Strategie per migliorare la soluzione

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1 Strategie per migliorare la soluzione Facendo riferimento ai problemi su strutture sollecitate in modo membranale, discretizzazioni inadeguate possono portare a risultati molto approssimati Ad esempio Trave sollecitata a sbalzo con taglio e momento flettente F Andamento del momento flettente Andamento della tensione principale In questo caso l andamento a farfalla è ottenibile dalle funzioni di forma, tuttavia la deformazione principale non varia sull elemento in direzione () In questo caso gli elementi hanno tensione costante nel loro dominio e quindi i pari saranno in trazione ed i dispari in compressione Risulta chiaro che entrambi i risultati sono molto approssimati ()

2 ) Strategia h: Incrementare l infittimento ovvero utilizzare elementi più piccoli oppure Migliori risultati si hanno con l infittimento selettivo, utilizzando elementi più piccoli là dove i gradienti di tensione sono più elevati ) Strategia p: Utilizzare elementi con funzioni di forma più complesse Anche in questo caso si possono identificare due livelli di azione: a) Aumentare il numero di nodi che descrivono l elemento Elemento a otto nodi 7 Gli elementi senza nodi all interno di questo tipo si chiamano elementi della serie serendipit u v, α α α α α α α7 α, 7

3 Le funzioni di forma contengono ora termini quadratici L andamento delle deformazioni (e quindi delle tensioni) non è più costante e lineare, ma lineare e quadratico I gdl dell elemento diventano in questo caso sedici Per determinare i termini che compaiono si può usare triangolo Pascal Elementi lineari nodi Elementi quadratici nodi Elementi cubici nodi Elementi quartici nodi La serie continua nel modo indicato, aumentando di in i nodi sui lati di contorno

4 Elemento a nove nodi 9 7 Gli elementi che si innestano su un reticolo regolare, con nodi interni, appartengono alla serie lagrangiana u, α α α α α α α7 α α9, v 7 9 Le funzioni di forma contengono ora termini quadratici L andamento delle deformazioni (e quindi delle tensioni) non è più costante e lineare, ma lineare e quadratico I gdl dell elemento diventano in questo Elementi lineari nodi caso diciotto Per determinare i termini che compaiono si può usare ancora il triangolo Pascal Elementi quadratici 9 nodi Elementi cubici nodi Elementi quartici nodi

5 I più moderni codici di calcolo consentono di far aumentare automaticamente il numero di parametri considerati su quegli elementi dove la convergenza non è raggiunta a sufficienza Pure risultati interessanti si possono ottenere non modificando la tipologia dell elemento, ma aumentando i gdl considerati per ogni nodo Si suppone, ad esempio, di considerare anche le derivate prime e seconde: δ, u v du d du d dv d dv d d u d d v d T Sono stati aggiunti i termini di derivata II per garantire la compatibilità del campo di spostamenti generalizzato I gdl sono diventati in tutto per l intero elemento Questo elemento consente anche di avere campi di tensione e deformazione continui sui bordi dell elemento La formulazione in coordinate naturali (vedi oltre) provoca notevoli difficoltà nella formulazione In genere si utilizzano elementi superiori come quelli utilizzati nella discretizzazione di strutture con contorni non rettilinei (coordinate naturali)

6 Non è sempre consigliabile invece utilizzare elementi a formulazione superiore in presenza di fenomeni non lineari Elementi con formulazione quadratica su solo alcuni lati si possono eventualmente utilizzare per connettere zone discretizzate con più nodi con altre discretizzate con meno nodi (vedi esempio) nodi nodi nodi Si possono anche unire zone con elementi con numero di nodi diversi aggiungendo condizioni vincolari sugli spostamenti dei nodi elemento superiore nodi nodi I nodi si devono spostare su una retta