STATICA DEL CORPO RIGIDO (Distillazione verticale)

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1 1 STTIC DEL CORPO RIGIDO (Distillazione verticale) OIETTIVO: SPERE CLCOLRE LE REZIONI VINCOLRI NELLE STRUTTURE ISOSTTICHE. Momento di una forza rispetto ad un punto (def.) Unità di misura Convenzione sui segni Convenzione di rappresentazione Momento di un sistema di forze rispetto ad un punto (def.) Coppia di forze (def.) Momento di una coppia di forze (def.) Teorema di Varignon (enunciato formula) Corpo rigido (def.) Possiili movimenti nel piano (descr.) Condizione di equilirio R M Vincolo (def.) Reazione vincolare (def.) Tipi di vincoli cerniera scorrevole (descr.) cerniera fissa (descr.) incastro (descr.) Movimenti impediti e relative reazioni vincolari (descr.) Struttura isostatica (def.) Equazioni cardinali della statica (appl.) equazione di equilirio alla traslazione orizzontale x equazione di equilirio alla traslazione verticale y M equazione di equilirio alla rotazione Calcolo reazioni vincolari (appl.) Strategia di risoluzione (descr.) Esempi

2 2 STTIC DEL CORPO RIGIDO - SCHED DI LEZIONE MOMENTO DI UN ORZ rispetto ad un punto: è un vettore il cui modulo è dato dal prodotto dell'intensità della forza per la sua distanza (raccio) dal punto. Il RCCIO è inteso come distanza dal punto alla linea d azione della forza e NON al punto di applicazione della forza. Momento = forza raccio M = (N m) L'effetto di un momento di una forza è sempre quello di produrre una rotazione attorno al punto di riferimento (polo dei momenti). P rotazione oraria momento positivo M = rotazione antioraria momento negativo M = - ( ) MOMENTO DI UN SISTEM DI ORZE rispetto ad un punto: è la somma algerica dei momenti delle singole forze calcolati rispetto allo stesso punto. COPPI: sistema di due forze complanari, parallele, di uguale intensità e di verso opposto. MOMENTO DI UN COPPI: prodotto dell'intensità di una delle due forze per la distanza tra le forze. Il momento di una coppia è costante qualunque sia il punto considerato. P _ M = COSTNTE per qualsiasi punto del piano TEOREM DI VRIGNON: in un sistema di forze complanari il momento della risultante rispetto ad un punto è uguale alla somma algerica dei momenti delle singole forze rispetto allo stesso punto. R = n n R = CORPO RIGIDO: corpo ideale assolutamente indeformaile, cioè la distanza tra due suoi punti qualsiasi è sempre uguale. Un corpo che si muove in un piano ha tre possiilità di movimento o tre gradi di liertà: i i u v φ traslazione orizzontale traslazione verticale rotazione nel piano v Φ u CONDIZIONI DI EQUILIRIO: un corpo è in equilirio se il sistema di forze cui è sottoposto ha risultante nulla e momento nullo rispetto ad un punto qualsiasi del piano. R M il corpo è in equilirio.

3 3 VINCOLO: qualunque collegamento esterno adatto ad impedire i vari movimenti di un corpo. REZIONE VINCOLRE: forza esercitata dal vincolo per impedire i movimenti del corpo rigido. tipo di vincolo rappres. grafica MOVIMENTI REZIONI VINCOLRI CERNIER SCORREVOLE (vincolo semplice) v=0 Φ 0 u 0 V CERNIER ISS (vincolo doppio) v=0 Φ 0 u=0 V H v=0 V INCSTRO (vincolo triplo) Φ=0 u=0 H H reazione vincolare orizzontale V reazione vincolare verticale reazione vincolare di momento Ogni vincolo esplica tante reazioni quanti sono i movimenti che impedisce ed ogni reazione ha la direzione del movimento impedito. STRUTTUR ISOSTTIC: quando il numero di vincoli è strettamente necessario per garantirne l'equilirio o per impedirne qualsiasi movimento. EQUZIONI CRDINLI DELL STTIC: sono tre equazioni di equilirio che ci permettono di calcolare le reazione vincolari in strutture isostatiche. ix 1 x 2 x nx H equilirio alla traslazione orizzontale iy 1 y 2 y ny V equilirio alla traslazione verticale i i n n MI equilirio alla rotazione rispetto ad un punto qualsiasi del piano CLCOLO REZIONI VINCOLRI: strategia di risoluzione. 1) Si scompongono eventuali forze inclinate secondo le direzioni perpendicolare e parallela (o coincidente) all'asse della struttura. 2) Si segnano le reazioni vincolari (incognite del prolema) che i vincoli possono esplicare assegnandogli un verso aritrario. 3) Si scrivono e si risolvono le tre equazioni cardinali della statica tenendo conto sia delle forze esterne che delle reazioni vincolari, da cui si calcolano le reazioni vincolari incognite. 4) Se le reazioni vincolari risultano positive vuol dire che i versi scelti aritrariamente sono esatti, se qualcuna delle reazioni vincolari risulta negativa vuol dire che il verso scelto aritrariamente è errato, quindi isogna camiargli il verso. L'INSIEME DELLE ORZE ESTERNE PPLICTE LL STRUTTUR E DELLE REZIONI VINCOLRI COSTITUISCONO UN SISTEM DI ORZE VENTE R, M (CIOÈ EQUILIRTO), QUINDI L STRUTTUR È IN EQUILIRIO.

