Appunti di Geometria Descrittiva

Transcript

1 Appunti di Geometria Descrittiva Le Doppie Proiezioni Ortogonali - Metodo di Monge - 1

2 Notizie storiche 2 Egizi Greci (vista ortogonale frontale) Medio evo (gotico) Rinascimento (Piero della Francesca, Palladio, Vignola) 1700 (A. Durer)

3 Notizie storiche Gaspard Monge ( ) Età dell Illuminismo Necessità di rappresentazione oggettiva finalizzata alla costruzione 3

4 I Diedri I Diedri sono le parti di spazio risultanti dall intersezione dei quadri p1e p2 Si esegue il ribaltamento del p1 sul p2 che si farà coincidere con il foglio II DIEDRO III DIEDRO I DIEDRO p1 IV DIEDRO 4

5 Elementi di riferimento I piani coordinati (ortogonali) p1 (primo piano di proiezione) e p2 (secondo piano di proiezione) I centri di proiezione C e C rispettivamente in direzione ortogonale a p1 e p2 5

6 La rappresentazione del punto P Il punto è generalmente posto nel primo diedro, ma non è raro doverlo rappresentare anche negli altri Il punto P si rappresenta con le sue proiezioni P 1 e P 2 Bisogna tener conto sempre della rotazione del p1 sul p2 con asse LT. A B C B II B B B p2 C C B D A A A I A p1 A C D C III D D C D IV 6 I II III IV D prof. giorgio moretti

7 La rappresentazione della retta r La retta r si rappresenta attraverso due punti caratteristici determinati dalla intersezione o incidenza della retta con i piani di proiezione Tali punti si chiamano TRACCE e si identificano con t r quando la retta incide l p1 e t r quando incide il p2 Traccia = incontro fra una retta e un piano (punto di intersezione o fra due piani (retta di intersezione) 7

8 Classificazione delle rette Le rette possono essere a seconda della posizione che assumono rispetto ai piani di riferimento: Generiche Parallela alla LT Proiettanti Ortogonali al p1 Ortogonali al p2 Principali Orizzontali (appartengono ad un piano // al p1) Frontali (appartengono su di un piano // al p2) Di profilo (appartengono a piani ortogonali sia a p1 che a p2) 8

9 Casi di posizione della retta Retta s generica t"s t"s s" t"s p s" t"r r" s s" s' s' s 9 t's p s' t's

10 Casi di posizione della retta Retta parallela alla L.T. p t r r r" t r " r LT LT t r r r t r p 10

11 Rette ortogonali ai piani Retta r proiettante t"s p T s s" T r r s T r r P" LT s r LT T s s r t s s t r r p 11 T'r

12 Rette principali Retta parallela al p1(orizzontale) t b t r r b t b r r t r r 12 t r r t b t r fig. E

13 Rette principali Retta parallela al p2(frontale) t b t r b r t r r t b r r t r 13 t r r t b fig. E

14 Rette principali Retta di profilo t a t r t a fig. F t r r r t a r r t r r 14 28/10/2002 prof. giorgio t r t a moretti

15 La rappresentazione del Piano a Il piano si rappresenta attraverso le sue intersezioni con i piani di proiezione o quadri Tali intersezioni sono delle rette che si chiamano tracce La traccia di a sul primo quadro di proiezione p1 si identifica con t1a La traccia di a sul secondo quadro di proiezione p2 si identifica con t2a 15

16 Classificazione dei Piani 16 Le sette posizioni del piano 1. Parallelo alla LT 2. Parallelo al p1 3. Parallelo al p2 Proiettante 4. Ortogonale al p1 5. Ortogonale al p2 6. Ortogonale ad entrambi 7. Generico Nel metodo di monge i termini priettanti e perpendicolare coicidono, dato che i centri di proiezione sono in direzione ortogonale ai piani di riferimento

17 Piano generico (comunque disposto) fig. E t a t a t a 17 t' a

18 Piani Paralleli a Parallelo al p1(orizzontale) fig. F t" a t a 18 t a

19 Piani Paralleli a Parallelo al p2 (frontale) t a t b 19 t a fig. E

20 Piani Ortogonali (proiettanti) Di profilo t a Proiettante al p1 t b t a Proiettante al p2 20 fig. G t a t b fig. F t a fig. H

21 Piani Ortogonali (proiettanti) Di profilo Proiettante al p1 Proiettante al p2 t a t a a a a t a 21 t a t a t a

22 Piano Parallelo alla L.T. fig. G p2 t" b t b t b t b p3 b t" b p1 t" b 22

23 Relazione tra gli elementi Gli elementi si relazionano tra loro definendo dei rapporti di posizione che sono: L appartenenza Il parallelismo // L ortogonalità 23

24 Le condizioni di Appartenenza ( ) Punto appartiene alla retta quando le sue proiezioni appartengono alle corrispondenti proiezioni della retta P r N P r ; P r La retta appartiene al piano quando le sue tracce appartengono alle corrispondenti tracce del piano r a N t r t a ; t r t a Il punto appartiene al piano quando appartiene ad una retta che appartiene al piano P a se P r che a 24

