Nome Cognome Numero di matricola Coordinata posizione. Secondo compito in itinere di Fisica Generale 1 + Esercitazioni, a.a Maggio 2018

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1 Nome Conome Numero di matricola Coordinata posizione Secondo compito in itinere di Fisica Generale 1 + Esercitazioni, a.a Maio 018 ===================================================================== Premesse da leere molto attentamente prima di cominciare: In oni riquadro si deve scrivere per la randezza richiesta la formula matematica seuita dal suo valore numerico a partire dai dati forniti per tutte, o anche solo per alcune, delle randezze fisiche coinvolte. Il procedimento per arrivare alla formula finale va scritto nei foli protocollo distribuiti specificando la numerazione data nel testo. Se il procedimento non è riportato e/o non è coerente con la formula e col valore numerico scritti nel riquadro, il risultato viene considerato nullo. Si richiede di usare sempre il sistema di unità di misura internazionale SI. I valori numerici vanno scritti usando le potenze del 10 e si richiede (salvo casi particolari che verranno senalati) di riportare solo cifre sinificative, facendo il calcolo complessivo e arrotondandolo solo alla fine. Si consenano il folio del testo, debitamente compilato, e almeno uno, o più, foli protocollo a scelta individuale. La coordinate della posizione occupata in aula durante il compito viene fornita dalla docente e serve ad individuare compiti tra loro copiati, che verranno annullati. ===================================================================== Problema 1: R 1 è un riferimento inerziale fisso con oriine in O 1 ed assi xyz. R (oriine in O, assi XY Z) è un altro riferimento inerziale che si muove con velocità costante V = (0, V, 0) rispetto ad R 1 come mostrato in Fiura. Al tempo t = 0 si ha che: l oriine di R si trova in P = (0, d, 0), R inizia a muoversi con velocità V e li osservatori R 1 ed R lanciano (ciascuno) un corpo puntiforme, di massa m 1 ed m rispettivamente, dalla propria oriine deli assi e con velocità, rispetto al proprio sistema di riferimento, v = (0, 0, v ). I dati numerici sono: V = 5 ms 1, d = 1 m, m 1 = 1.5 k, m = k, v = 8 ms 1, = 9.81 ms. 1. L osservatore in R 1 studia il moto della massa m 1. Conclude che essa arriva ad una altezza massima z 1max e poi ricade a terra al tempo t 1caduta nel punto P 1caduta. Scrivete le formule e il valore numerico per ciascuna di queste tre randezze.. L osservatore in R 1 studia il moto della massa m nel riferimento R 1. Conclude che essa arriva ad una altezza massima z max, poi ricade a terra al tempo t caduta nel punto P caduta. Scrivete le formule e il valore numerico per ciascuna di queste tre randezze e anche del punto P O caduta in cui si trova l oriine O al tempo t caduta. 3. Scrivete la formula della traiettoria di m nel sistema di riferimento R 1 ed indicate di che tipo di curva si tratta. 4. Adesso è presente una forza di attrito viscoso (cioè proporzionale alla velocità del corpo) F (t) = β v(t) con coefficiente di proporzionalità β inoto. L osservatore in R 1 osserva che, in presenza di questa forza di attrito, la massa m 1 raiune un altezza massima z 1max = 3 z 1max. Sulla base di questo dato calcolate il lavoro L attrito fatto dalla forza di attrito viscoso durante il moto di salita della massa m 1. 1

