LE GEOMETRIE DEGLI ELEMENTI LINEARI DEL PIANO, DEGLI ELEMENTI PIANI DELLO SPAZIO E DEGLI ELEMENTI LINEARI DELLO SPAZIO

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1 G. SCHAAKE (Amsterdam - Olanda) LE GEOMETRIE DEGLI ELEMENTI LINEARI DEL PIANO, DEGLI ELEMENTI PIANI DELLO SPAZIO E DEGLI ELEMENTI LINEARI DELLO SPAZIO 1. - Un elemento lineare del piano a sia formato dalla retta l con coordinate omogenee f 4, 2, 3 e dal punto P, situato su l, con coordinate omogenee Xi, x%, x 3. Questi sei numeri soddisfano alla relazione: (1) a?ifi+a*î2 + S3fs=0. Ogni elemento lineare di a determina i seguenti nove numeri, eccetto un fattore costante: Pik=Xi k (a=l,2, 3, &=1,2, 3). Questi nove numeri soddisfano sempre all'equazione seguente, che si deduce della relazione (1): ^11+^22+^33=0 ed alle relazioni che otteniamo quando poniamo eguali a zero tutti i minori quadratici della matrice PU Pi2 PIB P2L P22 P23 PSI PS2 P33 Viceversa nove numeri p iìc, che non sono tutti nulli, e che soddisfano alle relazioni trovate, determinano un elemento lineare (P, l) del piano a. I nove numeri p^, che, eccetto un fattore costante sono determinati dall'elemento lineare (P, l) e che viceversa determinano l'elemento lineare (P, l), possono dunque considerarsi come coordinate omogenee dell'elemento lineare (P, l) del piano a Ad ogni elemento lineare (P, l) di a appartiene in uno spazio ad otto dimensioni S& il punto B, che ha le medesime coordinate omogenee p^. Dunque gli elementi lineari (P, l) di a possono rappresentarsi sui punti d'una varietà a tre dimensioni V 3, che è situata nello spazio a sette dimensioni S l7 che ha per equazione: ^ia ik pik=0.

2 46 COMUNICAZIONI C'è un elemento lineare d'un sistema 2, per cui il punto P è perfettamente determinato. Il sistema 2 possiede anche un elemento lineare, per cui la retta l è perfettamente determinata. Perciò il sistema 2 è chiamato un sistema \ 1,1 ] od un sistema bilineare di oo 2 elementi lineari. Dunque l'ordine di V 3 è il numero degli elementi lineari, che appartengono a tre sistemi 2 dati. Possiamo facilmente dimostrare che tre sistemi 2 hanno comuni sei elementi lineari. Perciò la varietà V 3 è del sesto ordine Gli elementi lineari che sono comuni a due sistemi 2 formano un oo ^sistema ^(3,3), perchè i loro punti formano una curva cubica e le loro rette avviluppano una curva della terza classe. Un sistema d> è rappresentato dalla sezione di V 3 con uno spazio a cinque dimensioni S 5. Le rette degli elementi lineari d'un sistema 2, che hanno i loro punti P su una retta a di a, inviluppano una conica, che tocca la retta a, perciò gli elementi lineari di 2 che hanno i loro punti P su di una retta a di a, formano un sistema S(l, 2). La rappresentazione di questo sistema è una curva gobba k 3 del terzo ordine, che appartiene alla varietà V 3. Ciò segue dal numero tre degli elementi lineari che sono comuni a due sistemi 2 e hanno i loro punti P sulla retta a. La curva cubica che è inviluppata dalle rette l degli elementi lineari che sono comuni a due sistemi 2, i quali contengono il sistema detto 8(1, 2) è degenerata nella conica di S ed in un fascio di rette. Da ciò si conclude che tre sistemi 2 i quali contengono il sistema S(l, 2), hanno comune un elemento lineare fuori di S. Ne segue che uno spazio a quattro dimensioni # 4 per lo spazio a tre dimensioni #3 sega la varietà V 3 fuori di S 3 in un punto B. Adesso possiamo rappresentare gli elementi lineari del piano a su i punti d'uno spazio a tre dimensioni R 3 dello spazio S 1. L'elemento lineare (P, l) si rappresenta sulla proiezione Q del punto B, omologo di (P, l), dallo spazio S 3 sullo spazio R Un elemento piano (P, TI) dello spazio sia formato dal piano TI colle coordinate omogenee g if f 2, I3, * e dal punto P, situato in n, colle coordinate omogenee x L, x%, x 3, x 4. Questi otto numeri soddisfano alla relazione: (1) #lf f 2 +^3 +^4 = 0. Ogni elemento piano dello spazio determina i seguenti sedici numeri, eccetto un fattore costante:,- * n o A 7 * n O A\ Pik=%ih ^=1,2,3,4, k=l, 2, 3, 4). Questi numeri soddisfano sempre all'equazione seguente, che si deduce dalla relazione (1): (2) Pu +P22 +#33 +#44 = 0