4 ESERCIZI SVOLTI SUI MOMENTI 1) Calcolare il momento della forza = 2000 N rispetto ai punti,, C segnati in figura: 1,2 m C 1,1 m 0,6 m 4 M ( ) = = ( ,2) = 2400 N m M ( ) = = ( ,6) = 1200 N m M ( ) C = = ( ,1) = 2100 N m 2) Calcolare il momento di una coppia avente = 1500 N e raccio = 2,5 m rispetto ai punti,, C segnati in figura: C Poiché il momento di una coppia di forze è costante qualunque sia il punto rispetto a cui si calcola si ha: M ( ) = M = MC = = ( ,5) = 3750 N m negativo perché ha senso di rotazione antiorario 3) Calcolare la risultante del sistema di forze 1 = 1000 N, 2 = 2000 N, 3 = 500 N, 4 = 3000 N parallele, rappresentato in figura, applicando il teorema di Varignon. Della risultante da calcolare sono noti l intensità R = = = 5500 N 1,1 m 1,2 m 1,5 m il verso (dall alto in asso) e la direzione che è parallela alle direzioni delle 1 forze componenti, ma non conosco per quale punto passa; applico il 2 3 teorema di Varignon calcolando i momenti rispetto ad un punto scelto 4 2 aritrariamente: 3 4 R R = dove l incognita è il raccio della risultante , , ,8 = = = 2,26 m R 5500 ESERCIZI SVOLTI SULLE REZIONI VINCOLRI 1) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: 1=1000 N 2=2000 N Si tolgono i vincoli che vengono sostituiti dalle reazioni che possono esplicare (ricorda che ogni vincolo esplica tante reazioni quanti sono i movimenti che impedisce). 2 m 2 m 2 m 2=2000 N 1=1000 N le incognite del prolema sono H, V, V Si scrive e si risolve l'equazione di equilirio alla H traslazione orizzontale, cioè si fa la somma algerica delle V V forze orizzontali applicate alla struttura (forze esterne e 2 m reazioni vincolari) assumendo come verso positivo un verso aritrario e si uguaglia a zero. x ; H Si scrive e si risolve l'equazione di equilirio alla rotazione (si fa la somma algerica dei momenti di tutte le forze comprese le reazioni vincolari assumendo come positivi i momenti orari) rispetto ad

5 5 un punto qualsiasi del piano che conviene scegliere in uno dei vincoli per rendere nullo il momento di una delle incognite. i i scegliendo il punto M H 0 V V V 6 V = = 1666,7 N 6 Si scrive e si risolve l'equazione di equilirio alla traslazione verticale, cioè si fa la somma algerica di tutte le forze verticali applicate alla struttura (forze esterne e reazioni vincolari) e si uguaglia a zero. = y 0 ; V V ; V ,7 ; V = ,7 = 1333,3 N 2) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: =2000 N Si tolgono i vincoli che vengono sostituiti dalle reazioni che possono esplicare (ricorda che ogni vincolo esplica tante reazioni quanti sono i movimenti che impedisce). 4 m Le incognite del prolema sono H, V, H =2000 N ix ; H V M 4 m H x 0 V x 0 x 4 MI 2000 x 4 ; MI = N m Poiché il risultato è negativo, ciò vuol dire che il verso scelto per la reazione MI è errato quindi isogna camiarlo y ; V - ; V ; V = 2000 N 3) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: 1y 1=2000 N Si scompone la forza inclinata nelle sue due componenti perpendicolare e parallela all asse della struttura: 2 m 1 m H 30 1x V V 2 m 1 m 1y 1x 1x = 1 cos 30 = 2000 x cos 30 = 1732 N 1y = 1 sin 30 = 2000 x sin 30 = 1000 N Si tolgono i vincoli che vengono sostituiti dalle reazioni che possono esplicare. Le incognite del prolema sono V, H, V x ; H - 1x ; H ; H = 1732 N M V x 2 H x 0 V x 0 1x x 0 1y x V x x 1 V = 2 = 866 N poiché il risultato è negativo, ciò vuol dire che il verso scelto per la reazione V è errato quindi isogna camiarlo

