UNITÀ 2 EQUAZIONI E SISTEMI DI SECONDO GRADO

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1 UNITÀ EQUAZIONI E SISTEMI DI SECONDO GRADO. I numeri reali.. I radicali.. Le operaioni con i radicali.. Le equaioni di secondo grado pure, spurie e complete.. Sistemi di secondo grado con due equaioni in due incognite.. Sistemi di secondo grado con tre equaioni in tre incognite. 7. Prolemi vari che si risolvono con equaioni o con sistemi di equaioni di secondo grado.

2 . I numeri reali. L insieme dei numeri reali R comprende l insieme dei numeri raionali Q e l insieme dei numeri irraionali I. Un numero irraionale è un numero che non si può trasformare in una fraione. Per esempio: =, π =,. e =,7. I numeri irraionali sono infiniti e sono più numerosi dei numeri raionali. Q e I non hanno alcun elemento in comune, cioè sono disgiunti: Q I = ɸ L unione di Q e I forma l insieme dei numeri reali Q Ụ I = R L insieme dei numeri reali è ordinato, cioè a, R risulta sempre una delle seguenti possiilità: a < oppure a = oppure a > L insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operaioni di addiione, sottraione, moltiplicaione e divisione, cioè a, R è sempre possiile calcolare a+, a-, a, l insieme dei numeri reali è denso, a con cioè a, R esiste almeno un altro numero reale compreso tra essi, per esempio il valore medio a+ Ad ogni numero raionale corrisponde un punto della retta ma non viceversa. Ci sono punti della retta che non corrispondono ad alcun numero raionale. Per esempio la lunghea della diagonale di un quadrato di lato, cioè, non corrisponde ad alcun numero raionale. Infatti si può dimostrare che è un numero irraionale. Invece con l introduione dei numeri irraionali c è corrispondena iunivoca tra i numeri reali e i punti della retta.. I radicali. I radicali sono numeri, monomi, polinomi o fraioni algeriche che si trovano sotto il simolo di radice. Esempi: a Si possono anche trasformare in potene con esponente fraionario: = 7 = 7 Se l indice di radice è pari devono verificare la condiione di esistena, cioè il radicando deve essere positivo o nullo.

3 . Le operaioni con i radicali. L addiione e la sottraione si possono eseguire solo se i radicali sono simili. Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale avente come indice lo stesso indice e come radicando il prodotto dei radicandi. Il quoiente di due radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale avente come indice lo stesso indice e come radicando il quoiente dei radicandi. Se i radicali hanno indici diversi isogna prima trasformarli in modo che aiano lo stesso indice. Per fare ciò si moltiplica per uno stesso valore opportuno l indice di radice e l esponente del radicando. = = = 7 = 7 = La potena di un radicale si calcola elevando a potena il radicando. La radice di un radicale è uguale ad un radicale avente lo stesso radicando e come indice di radice il prodotto degli indici. Trasporto di un fattore dentro il segno di radice Si esegue in questo modo: = = = = Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice Si esegue in questo modo: = = = Raionaliaione del denominatore di una fraione. Raionaliare il denominatore di una fraione vuol dire eliminare i radicali dal denominatore. Per fare ciò isogna moltiplicare Numeratore e Denominatore della fraione per un opportuno radicale. Questa operaione è necessaria quando isogna sommare fraioni che contengono radicali al Denominatore e isogna calcolare il minimo comune multiplo. I radicali doppi. Si chiama radicale doppio una espressione del tipo a ± che a volte si può trasformare in una somma algerica di radicali normali utiliando questa formula: a ± = a+ a ± a a La trasformaione si può eseguire solo se a è un quadrato perfetto.. Le equaioni di secondo grado pure, spurie e complete.

4 . Sistemi di secondo grado con due equaioni in due incognite. Questi sistemi contengono un equaione di primo grado con due incognite e un equaione di secondo grado con due incognite. Si risolvono con il metodo di sostituione, ricavando un incognita dall equaione di primo grado e sostituendo l espressione trovata nell equaione di secondo grado. Risolvendo questa, si trovano i valori della prima incognita che, sostituiti nell altra equaione, permettono di trovare i valori dell altra incognita. Per esempio risolvere il sistema: Dalla seconda equaione si ricava la e si sostituisce la sua espressione nella prima equaione. Si ricavano le soluioni della prima equaione: ac = a = Tornando al sistema aiamo: Quindi le soluioni del sistema sono le seguenti coppie di valori: ( e (

5 . Sistemi di secondo grado con tre equaioni in tre incognite. Questi sistemi contengono un equaione di secondo grado con tre incognite e due equaioni di primo grado con tre incognite. Si risolvono ricavando un incognita da un equaione di primo grado e sostituendo la sua espressione nelle altre due equaioni. Per esempio risolvere il sistema: Dalla prima equaione si ricava la e si sostituisce la sua espressione nelle altre due equaioni. ( ( ( ( Si risolve l equaione di secondo grado: ac = a Tornando al sistema aiamo: = Quindi le soluioni sono le seguenti terne di valori: e (

6 7. Prolemi vari che si risolvono con equaioni o con sistemi di equaioni di secondo grado.