineo l'asse x parallelamente al piano inclinato dove avviene il moto dei due corpi A e B. Scrivo le leggi del moto dei corpi A e B: = sin = sin Perché i punti si incontrino in un punto, significa che nello stesso tempo si troveranno in quel punto: = =

5 Sostituendo: = sin = sin Risolvendo il sistema in, trovo il tempo: sin = sin = dal quale = sin = = 115

6 ESERCIZIO 5 Una palla di massa m = 981 g risale un piano inclinato di = 30 e alto H = 80 m con velocità iniziale v0 = 60 m/s. Il piano inclinato prosegue su un piano orizzontale di lunghezza indefinita. 5.1 Calcolare con che velocità la palla arriva alla sommità del piano inclinato Valgono le stesse considerazioni iniziali dell'esercizio 4: l'accelerazione che agisce sulla palla è la sola componente parallela al piano = sin dall'altezza del piano H ricavo la lunghezza del piano = = " = 160 "# / la velocità v0 è diretta lungo l'asse del piano, quindi pongo l'asse x parallelo al piano Imposto un sistema fatto dalla legge del moto e dall'accelerazione: = + + = Poiché cerco la velocità v ottenuta dopo aver raggiunto il punto x = R = H/sinϑ, partendo con una velocità v0 e sotto l'effetto della componente x dell'accelerazione di gravità sin : = "# sin sin = "# + "# = 0 = sin

7 Per trovare la velocità finale v, dalla prima equazione ricavo il tempo e lo sostituisco nella seconda equazione: 1 2 = ± 2 sin = sin 2 sin 4 1± 1 2 "# 2" Da cui ottengo due soluzioni per il tempo, ossia i due istanti ai quali la palla attraversa il punto R: = sin 1 1 2" = ~3 ossia il tempo impiegato per raggiungere R, partendo dall'origine, con velocità iniziale v0 e sotto l'effetto della forza di gravità. Si ottiene anche = sin " = ~ 21 che equivale all'ipotetico tempo impiegato per tornare al punto R, dopo che la palla viene fermata dalla forza di gravità e scivola giù nuovamente. Questa soluzione non ci interessa. Una volta noto il tempo, sostituisco nell'equazione della velocità: = sin ~ 45 / SOLUZIONE ALTERNATIVA Nota la legge del moto nel caso di spostamenti: = + 2 trovo facilmente v senza bisogno del tempo: = 2 sin = 5.2 2" ~ 45 / Calcolare l'altezza massima che raggiungerà la palla dopo aver lasciato il piano inclinato e il punto in cui toccherà terra nuovamente

8 Imposto un nuovo problema, in cui studio il moto balistico della palla su traiettoria parabolica. Il nuovo sistema di riferimento avrà l'asse x diretto lungo il piano orizzontale e l'asse y diretto lungo la verticale, con origine nel vertice alto del piano inclinato. La traiettoria della palla è descritta dai due moti indipendenti lungo x e lungo y: = = cos = = sin Ricavo il tempo dalla prima equazione e lo sostituisco nella seconda, per trovare la traiettoria y=y(x): = "# = "# "# da cui l'equazione della parabola: = "# + tan Per trovare l'altezza massima, cerco il punto dove la derivata prima di y(x) si annulla: 0 = "() " 0 = " "# + tan 0 = "# + tan = = cos tan = 1558

9 al quale corrisponderà un'altezza h = "# + tan = 2697 Il punto dove la palla tocca terrà è invece una delle due soluzioni dell'equazione di 2 grado associata alla parabola, ossia dove y(x)=0. Dall'equazione della traiettoria ottenuta prima: 0 = "# + tan 0 = 2 cos tan da cui una prima soluzione = 0 corrispondente all'origine del sistema di riferimento da dove parte la palla (che non interessa) e una seconda soluzione: = 2 cos tan = 3116 SOLUZIONE ALTERNATIVA Essendo il moto simmetrico rispetto al vertice della parabola, se so che l'altezza massima è raggiunta per x = 1558 m, il punto dove la palla toccherà il suolo sarà semplicemente 2x = 3116 m.