6 6 = y 0 ; V V - 1y 866 V ; V = = 866 N 4) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: 1 =3000 N 2y 2 =4000 N Si scompone la forza inclinata nelle sue due componenti perpendicolare e parallela all asse della struttura: H 45 2x 2x = 2 cos 45 = 4000 x cos 45 = 2828 N 2y = 2 sin 45 = 4000 x sin 45 = 2828 N 1 =3000 N 2y Si tolgono i vincoli che vengono sostituiti dalle reazioni che possono esplicare. Le incognite del prolema sono H, V, x ; H - 2x V H ; H = 2828 N 2x M H x 0 V x 0 1 x 2 2y x 4 2x x 0 = 0 = x x 4 = N m poiché il risultato è negativo, ciò vuol dire cheil verso scelto per la reazione MI è errato quindi isogna iy camiarlo V - 1-2x ; V ; V = 5828 N 5) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: 1=1000 N 2=2000 N H V 2 m 2y 1y x 2x V le incognite del prolema sono H, V, V 1x = 1 cos 60 = 1000 cos 60 = 500 N 1y = 1 sin 60 = 1000 sin 60 = 866 N 2x = 2 cos 30 = 2000 cos 30 = 1732 N 2y = 2 sin 30 = 2000 sin 30 = 1000 N Si scrive e si risolve l'equazione di equilirio alla traslazione orizzontale, cioè si fa la somma algerica delle forze orizzontali applicate alla struttura (forze esterne e reazioni vincolari) e si uguaglia a zero. ix ; H 1x - 2x ; H ; H = 1232 N Si scrive e si risolve l'equazione di equilirio alla rotazione rispetto ad un punto qualsiasi del piano che conviene scegliere in uno dei vincoli per rendere nullo il momento di una delle incognite. i i scegliendo il punto M H 0 V 0 1x 0 1y 2 2y 4 2x 0 - V V 6 V = 6 = 955, 33N Si scrive e si risolve l'equazione di equilirio alla traslazione verticale, cioè si fa la somma algerica di tutte le forze verticali applicate alla struttura (forze esterne e reazioni vincolari) e si uguaglia a zero. iy ; V - 1y - 2y V ; V ,33 ;

7 7 V = ,33 = 910,67 N

8 6) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: 8 H V C=3000 Nm =2000 N ix H M H x 0 V x 0 C x x 4 ; = Nm il verso scelto per la reazione è errato quindi isogna camiarlo iy V - ; V ; V = 2000 N 7) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: 2 V 1y 1=2000 N il carico distriuito si riduce ad un carico C=3000 Nm V concentrato applicato nel aricentro q=2000 N/m H 30 2 = q x l = 2000 x 1 = 2000 N 1x 1x = 1 cos 30 = 2000 x cos 30 = 1732 N 1y = 1 sin 30 = 2000 x sin 30 = 1000 N 1 m 1 m 1 m 1 m ix ; H - 1x ; H ; H = 1732 N M - 2 x 2,5 V x 2 C H x 0 V x 0 1x x 0 1y x , x 2,5 V x x 1 V = 2 = 1134N iy ; - 2 V V - 1y V ; V = = 2598 N 8) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: =3000 N ix ; H N V V C=3000 Nm M H H x 0 V x 0 x 1,5 - V x x 1,5 - V x , ,5 m 1,5 m 1,2 m V = 3 = 2500N iy ; V - V V ; V = 500 N 9) Calcolare le reazioni vincolari della struttura isostatica in figura: H V 1=3000 N 2y 2=4000 N 45 2x 2x = 2 cos 45 = 4000 x cos 45 = 2828 N 2y = 2 sin 45 = 4000 x sin 45 = 2828 N ix ; H - 2x H ; H = 2828 N M H x 0 V x 0 1 x 2 2y x 4 2x x x x 4 = Nm il verso scelto per la reazione è errato quindi isogna camiarlo iy V - 1-2x ; V ; V = 5828 N