3 G. SCHAAKE: Le geometrie degli elementi lineari 47 ed alle relazioni che si ottengono quando si pongono eguali a zero tutti i minori quadratici della matrice : ' Pu Pi2 #13 Pu P21 P22 P23 #24 #31 #32 #33 #34 #41 #42 #43 #44 Viceversa sedici numeri dati puc, che non sono tutti nulli e che soddisfano alle relazioni dette, determinano un elemento piano (P, TI) dello spazio. I sedici numeri pi k, che, eccetto un fattore costante, sono determinati dall'elemento piano (P, TI) e che viceversa determinano l'elemento piano (P, n) f possono dunque considerarsi come coordinate omogenee dell' elemento piano (P, TI} dello spazio Ad ogni elemento piano (P, TI) dello spazio appartiene in uno spazio lineare a quindici dimensioni S iò il punto B, che ha le medesime coordinate omogenee pue* Dunque gli elementi piani (P, TI) dello spazio possono rappresentarsi sui punti d'una varietà a cinque dimensioni V h, che è situata in uno spazio a quattordici dimensioni S ì4l, che ha per equazione: #ll+#22+#33+#44 = 0. L'ordine di F 5 è il numero dei punti di sezione di cinque spazii a tredici dimensioni R i3 dello spazio S a colla varietà F 5. La sezione d'uno spazio S i3 con V 5 è la rappresentazione del sistema 2 degli elementi piani dello spazio, che soddisfano all'equazione: ^a ik pi k =0. C'è un elemento piano d'un sistema 2, per cui il punto P è perfettamente determinato ed il piano TI contiene oltre ciò una retta data PA. Il sistema 2 possiede anche un elemento piano, per cui il piano TI è perfettamente determinato ed oltre ciò il punto P è situato su una retta data di TI. Perciò il sistema 2 è chiamato un sistema 1,1] od un sistema bilineare di oo 4 elementi piani. Dunque l'ordine di F 5 è il numero degli elementi piani, che appartengono a cinque sistemi 2 dati. Possiamo facilmente dimostrare che cinque sistemi 2 hanno comuni venti elementi piani. Perciò la varietà F 5 è del ventesimo ordine Gli elementi piani che sono comuni a due sistemi 2 formano un oo 3 -sistema ^(1,2,1), perchè $ possiede un elemento piano, per cui il punto P è dato, due elementi piani, per cui il punto P è situato su una retta data ed il piano TI passa per questa retta ed un elemento piano per cui il piano TI h dato. Un sistema 0 è rappresentato dalla sezione di F 5 con uno spazio a dodici dimensioni #12 di S^.

4 48 COMUNICAZIONI Gli elementi piani che sono comuni a tre sistemi 2 formano un oo 2 -sistema W(4z, 6, 4), perchè W possiede quattro elementi piani, che hanno i loro punti P su una retta data, sei elementi piani, per cui il punto P è situato in un piano dato ed il piano n passa per un punto dato, e quattro elementi piani, per cui il piano TI passa per una retta data. Un sistema W è rappresentato dalla sezione di V 5 con uno spazio ad undici dimensioni Sa di S i4l I punti P degli elementi piani d'un sistema W, per cui il piano TI passa per un punto A, formano una superficie del terzo ordine. Fra questi elementi piani ve ne sono tre che hanno i loro piani TI passanti per un altro punto dato e hanno i loro punti P in un piano dato. Perciò gli elementi piani di W i cui piani TI passano per un punto dato A, formano un oo 2 -sistema S(S, 3,1). La rappresentazione di questo sistema è una superficie del decimo ordine a) i0, che è situata in uno spazio ad otto dimensioni S 8 di #14. La superficie del quarto ordine che è formata dai punti P degli elementi piani che sono comuni a tre sistemi 2 i quali contengono il sistema S(S, 3,1) è degenerata nella superficie co 3 ed in un piano. Da ciò si conclude che cinque sistemi 2 i quali contengono il sistema #(3, 3,1) hanno comune un elemento piano fuori di #(3, 3,1). Ne segue che uno spazio a nove dimensioni #9 per lo spazio ad otto dimensioni #8 sega la varietà F 5 fuori di S» in un punto B. Adesso possiamo rappresentare gli elementi piani dello spazio sui punti d'uno spazio a cinque dimensioni P 5 dello spazio S^. L'elemento piano (P, TI) si rappresenta sulla proiezione Q del punto B, omologo di (P, TI), dallo spazio S H sullo spazio P Un elemento lineare dello spazio sia formato dalla retta l colle coordinate omogenee p i2, p L3, p ia, p 3i, p i2, p 23 (pìk=xix k ~x{x k ) e dal punto P, situato su l colle coordinate omogenee x i7 x 2, x 3, # 4. Questi dieci numeri soddisfano all'equazione: (1) #12#34+#13#42+#14#23 = 0 ed alle quattro equazioni: #34#2 +#42#3 +#23^4 =0 Ogni elemento lineare dello spazio determina i seguenti ventiquattro numeri, eccetto un fattore costante: Piki=XiPki ( =1,2,3,4, k, 1= 1,2,3,4,5,6, k+l). Questi ventiquattro numeri soddisfano sempre alle sedici equazioni seguenti che si deducono dalla relazione (1): #112#134+#113#142+#114#123 = 0 f

