Modellazione e calcolo assistito di strutture meccaniche. Lezione 6 Integrazione ridotta Calcolo degli sforzi - Convergenza

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Bonifacio Pandolfi
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1 Modellazione e calcolo assistito di strutture meccaniche Lezione 6 Integrazione ridotta Calcolo degli sforzi - Convergenza 1

2 Integrazione ridotta 2 Si giustifica per due motivi: 1. migliore rappresentazione della rigidezza della struttura reale: un modello FEM è per sua natura PIU RIGIDO della struttura reale (il campo di spostamenti rappresentabile all interno degli elementi è limitato ad un polinomio il cui grado è fissato dal numero di nodi); aumentare il numero di punti di Gauss: può avere l effetto di irrigidire eccessivamente il modello fa aumentare i tempi di calcolo + precisione nel calcolo degli integrali > + precisione del modello FEM 2. riduzione dei tempi di calcolo, rilevante soprattutto per problemi non lineari e dinamici Tuttavia si presenta il rischio di attivare modi ad energia nulla 2

3 Effetti dell integrazione ridotta 3 Possibili modi di deformazione di un elemento Q4 I punti di Gauss, ai fini del calcolo degli elementi di [K], si comportano come sensori di deformazione Per calcolare un integrale con il metodo di Gauss, utilizzo il valore assunto dalla funzione in alcuni punti. Se in questi punti il campo di spostamenti comporta deformazioni nulle nel punto di Gauss, per l elemento verranno calcolati corrispondenti termini di rigidezza nulli. Un esempio, riferito all elemento Q4, sono i casi 7 e 8 di figura, per i quali nel punto ξ=0, η=0 (punto di Gauss in caso di integrazione ridotta) si registra ε x = ε y = γ xy = 0. 3

4 Compatibilità dei modi ad energia di deformazione nulla per alcuni tipi di elemento 4 a) b) c) u = Cxy u = 0 u = Cy(1 x) a) b) c) v = 0 v = Cxy v = Cx( y 1) Sono tutti modi per i quali ε x = ε y = γ xy = 0 in x = y =0, e sono compatibili tra elementi adiacenti, esponendo il modello al rischio di instabilità. Succede anche se i vincoli sono adeguati a prevenire spostamenti rigidi Lo stesso succede agli elementi non rettangolari (isoparametrici) Sono modi che si sovrappongono a quelli corretti, e quindi difficili da individuare 4

5 Compatibilità dei modi: esempio Instabilità a clessidra (hourglass) 5 5

6 Compatibilità dei modi: esempio Instabilità a clessidra (hourglass) 6 6

7 Compatibilità dei modi: esempio Instabilità a clessidra (hourglass) 7 7

8 Compatibilità dei modi 8 Anche gli elementi Q8 presentano un modo a clessidra simile, ma non preoccupa perché non si può trasmettere (due elementi adiacenti non possono deformarsi allo stesso modo) Il Q9 ad integrazione ridotta (2 X 2) invece presenta modi trasmissibili 8

9 Calcolo degli sforzi 9 Una volta noti gli spostamenti nodali, gli sforzi si calcolano { σ } [ E] ([ B]{ u} { }) + { } = nodi ε 0 σ 0 dove [B] è funzione delle coordinate del punto considerato Non tutti i punti dell elemento presentano valori di sforzo corretti Es. Nel caso della flessione di un Q8 Il valore corretto di γ xy si legge in corrispondenza dei punti di Gauss, non dei nodi. La procedura consolidata consiste nel calcolare gli sforzi nei punti di Gauss, quindi estrapolare i valori ai punti di interesse (i nodi) mediante le funzioni di forma 9

10 Esempio di procedura di estrapolazione degli sforzi dai punti di Gauss Trasformazione di coordinate r = s = 3ξ 3η 2. Estrapolazione σ P = N i σ i i = 1, 2,3, 4 Esempio: nel nodo A σ xa = 1.866σ x1 0.5σ x σ x3 0. 5σ x4 con le funzioni di forma N N 1 3 = = ( 1 r)( 1 s) ( 1+ r)( 1 s) 4 ( 1+ r)( 1+ s) ( 1 r)( 1+ s) 4 N N 2 4 = =