25 Rette di intersezione Due piani a e b determinano sempre una retta di intersezione propria od impropria ESERCITAZIONE Trovare le rette di intersezione miscelando due a due i piani facendo riferimento alle loro posizioni tipo espresse nelle diapositive n 17;18;19;20;21;22;23. 25

26 Esempio Retta determinata da due piani generici t a t r t b Retta determinata da un piano generico ed un piano // al p2 (retta frontale) t a r r r t r t a t b t b r t r 26 t a

27 Esercitazione Trovare tutti gli elementi rappresentativi delle rette ed indicare i diedri apparteneza r t r r r t r r 27

28 Appartenenza Piano determinato da due rette t"a t"s t"s P " t" a s" P r" t"r s s" t"r s' P t's r' r r" s' P t's r' t' a t'r t' a t'r P ' 28

29 Appartenenza Piano determinato da tre punti A;B;C. t a t"s t"r t" a p s" s' B" A" C" r" B' A' C' r' t's t"r t's r s B r' B' c" C A" r" B" A c' A t' a p t'r t"s t' a t'r 29

30 Appartenenza Punto di intersezione di una retta con il piano t"a t" b t"a t"b p r" A" A' s" t'r t s r s r" s" A A" A' t'r t'a t"s t'a t s t'b=r'=s' t's p 30

31 Le condizioni di Parallelismo ( // ) Due rette sono parallele se sono parallele le loro rispettive proiezioni r // s se r // s e r // s Due piani sono paralleli se sono parallele le loro rispettive tracce a // b se t a // T b e t a // t b Una retta è parallela ad un piano se : È parallela ad una retta del piano r // a se r // s a Se appartiene ad un piano parallelo a quello dato r // a se r b // a 31

32 Parallelismo ( // ) r//s perché r //s e r //s a//b se t a // t b e t a // t b s // b se b r //s t" b t"r t" b t"r t" a r r t"s t"s lt s" lt lt s" r t's s' r t's s' t' a t b t r t b t r 32

33 Le condizioni di Ortogonalità ( ) Una retta r è ortogonale al piano a se le sue proiezioni r e r sono rispettivamente ortogonali alle tracce del piano Due piani sono ortogonali tra loro se uno dei due contiene una retta ortogonale all altro Due rette sono ortogonali tra loro se: 1. Appartengono allo stesso piano (complanari) 2. Per una di esse passa un piano ortogonale all altra 33

34 Le condizioni di Ortogonalità ( ) L ortogonalità tra retta e piano è espressa con l ortogonalità degli elementi di rappresentazione omonimi r a M 90 b p1 a p1 t1r r 90 t1b t1a 34

35 Punto di intersezione di una retta con un piano r t b M M t a t r t r Piano a generico Piano b proiettante al p e orto ad a T b, r, M, t r, insistono tutte sull elemento rappresentativo del piano b del p 35 t b r t a

36 Esercizi sulla perpendicolarità 1 Per un punto assegnato condurre la retta perpendicolare ad un piano assegnato P". t2 a 2 Per un punto assegnato condurre un piano perpendicolare ad una retta assegnata un piano perpendicolare ad una retta assegnata r" P". t"r t'r P'. P'. t1 a r' 36

37 Soluzione esercizio 2 Si debbono soddisfare due condizioni: L appartenenza del punto al piano (piano per un punto dato) L ortogonalità degli elementi di rappresentazione omonimi della retta e del piano Usiamo una retta principale orizzontale s che permette il controllo della t s che orienteremo perpendicolarmente alla r. E la facciamo passare per P. Disegniamo poi il piano a passante per s. Si noti che t a sarà parallela a s doto che dovrò passare per t s posto all 2 Per un punto assegnato condurre un piano perpendicolare ad una retta assegnata un piano perpendicolare ad una retta assegnata r" P" t s P'.. t"r t'r t a s s 37 r' t a

38 Esercizi sulla perpendicolarità 3 Data una retta r ed un piano, condurre per 'r il piano perpendicolare ad t2 a a t"r 4 Dati un punto P ed una retta 'r' (non passante per P) condurre per P la retta 's' perpendicolare ed incidente lla 'r' r" r" t'r t"r P" P' r' t1 a t'r r' 38

39 Soluzione esercizio 3 3 Dati una retta r ed un piano a condurre per r il piano b perpendicolare ad a t2 b t s t2 a r" P t"r Il piano cercato deve contenere una retta ortogonale ad a e essere determinato da due rette: quella data e quella ortogonale al piano dato) Per il punto P di r si conduce una retta s perpendicolare ad a Il piano b è definito da r ed s Note: P è preso coincidente alla t r r' 39 t1 a t1 b t'r P t s

40 Soluzione esercizio 4 4 Dati un punto P ed una retta 'r (non passante per P) condurre per P la retta 's perpendicolare ed incidente alla 'r' t b t n a P r H r e a La retta s richiesta giace nel piano a passante per P e perpendicolare ad r Costruire il piano a passante per P e perpendicolare ad r Si tagli in H il piano a con r Congiungere H con P La retta s (HP) è la retta richiesta- Note: Il piano b è un piano ausiliario per intersecare r ed a, ed n è l intersezione di b con a t'r f s n s H" t"r H f t a t a r" P" t f t s P' t n r n t b 40