2 Problema : In Fiura il riferimento piano Oxy è inerziale. L asse r ruota attorno ad O con velocità anolare ω ed è mostrato al tempo t. Luno l asse r il semento in rassetto rappresenta una uida liscia nella quale la massa puntiforme m = 0.1 k viene richiamata da una molla ideale di costante elastica k = 0.04 N/m, lunhezza a riposo e massa nulle verso il punto di richiamo S che non coincide con il centro di rotazione e oriine deli assi O, ma si trova a distanza d = m da esso. (La molla tra il punto S e la massa m non è disenata in Fiura). 1. L oscillatore armonico considerato ha, in assenza di rotazione, una sua frequenza di oscillazione naturale ω che potete calcolare. Nel caso in cui ruoti con una velocità anolare ω 1 < ω (con ω 1 = rad/s), calcolate la posizione di equilibrio r 1eq della massa m, dite se è maiore, minore o uuale a d e calcolate il valore numerico del rapporto r 1eq /d.. La velocità anolare di rotazione viene ora aumentata ad un valore ω = 0.3 rad/s (osservate che ω 1 < ω < ω ). Chiamiamo r 1eq e r eq le posizioni di equilibrio della massa m nei due casi. Calcolate il momento anolare di rotazione, L 1 ed L della massa m per ciascuna posizione di equilibrio, scrivete nel riquadro la loro differenza L = L L 1 e calcolatene il valore numerico. 3. La velocità anolare di rotazione viene aumentata ulteriormente fino al valore ω 3 = 70 rad/s. Scrivete la posizione di equilibrio r 3eq della massa m e, siccome è ω 3 ω sviluppatela in serie tenendo solo termini dell ordine di ω/ω 3. Calcolatene il valore numerico facendo attenzione al suo seno. Dite se questa posizione di equilibrio può essere raiunta dalla massa m vincolata a muoversi luno la uida. 4. Assumete che all istante t mostrato in Fiura, mentre la uida sta ruotando con velocità anolare ω, la massa m abbia una velocità ṙ(t) > 0. In queste condizioni sulla massa aisce una forza F perpendicolare alla direzione r della uida. Scrivete questa forza e specificatene il verso.

3 Soluzione del problema 1 1. Il moto della massa m 1 si svole luno l asse z del riferimento R 1. z = ż = t + v z = 1 t + v t m 1 raiune l altezza massima quando la sua velocità si annulla: 0 = t 1max + v t 1max = v il tempo che impiea la massa m per ricadere a terra è pari a quello di salita, quindi: per cui l altezza massima risulta: t 1caduta = t 1max = v inoltre: z 1max = 1 t 1max + v t 1max = v P 1caduta = (0, 0, 0) Si noti che era possibile trovare l altezza massima anche sfruttando il teorema di conservazione dell eneria meccanica in quanto l unica forza aente su m 1 è la forza di ravità che è conservativa: da cui mz 1max = 1 m 1v z 1max = v Con i valori numerici dati: t 1caduta = 1.63 s, z 1max = 3.6 m. Nel riferimento R 1 dell osservatore O 1 il moto della massa m si svole nel piano y, z. Seuendo lo schema del punto precedente si ottiene: ẍ = 0, ÿ = 0, z = ẋ = 0, ẏ = V, ż = t + v x = 0, y = V t + d, z = 1 t + v t 0 = t max + v t max = v t caduta = t max = v z max = 1 t max + v t max = v y caduta = V t caduta = V v P caduta = (0, V v + d, 0) All istante t caduta di caduta della massa m l osservatore posto nell oriine del riferimento R, che a t = 0 si trovava nel punto P si troverà nel punto P V v O caduta = (0, V t caduta + d = + d, 0), cioè nello stesso punto di caduta della massa m. Con i valori numerici: PO caduta = (0, 9.15m, 0) 3

4 3. Le equazioni del moto sono: { y = V t + d z = 1 t + v t Eliminando il tempo otteniamo: z = V (y d) + v (y d) (1) V che è l equazione di una parabola nel piano y, z con concavità rivolta verso il basso. 4. La forza di attrito viscoso è l unica forza non coservativa in ioco, quindi il suo lavoro è pari alla variazione di eneria meccanica durante il moto di salita: L attrito = E f E i = m 1 z 1max 1 m 1v = 3 m 1z 1max 1 m 1v = 3 m 1 v 1 m 1v = m 1v 3 1 m 1v = 1 6 m 1v Si tratta di un lavoro neativo in quanto la forza di attrito è sempre opposta allo spostamento. Con i valori numerici: L attrito = 16 k m s = 16 J 4

