DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIAI Tema d esame Esercizio 1. Il carrello di atterraggio di figura è montato su di un velivolo posto nel piano verticale. Il velivolo si muove di moto orizzontale rettilineo uniforme verso destra. a ruota di massa M e inerzia J, frenata, è appesa all estremo libero D della gamba di lunghezza e massa trascurabile, che è incernierata al velivolo all altro estremo, A. a forza aerodinamica F, orizzontale, agisce sul centro della ruota. A metà lunghezza della gamba, in B, è incernierata una biella di lunghezza b e massa trascurabile, che all altro estremo C scorre su una guida orizzontale. In C agisce un pistone di massa m e area A p, che spinge un fluido incomprimibile attraverso un orifizio di sezione A, il cui efflusso laminare è descritto dal coefficiente C e, verso la pressione ambiente p A C B D b M, J p C e, A Si scrivano posizione, velocità e accelerazione del punto D in funzione del movimento del pistone;. si calcoli la forza che il pistone deve applicare in C perché il punto trasli a velocità costante; 3. si determini l area dell orifizio A necessaria a alla condizione di moto al punto precedente; Esercizio. Si consideri un autoveicolo di massa m, dotato di quattro ruote uguali di raggio R e momento d inerzia trascurabile. Tra motore (avente momento d inerzia J m ) e ruote motrici posteriori è posta una trasmissione avente rapporto di trasmissione complessivo τ (rapporto tra velocità angolare delle ruote e velocità angolare del motore) e rendimenti η d per moto diretto e η r per moto retrogrado con < η r < η d < 1. Considerando la resistenza al rotolamento delle ruote mediante il coefficiente f v e la resistenza aerodinamica D = 1/ρv SC D, si determini 1. la coppia motrice C m necessaria a muovere il veicolo alla velocità v con accelerazione a > ;. la velocità v di regime alla quale il contributo alla coppia motrice richiesto dalla resistenza aerodinamica eguaglia quello della resistenza al rotolamento; 3. l energia necessaria a compiere una missione su percorso pianeggiante costituita da: (a) accelerazione costante a da fermo fino a velocità v, (b) movimento a velocità costante v per un tempo T, (c) arresto in una distanza con coppia frenante costante sulle ruote anteriori e coppia motrice nulla, ovvero C m = ; in accelerazione e frenata si trascuri l energia dissipata a causa delle forze aerodinamiche; 4. il volume di PM prodotto dall usura delle pastiglie dei freni per la missione al punto precedente. F A p Esercizio 3. a macchina di figura, posta in un piano verticale, consiste in un carrello di massa M a cui è incernierato un braccio di lunghezza e di massa trascurabile, la cui rotazione è contrastata da una molla avente rigidezza torsionale k T. Al braccio è appesa la massa m, di inerzia trascurabile, mediante una fune inestensibile lunga h e di massa trascurabile. Il moto del carrello è imposto con legge x(t). 1. Si calcoli il precarico della molla perché α = 6 o sia posizione di equilibrio statico stabile con x(t) = ;. si scrivano le equazioni del moto linearizzate attorno a tale posizione; 3. si calcoli la forza necessaria ad imporre il movimento x(t) = Xe jωt. h M k T m x(t) α Il testo sottolineato rappresenta una correzione rispetto al tema originario.

2 TRACCIA DEA SOUZIONE Soluzione Es. 1 1) Cinematica del centro ruota. Sia α l angolo di cui ruota la gamba del carrello, nullo quando la gamba è orizzontale rivolta a destra e positivo in senso antiorario (nel 4o quadrante nella figura). Sia β l angolo di cui ruota il montante C B, positivo in senso antiorario (nel 3o quadrante nella figura). Sia x la distanza C A, orizzontale, positiva verso destra. Il problema viene scritto in un sistema di riferimento relativo, che trasla con velocità rettilinea uniforme. Questo riferimento è quindi inerziale. a posizione del punto D è data da la velocità è P D = e jα ; (1) v D = j αe jα ; () l accelerazione è a D = ( j α α ) e jα ; (3) quindi occorre esprimere l angolo α e le sue derivate in funzione di x. equazione di chiusura ejα = x + be jβ corrisponde a scrivere due relazioni nelle tre incognite α, β, x, ovvero (4) cos α = x + bcos β sinα = bsin β Dalla seconda equazione si può ricavare una relazione tra β e α che, sostituita nella prima, consente di scrivere la relazione desiderate tra α e x. a derivata dell equazione di chiusura dà (5a) (5b) j α ejα = ẋ + j βbe jβ, (6) da cui α sin α = ẋ βbsinβ (7a) α cos α = βbcos β (7b) a derivata seconda dà da cui j α ejα α ejα = ẍ + j βbe jβ β be jβ, (8) α sin α α cos α = ẍ βbsin β β bcos β α cos α α sin α = βbcos β β bsin β (9a) (9b)