11 Estrapolazione degli sforzi dai punti di Gauss 11 In generale l espressione degli sforzi è bi-lineare σ x = C1 + C2ξ + C3η + C4ξη Quindi per un Q8 è di un ordine inferiore al campo (u,v) Ciò non ostante, la precisione della rappresentazione del campo di sforzi è migliore. N.B. #1: i punti di Gauss utilizzati per gli sforzi può essere diverso da quello dei punti utilizzati per l integrazione di [K] N.B. #2: mediare semplicemente i valori di sforzo ai nodi non sortisce lo stesso effetto Esempio: ( + )/2= 11

12 Controllo della distorsione 12 La precisione dei risultati tende a diminuire quando gli elementi sono distorti (prima dell analisi) La distorsione può consistere in scostamento dalla forma quadrata, lati non rettilinei, scostamento degli angoli da 90 In casi estremi può addirittura succedere che per effetto della distorsione eccessiva uno o più punti di Gauss cadano all esterno dell elemento, dove J è negativo (non è possibile la trasformazione isoparametrica), mentre è bene che J > 0 e assuma valori poco diversi al variare della posizione all interno dell elemento I software dispongono di tools di verifica della distorsione degli elementi (es. gli angoli formati dai lati siano entro determinati valori soglia) 12

13 Tecniche di infittimento della mesh 13 13

14 Metodo h 14 H, dimensione caratteristica: - lunghezza, per el. beam o bar -A ½, per elementi piani o shell -V 1/3, per elementi solidi Viene aumentato il numero di elementi, non il loro ordine (polinomio interpolante) 2 possibilità di infittimento: - uniforme - non uniforme 14

15 Metodo p 15 Il numero di elementi è invariato. Si aggiungono nodi sui lati degli elementi p è l ordine del polinomio completo riconoscibile nell espressione del campo degli spostamenti Esempio: p =1 per Q4 e T3 p = 2 per Q8 15

16 Metodo r 16 R = rearrange Il numero di elementi rimane invariato, cambia la disposizione 16

17 Ordine dell errore 17 Posto: h, lunghezza caratteristica dell elemento p, grado del polinomio completo contenuto in {u} L errore di discrettizzazione, indice della velocità di convergenza, è O(h p+1 ) per la rappresentazione di {u} con un polinomio di ordine p è ragionevole pensare che l errore sia legato principalmente ai termini omessi di grado p+1 O(h p ) per le grandezze derivate {e} e {s} si tratta di una stima pessimistica, in quanto dipende dal punto in cui si calcolano Esempi: Q4 -> err{u} = O(h 2 ) Q8 -> err{u} = O(h 3 ) 17

18 Analisi di convergenza 18 A condizione che l infittimento sia regolare: siano mantenuti i nodi e i lati della mesh meno fitta i nodi sugli spigoli e sui lati del modello vi rimangano il punto in cui si calcola la grandezza sia invariato non si cambi tipo di elemento L errore in funzione di h q, con q ordine dell errore per la grandezza Φ, è lineare Φ Φ1h Φ h = h h q 2 q 2 q 2 1 q 1 18

19 Analisi di convergenza 19 q non è facilmente determinabile a priori: dipende dalla distorsione degli elementi la convergenza può non essere monotonica la prime mesh possono essere troppo rade Allora si determina q con: almeno 3 mesh cercando il valore di q che rende lineare la relazione errore h q Se viene a mancare la monotonicità il rischio è: tratto C-D: pessima estrapolazione tratto B-C: errore apparentemente azzerato 19

20 Stima dell errore 20 Al passo i-esimo, l errore percentuale si può stimare come e = φ i φ 100% φ Nel caso di infittimento irregolare, h si può definire con n = 2 in 2D n = 3 in 3D e operare un estrapolazione lineare su tre punti 1 N elementi 1 h = 1 n N elementi è una stima del numero di elementi per lato 20

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