5 Soluzione del problema 1. Sappiamo che la frequenza di oscillazione naturale di un oscillatore armonico con costante elastica k e massa m è ω = k/m Quando ruota la posizione di equilibrio si ha quando la forza elastica di richiamo verso il punto S e quella centrifua dovuta alla rotazione attorno ad O, che aiscono entrambe luno r ma in direzioni opposte, si uualiano (si noti che all equilibrio la massa ha velocità nulla rispetto alla uida, cioè nel sistema rotante, e quindi la forza di Coriolis è nulla): Essendo ω 1 < ω, allora 0 < ω ω 1 < ω e quindi 0 = k(r 1eq d) + mω1r 1eq r 1eq = d ω ω1 ω ω r 1eq = d ω ω1 > d Più rande è ω 1 più la posizione di equilibrio si allontana da S, come è intuitivo. Con i numeri dati: r 1eq d = ω ω ω 1 = 1.01 NOTA: La frequenza di oscillazione naturale si ricava scrivendo l equazione del moto dell oscillatore in assenza di rotazione: m r = k(r d) da cui si evince quindi si tratta di un oscillatore armonico con frequenza naturale ω = k/m, e anche che l equilibrio (in assenza di rotazione) si ha quando r = d, dove vale m r = 0.. Le due posizioni di equilibrio r 1eq ed r eq alle due velocità anolari ω 1 ed ω sono (vedi punto precedente): ω r 1eq = d ω ω1 ω r eq = d ω ω e sappiamo che r q > r 1q perché ω 1 < ω < ω. Rispetto la riferimento inerziale Ox, y la massa ha, in ciascun caso, un momento anolare di rotazione non nullo. Dalla definizione di momento anolare, nelle due posizioni di equilibrio r 1eq ed r eq, vale L 1 = r 1eq m v 1 = mω 1 r1eqẑ e analoamente L = r eq m v = mω r eqẑ. Quindi: ( L = L L 1 = m(ω rq ω 1 r1eq)ẑ ω = m [ω ) ( ω ) ] d ω ω ω 1 d ω ω1 ẑ = [ ] = md ω 4 ω ω 1 ( ω ω) ( ) ω ω1 ẑ Con i numeri dati risulta: L = k m s 1 3. Calcolando la posizione di equilibrio come al punto 1. ma sapendo che in questo caso è ω 3 > ω si ha: ω ω ( r 3eq = d ω3 = d ω ω3 (1 ω /ω3 ) dω ω3 1 + ω ) ω3 d ω ω 3 Con i numeri dati: r 3eq m (la differenza tra il valore esatto e quello approssimato si vedrebbe se scrivessimo anche la cifra sinificativa successiva). Notare che r 3eq d d Essendo neativa questa posizione di equilibrio non può essere raiunta perché man mano che la velocità di rotazione aumenta la massa si trova sempre più lontana da S sul lato delle r positive a causa della forza centrifua. Si noti che in modulo r 3eq d, cioè questa posizione di equilibrio sarebbe molto più vicina al centro di rotazione e quindi, se potesse essere raiunta potrebbe arantire una rotazione molto reolare (sistema rotante ben centrato). < 0 5

6 4. La forza di Coriolis è data da F Cor = m ω r, quindi il suo modulo è: F Cor = mωṙ perpendicolare alla uida e per ṙ > 0 è diretta nel verso contrario alla rotazione. In notazione vettoriale: FCor = mωṙê ϑ dove ê ϑ è il versore perpendicolare all asse r nel verso della rotazione. Affinché la massa non esca dalla uida le pareti di essa devono essere in rado di controbilanciarla. Se la massa m potesse muoversi nel piano, invece di essere vincolata in una sola direzione luno la uida ( radi di libertà invece di 1), per ω 3 > ω la forza di Coriolis permetterebbe ad m di raiunere la posizione di equilibrio r 3eq sul lato delle r neative, arantendo un sistema rotante ben centrato. 6