3 ) Forza applicata dal pistone. Nelle condizioni date, il punto C trasla a velocità ẋ costante. a forza d inerzia agente sulla ruota è quindi scomponibile in radiale e tangenziale; la componente radiale non compie lavoro per uno spostamento virtuale della gamba. Il lavoro virtuale della seconda è δ in = δαm α δαj α = δα ( M + J ) α (1) Il lavoro virtuale compiuto dalla forza aerodinamica F è δ a = sin αδαf (11) Il lavoro virtuale dovuto al peso è δ g = cos αδαmg (1) Il lavoro virtuale dovuto alla forza sul pistone, assunta pari a (p p )A p, è dato da δ p = δx(p p ) A p Dallo studio della cinematica si ricava δα = α x δx Si ricava quindi (13) (14) ovvero = = δx(p p )A p cos αδαmg + sin αδαf δα ( M + J ) α (15) δx ( (p p )A p α ( ( cos αmg sin αf + M + J ) α )) = (16) x da cui, per l arbitrarietà dello spostamento virtuale δx si ricava (p p )A p = α ( ( cos αmg sin αf + M + J ) α ) (17) x 3) Area orifizio. Il bilancio di portata nella camera dice che A p ẋ = C e A o (p p ) (18) Noto il coefficiente di efflusso e la velocità ẋ, negativa nel caso in esame, si ricava A p ẋ A o = C e (p p ) (19) Soluzione Es. 1) Coppia motrice. a velocità del veicolo è v = Rω u = τrω m. accelerazione è a = τr ω m. inerzia del veicolo, ridotta alla velocità ω u è J u = MR. a potenza associata all utilizzatore è Π u = C v ω u Dv = (Mgf v + D)Rω u. Si consideri una condizione di moto diretto; si ha ω m = η dc m τ (Mgf v + D)R η d J m + τ MR () a coppia motrice necessaria è quindi C m = τ ) (Mgf v + D)R + (J m + τ 1 MR η d η d τr a (1)

4 ) Velocità alla quale i contributi aerodinamico e di rotolamento sono uguali. A regime a =, quindi C m regime = τ η d (Mgf v + D)R () Si ha la condizione desiderata quando Mgf v = 1 ρv SC D ovvero per Mgf v v =. ρsc D (3) (4) 3) Energia dissipata. energia necessaria può essere calcolata in diversi modi. Nella fase di accelerazione, l energia fornita dal motore viene in parte trasformata in energia cinetica, e in parte dissipata dalla trasmissione e dal rotolamento (viene intenzionalmente trascurata la dissipazione aerodinamica). Nella fase a velocità costante viene dissipata energia dalla trasmissione, dal rotolamento e dalla resistenza aerodinamica. Nella fase di frenata viene dissipata energia dalla trasmissione, dal rotolamento e dai freni. a fase (a) di accelerazione, che si svolge ad accelerazione costante a a partire da fermo, comporta la percorrenza di una distanza x(t) = at / con velocità ẋ(t) = at. Siccome la fase termina quando ẋ(t) = v, quindi a t = v/a, la distanza percorsa è (a) = x(v/a) = v /(a). In tale fase, con le semplificazioni suggerite, il rotolamento dissipa E v = Mgf v (a), mentre la trasmissione dissipa E p = (1 η d ) v/a ( ) 1 (C m J m ω m ) ω m dt = 1 M (gf v + a) η (a). (5) d In alternativa, il lavoro fornito dal motore è pari a C m (a) /(Rτ), mentre l energia cinetica accumulata è (M + J m /(Rτ) )v /, quindi il lavoro dissipato è la differenza tra i due. a fase (b), di movimento a velocità costante v per un tempo T, comporta la percorrenza di una distanza (b) = vt. In questa fase la dissipazione per rotolamento è E v = Mgf v (b), quella aerodinamica è E a = D (b), mentre la trasmissione dissipa E p = (1/η d 1)(Mgf v + D) (b). a fase (c), di decelerazione in uno spazio, comporta una condizione in cui si ha un flusso di potenza sicuramente positivo entrante nella trasmissione dal lato motore, perché C m = e quindi J m ω m ω m è positivo in quanto ω m < ; ne consegue che il moto potrebbe essere diretto. Dal lato dell utilizzatore, invece, si ha Π u = (Mgf v + D + Ma)v, con a < ; se la decelerazione è sufficientemente brusca, con a < gf v D/M, anche dal lato utilizzatore la potenza fluirebbe verso la trasmissione. In tale caso il moto non è né diretto né retrogrado. Altrimenti è diretto. In ogni caso si ha dissipazione associata al rotolamento, E v = Mgf v, dissipazione associata alla trasmissione (non quantificata) e dissipazione associata ai freni, E f = C f /R. energia dissipata corrisponde alla variazione di energia cinetica, E c = (M +J m /(Rτ) )v /. Ne consegue 1 ( M + J m (Rτ) ) v = Mgf v C f R In totale, l energia dissipata in una missione è v ( ) ( ) 1 W = Mgf v a 1 M (gf v + a) v 1 η d a Mgf vvt DvT 1 (Mgf v + D)vT 1 η d Mv ( ( )) 1 gf v 1 1 = η d a + 1 η d Mv (Mgf v + D) vt 1 ( M + J ) m η d (Rτ) v (7) Si nota quindi che la potenza perduta in accelerazione è proporzionale alla massa; quella perduta in crociera dipende sia dalla massa che dalla resistenza aerodinamica; quella perduta in frenata è ancora proporzionale alla massa (e al momento d inerzia del motore). (6)