5 G. SCHAAKE: Le geometrie degli elementi lineari 49 alle quattro equazioni seguenti che si deducono dalle relazioni (2): #234+#342+#423 = 0 ed alle relazioni che si ottengono quando si pongono eguali a zero tutti i minori quadratici della matrice #112 #113 #114 #134 #142 #123 #212 #213 #214 #234 #242 #223 #312 #313 #314 #334 #342 #323 #412 #413 #414 #434 #442 #423 Viceversa ventiquattro numeri dati pm, che non sono tutti nulli, e che soddisfano alle relazioni dette, determinano un elemento lineare (P, l) dello spazio. I ventiquattro numeri pi k \, che, eccetto un fattore costante, sono determinati dall'elemento lineare (P, l) e che viceversa determinano l'elemento lineare (P, l), possono dunque considerarsi come coordinate omogenee dell'elemento lineare (P, l) dello spazio Ad ogni elemento lineare (P, l) dello spazio appartiene in uno spazio lineare a ventitre dimensioni S 23 il punto B, che ha le medesime coordinate omogenee p ik \. Dunque gli elementi lineari (P, l) dello spazio possono rappresentarsi sui punti d'una varietà a cinque dimensioni V 5, che è situata in uno spazio a diciannove dimensioni S i9, che ha per equazioni: #234 +#342 l #423 = 0 #134+#341+#413 = 0 #124+#241+#412 = 0 #123 +#231 +#312 = " L'ordine di F 5 è il numero dei punti di sezione di cinque spazii a diciotto dimensioni 18 dello spazio S ì9 colla varietà F 5. La sezione d'uno spazio S m con F 5 è la rappresentazione del sistema 2 degli elementi lineari dello spazio, che soddisfano all'equazione: ^aikipiki=0- C'è un elemento lineare d'un sistema 2, per cui il punto P è perfettamente determinato e la retta l sega oltre ciò una retta data. Il sistema 2 possiede anche un elemento lineare, per cui la retta l è perfettamente determinata. Perciò il sistema 2 è chiamato un sistema [ 1,1 \ od un sistema bilineare di oo 4 elementi lineari. Dunque l'ordine di F 5 è il numero degli elementi lineari, che appartengono Atti del Congresso, 4

6 50 COMUNICAZIONI a cinque sistemi 2 dati. Possiamo facilmente dimostrare che cinque sistemi 2 hanno comuni quaranta elementi lineari. Perciò la varietà V 5 è del quarantesimo ordine Gli elementi lineari che sono comuni a due sistemi 2 formano un oo 3 -sistema <&(1, 3, 3), perchè 3> possiede un elemento lineare, per cui il punto P è dato, tre elementi lineari per cui la retta l è situata in un piano dato ed il punto P è situato su di una retta di questo piano e tre elementi lineari per cui la retta l appartiene ad un fascio dato di rette. Un sistema 0 è rappresentato dalla sezione di F 5 con uno spazio a diciasette dimensioni P 17 di P 19. Gli elementi lineari che sono comuni a tre sistemi 2 formano un oo 2 -sistema F(5, 7, 6), perchè W possiede cinque elementi lineari che hanno i loro punti P su di una retta data, sette elementi lineari, per cui le rette l passano per un punto dato e sei elementi lineari per cui le rette l sono situate in un piano dato. Un sistema W è rappresentato dalla sezione di V 5 con uno spazio a sedici dimensioni P 16 di P 19. I punti P degli elementi lineari d'un sistema <P, per cui la retta l appartiene ad un complesso lineare di rette, formano una superficie del quarto ordine. Fra questi elementi lineari ve ne sono tre, le cui rette l passano per un punto dato e tre che hanno le loro rette l in un piano dato. Perciò gli elementi lineari di <P che hanno le loro rette l in un complesso lineare dato di rette, formano un oo 2 -sistema #(4,3,3). La rappresentazione di questo sistema è una superficie del ventiquattresimo ordine co 24, che è situata in uno spazio a tredici dimensioni S i3 di #19. La superficie del quinto ordine che è formata dai punti P degli elementi lineari che sono comuni a tre sistemi 2 i quali contengono il sistema #(4,3,3), è degenerata nella superficie a) 4 ed in un piano. Da ciò si conclude che cinque sistemi 2 i quali contengono il sistema #(4, 3, 3) hanno comune un elemento piano fuori di (4, 3, 3). Ne segue che uno spazio a quattordici dimensioni per lo spazio a tredici dimensioni S i3 sega la varietà V 5 fuori di S 3 in un punto B. Adesso possiamo rappresentare gli elementi lineari dello spazio sui punti d'uno spazio a cinque dimensioni P 5 dello spazio $19. L'elemento lineare (P, l) si rappresenta sulla proiezione Q del punto B, omologo di (P, l), dallo spazio S i3 sullo spazio P 5.