5 4) Consumo freni. Dall ipotesi di Reye si ha che il volume di materiale asportato dai dischi dei freni è proporzionale al lavoro compiuto dalle forze d attrito. Nel caso considerato, tale lavoro corrisponde alla differenza tra l energia cinetica perduta e l energia dissipata dalle altre forze attive, in questo caso dal solo rotolamento, dato che si è scelto di trascurare le forze aerodinamiche e le perdite nella trasmissione. Si ottiene C f R = M ( ) v gf v Questo lavoro è proporzionale al volume di materiale asportato. Se ne ricava che la quantità di particolato prodotto dalla frenata è proporzionale alla massa del veicolo. Da questa relazione si può anche calcolare la coppia frenante. dà Soluzione Es. 3 1) Precarico molla. In condizioni stazionarie l equilibrio alla rotazione della gru rispetto alla cerniera (8) = k T (α α c ) mgcos α (9) Con α = π/3 si ha α c = α + mg k T cos α = π 3 + mg k T (3) questo rappresenta l angolo per il quale la molla è scarica. Perché questa soluzione sia stabile, occorre che ovvero 3 α ( k T (α α c ) mgcos α) = k T + mgsin α = k T + mg <, (31) 3 k T > mg In alternativa, si consideri come rotazione della gru un angolo α = π/3 + α, tale per cui la molla è scarica quando α =. Perché l inclinazione α = π/3 sia di equilibrio statico occorre che la molla eserciti una coppia di precarico M T tale da equilibrare la gru. Si ha quindi (3) = k T α + M t mgcos α (33) da cui, per α =, si ricava M T = mg/. ) Equazioni del moto linearizzate. Siano A il punto in cui si trova la cerniera, B il punto in cima alla gru, C il punto in cui si trova la massa m. e loro posizioni sono P A = { x(t) P B = P A + { cos α sinα P C = P B + h{ sinθ cos θ ove θ sia l angolo formato dalla fune con la posizione di equilibrio statico, positivo in senso antiorario. e velocità sono { { { ẋ(t) sinα v A = v B = v A + α v cos α C = v B + θh cos θ (35) sin θ (34)

6 energia cinetica è E c = 1 M v A v A + 1 m v C v C = 1 Mẋ + 1 ( ( m ẋ αsin α + θhcos ) ( θ + ( ( = 1 Mẋ + m ẋ + α + h θ = 1 ẋ α θ energia potenziale è T αcos α + θhsin ) ) θ 3 ẋ α + hẋ θ 3 M + m m 3/ mh m 3/ m mh 3/ mh mh 3/ mh ẋ α θ h α θ E p = k T (α α c ) + mg (sin α hcos θ) (37) a sua derivata seconda comporta E p x = E p α = k T mgsin α E p θ = mghcos θ I termini misti sono tutti nulli. Ne consegue T E p 1 x = α k T mg 3/ θ mgh con α = α π/3. Il movimento x è imposto; ne consegue che occorre considerare una forza F che imponga tale movimento, il cui lavoro virtuale è δ = δxf. e equazioni linearizzate del moto diventano quindi M + m m 3/ mh m 3/ m mh ẍ 3/ mh mh α 3/ mh + k T mg x 3/ α = θ mgh θ (4) in quanto α = α. 3) Forza necessaria. Siccome x è imposto, il sistema si riduce alle ultime due equazioni, [ m mh ] { [ 3/ mh α kt mg ]{ { 3/ α m 3/ 3/ mh + = θ mgh θ mh x α θ da cui, considerando x(t) = Xe jωt, si ricava il movimento { [ A = ( Ω m mh ] [ 3/ Θ mh kt mg 3/ 3/ mh + mgh )) ]) 1 { m 3/ mh (36) (38a) (38b) (38c) (39) ẍ(t) nell ipotesi che la frequenza Ω della forzante sia ben separata dalle frequenze caratteristiche del sistema vincolato, ovvero con x imposto. a forza si ricava quindi dalla prima equazione, F = Ω [ M + m m 3/ mh ] X A ejωt. (43) Θ (41) X (4) F